3、∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事件．
答案 A與B，A與C，B與C，B與D B與D
4．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，A＝30°，若將一枚質地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所得的點數(shù)分別為a、b，則滿足條件的三角形有兩個解的概率是________．
解析：要使△ABC有兩個解，需滿足的條件是因為A＝30°，所以滿足此條件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6種情況，所以滿足條件的三角形有兩個解的概率是＝.
答案：
5．某單位從4名應聘者A，B，C，D中招聘2人，如果這4名應聘者被
4、錄用的機會均等，則A，B兩人中至少有1人被錄用的概率是________．
解析 四人中任選2人，所有可能方式共6種，分別為：AB、AC、AD、BC、BD、CD，其中A、B中至少1人被錄取的有5種方式，概率為.
答案
6．從1,2,3,4,5,6六個數(shù)中任取2個數(shù)，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率是________．
解析 取出的兩個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)有5種情況，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率P＝1－＝.
答案
7．一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個，取得兩個紅球的概率為，取得兩個綠球的概率為，則取得兩個同顏色的球的概率為_____
5、___；至少取得一個紅球的概率為________．
解析 (1)由于“取得兩個紅球”與“取得兩個綠球”是互斥事件，取得兩個同色球，只需兩互斥事件有一個發(fā)生即可，因而取得兩個同色球的概率為P＝＋＝.
(2)由于事件A“至少取得一個紅球”與事件B“取得兩個綠球”是對立事件，則至少取得一個紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
答案
8．甲、乙兩顆衛(wèi)星同時監(jiān)測臺風，在同一時刻，甲、乙兩顆衛(wèi)星準確預報臺風的概率分別為0.8和0.75，則在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預報準確的概率為________．
解析 由對立事件的性質知在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預報準確的概率為1－(1－0.8)(1－
6、0.75)＝0.95.
答案 0.95
9．把一個體積為27 cm3的正方體木塊表面涂上紅漆，然后鋸成體積為1 cm3的27個小正方體，現(xiàn)從中任取一塊，則這一塊至少有一面涂有紅漆的概率為________．
解析 由于“至少有一面涂有紅漆”的對立事件是“每個面都沒有紅漆”，只有中心一塊如此，故所求概率為P＝1－＝.
答案
10. 某學校成立了數(shù)學、英語、音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39、32、33個成員，一些成員參加了不止一個小組，具體情況如圖所示．
現(xiàn)隨機選取一個成員，他屬于至少2個小組的概率是________，他屬于不超過2個小組的概率是________．
解析 “至
7、少2個小組”包含“2個小組”和“3個小組”兩種情況，故他屬于至少2個小組的概率為
P＝＝.
“不超過2個小組”包含“1個小組”和“2個小組”，其對立事件是“3個小組”．
故他屬于不超過2個小組的概率是
P＝1－＝.
答案
二、解答題
11．由經(jīng)驗得知，在人民商場付款處排隊等候付款的人數(shù)及其概率如下：
排隊人數(shù)
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多2人排隊的概率；
(2)至少2人排隊的概率．
解 記“沒有人排隊”為事件A，“1人排隊”為事件B，“2人排隊”為事件C，A、B、C彼此
8、互斥．
(1)記“至多2人排隊”為事件E，則P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)記“至少2人排隊”為事件D.“少于2人排隊”為事件A＋B，那么事件D與事件A＋B是對立事件，則P(D)＝1－P(A＋B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.
12．根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延誤天數(shù)Y
0
2
6
10
歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于30
9、0,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求：
(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；
(2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率．
解 (1)由已知條件和概率的加法公式有：
P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)
＝0.9－0.7＝0.2，
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以Y的分布列為
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是，E(Y
10、)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；
D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8.
(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，
又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.
由條件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝，
故在降水量X至少是300 mm的條件下，工期延誤不超過6天的概率是.
13．分期付款購買某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期
11、數(shù)ξ的概率分布為
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元．η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．
(1)求事件A：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求η的概率分布及數(shù)學期望E(η)．
解 (1)設購買該商品的3位顧客中采用1期付款的人數(shù)為X，則P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1－P(X＝0)＝1－C×0.63＝0.784.
(2)η的概率分布為
η
200
250
12、
300
P
0.4
0.4
0.2
∴E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.
14．班級聯(lián)歡時，主持人擬出了如下一些節(jié)目：跳雙人舞、獨唱、朗誦等，指定3個男生和2個女生來參與，把5個人分別編號為1，2，3，4，5，其中1，2，3號是男生，4，5號是女生，將每個人的號分別寫在5張相同的卡片上，并放入一個箱子中充分混合，每次從中隨機地取出一張卡片，取出誰的編號誰就參與表演節(jié)目．
(1)為了選出2人來表演雙人舞，連續(xù)抽取2張卡片，求取出的2人不全是男生的概率；
(2)為了選出2人分別表演獨唱和朗誦，抽取并觀察第一張卡片后，又放回箱子中，充分混合后再從中抽
13、取第二張卡片，求：獨唱和朗誦由同一個人表演的概率．
解 (1)利用樹形圖我們可以列出連續(xù)抽取2張卡片的所有可能結果(如圖所示)．
由上圖可以看出，試驗的所有可能結果數(shù)為20，每次都隨機抽取，這20種結果出現(xiàn)的可能性是相同的，試驗屬于古典概型．
用A1表示事件“連續(xù)抽取2人，一男一女”，A2表示事件“連續(xù)抽取2人，都是女生”，則A1與A2互斥，并且A1∪A2表示事件“連續(xù)抽取2張卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能結果可以看出，A1的結果有12種，A2的結果有2種，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝＝0.7，即連續(xù)抽取2張卡片，取出
14、的2人不全是男生的概率為0.7.
(2)有放回地連續(xù)抽取2張卡片，需注意同一張卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我們用一個有序實數(shù)對表示抽取的結果，例如“第一次取出2號，第二次取出4號”就用(2，4)來表示，所有的可能結果可以用下表列出.
第二次抽取
第一次抽取
1
2
3[
4
5
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
(1，5)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)[
(2，5)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
(3，5)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
(4，5)
5
(5，1)
(5，2)
(5，3)
(5，4)
(5，5)
試驗的所有可能結果數(shù)為25，并且這25種結果出現(xiàn)的可能性是相同的，試驗屬于古典概型．
用A表示事件“獨唱和朗誦由同一個人表演”，由上表可以看出，A的結果共有5種，因此獨唱和朗誦由同一個人表演的概率是P(A)＝＝＝0.2
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【名校資料】高考數(shù)學理一輪資源庫第十三章 第1講隨機事件的概率
