2018版高中數(shù)學（人教A版）必修3同步教師用書： 第2章 2.3.1 變量之間的相關關系 2.3.2 兩個變量的線性相關

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1、2.3　變量間的相關關系 2.3.1　變量之間的相關關系 2.3.2　兩個變量的線性相關 1．理解兩個變量的相關關系的概念．(難點) 2．會作散點圖，并利用散點圖判斷兩個變量之間是否具有相關關系．(重點) 3．會求回歸直線方程．(重點) 4．相關關系與函數(shù)關系．(易混點) [基礎·初探] 教材整理1　變量之間的相關關系 閱讀教材P84～P86的內容，完成下列問題． 1．相關關系：不像勻速直線運動中時間與路程的關系那樣是完全確定的，而是帶有不確定性． 2．散點圖：將樣本中幾個數(shù)據點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐標系中得到的圖形． 3．正

2、相關與負相關：散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，稱它為正相關．若散點圖中的點分布在從左上角到右下角的區(qū)域內，對于兩個變量的這種相關關系，稱它為負相關． 4．相關關系與函數(shù)關系的辨析 相關關系與函數(shù)關系均是指兩個變量間的關系，它們的不同點如下： (1)函數(shù)關系是一種確定的關系；相關關系是一種非確定的關系，即不能用一個函數(shù)關系式來嚴格地表示變量之間的關系． (2)函數(shù)關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系．例如，有人發(fā)現(xiàn)，對于在校兒童，腳的大小與閱讀能力有很強的相關關系，然而學會更多的新詞并不能使腳變大，而是涉及第三個因素——年

3、齡，當兒童長大一些以后，他們的閱讀能力會提高，而且腳也會變大． 如圖2-3-1所示的兩個變量不具有相關關系的有________． 圖2-3-1 【解析】　①是確定的函數(shù)關系；②中的點大都分布在一條曲線周圍；③中的點大都分布在一條直線周圍；④中點的分布沒有任何規(guī)律可言，x，y不具有相關關系． 【答案】?、佗? 教材整理2　回歸直線方程 閱讀教材P87～P89的內容，完成下列問題． 1．回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線． 2．回歸方程：回歸直線對應的方程叫回歸直線的方程，簡稱回歸方程． 3．

4、最小二乘法：求回歸直線時，使得樣本數(shù)據的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法． 4．求回歸方程：若兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據為：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則所求的回歸方程為＝x＋，其中，為待定的參數(shù)，由最小二乘法得： 是回歸直線斜率，是回歸直線在y軸上的截距． 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)回歸方程中，由x的值得出的y值是準確值．(　　) (2)回歸方程一定過樣本點的中心．(　　) (3)回歸方程一定過樣本中的某一個點．(　　) (4)選取一組數(shù)據中的部分點得到的回歸方程與由整組數(shù)據得到的回歸方程是同一

5、個方程．(　　) 【答案】　 (1)×　(2)√　(3)×　(4) × 2．過(3,10)，(7,20)，(11,24)三點的回歸直線方程是(　　) A.＝1.75＋5.75x　　 B.＝－1.75＋5.75x C.＝5.75＋1.75x D.＝5.75－1.75x 【解析】　求過三點的回歸直線方程，目的在于訓練求解回歸系數(shù)的方法，這樣既可以訓練計算，又可以體會解題思路，關鍵是能套用公式．代入系數(shù)公式得＝1.75，＝5.75.代入直線方程，求得＝5.75＋1.75x.故選C. 【答案】　C 3．已知x與y之間的一組數(shù)據： x 0 1 2 3 4 y 1 3

6、 5 7 9 則y與x的線性回歸方程＝bx＋a必過點(　　) A．(1,2) B．(5,2) C．(2,5) D．(2.5,5) 【解析】　線性回歸方程一定過樣本中心(，)． 由＝＝2，＝＝5. 故必過點(2,5)． 【答案】　C [小組合作型] 相關關系的判斷 　(1)下列兩個變量之間的關系，哪個不是函數(shù)關系(　　) A．正方體的棱長和體積 B．圓半徑和圓的面積 C．正n邊形的邊數(shù)和內角度數(shù)之和 D．人的年齡和身高 (2)對變量x，y有觀測數(shù)據(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖①；對變量u，v有觀測數(shù)據(ui，vi)(i＝1,2，…，1

7、0)，得散點圖②.由這兩個散點圖可以判斷(　　) 圖2-3-2 A．變量x與y正相關，u與v正相關 B．變量x與y正相關，u與v負相關 C．變量x與y負相關，u與v正相關 D．變量x與y負相關，u與v負相關 【精彩點撥】　結合相關關系，函數(shù)關系的定義及正負相關的定義分別對四個選項作出判斷． 【嘗試解答】　(1)A、B、C都是函數(shù)關系，對于A，V＝a3；對于B，S＝πr2；對于C，g(n)＝(n－2)π.而對于D，年齡確定的不同的人可以有不同的身高，∴選D. (2)由圖象知，變量x與y呈負相關關系；u與v呈正相關關系． 【答案】　(1)D　(2)C 判斷兩個變量x

8、和y間是否具有線性相關關系，常用的簡便方法就是繪制散點圖，如果發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關的，注意不要受個別點的位置的影響. [再練一題] 1．某公司2011～2016年的年利潤x(單位：百萬元)與年廣告支出y(單位：百萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示： 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 利潤x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3 支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11 A.利潤中位數(shù)是16，x與y有正線性相關關系 B．利潤中位數(shù)是18，

9、x與y有負線性相關關系 C．利潤中位數(shù)是17，x與y有正線性相關關系 D．利潤中位數(shù)是17，x與y有負線性相關關系 【解析】　由表知，利潤中位數(shù)是(16＋18)＝17，且y隨x的增大而增大，故選C. 【答案】　C 求回歸直線方程 　一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗，收集數(shù)據如下： 零件數(shù)x(個) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時間y(分) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)y與x是否具有線性相關關系？ (2)

10、如果y與x具有線性相關關系，求y關于x的回歸直線方程． 【精彩點撥】　→→ → 【嘗試解答】　(1)畫散點圖如下： 由上圖可知y與x具有線性相關關系． (2)列表、計算： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 xiyi 620 1 360 2 250 3 240 4 450 5 700 7 140 8 640 10 350 12 200 ＝55

11、，＝91.7， x＝38 500，＝87 777，iyi＝55 950 ＝＝≈0.668， ＝－＝91.7－0.668×55＝54.96. 即所求的回歸直線方程為：＝0.668x＋54.96. 用公式求回歸方程的一般步驟： (1)列表xi，yi，xiyi； (2)計算，，，iyi； (3)代入公式計算，的值； (4)寫出回歸方程. [再練一題] 2．已知變量x，y有如下對應數(shù)據： x 1 2 3 4 y 1 3 4 5 (1)作出散點圖； (2)用最小二乘法求關于x，y的回歸直線方程． 【解】　(1)散點圖如圖所示： (

12、2)＝＝， ＝＝， iyi＝1＋6＋12＋20＝39， ＝1＋4＋9＋16＝30， ＝＝， ＝－×＝0， 所以＝x為所求回歸直線方程． 利用回歸方程對總體進行估計 　下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改進后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數(shù)據的散點圖； (2)請根據上表提供的數(shù)據，用最小二乘法求出回歸方程＝x＋； (3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤．試根據(2)求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前

13、降低多少噸標準煤？ 【精彩點撥】　(1)以產量為橫坐標，以生產能耗對應的測量值為縱坐標，在平面直角坐標系內畫散點圖； (2)應用計算公式求得線性相關系數(shù)，的值；(3)實際上就是求當x＝100時，對應的v的值． 【嘗試解答】　(1)散點圖，如圖所示： (2)由題意，得iyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5， ＝＝4.5， ＝＝3.5， ＝32＋42＋52＋62＝86， ∴＝＝＝0.7， ＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 故線性回歸方程為＝0.7x＋0.35. (3)根據回歸方程的預測，現(xiàn)在生產100噸產品消耗的標準煤為0.7×100＋0.35

14、＝70.35(噸)， 故耗能減少了90－70.35＝19.65(噸)標準煤． 回歸分析的三個步驟： (1)判斷兩個變量是否線性相關：可以利用經驗，也可以畫散點圖； (2)求線性回歸方程，注意運算的正確性； (3)根據回歸直線進行預測估計：估計值不是實際值，兩者會有一定的誤差. [再練一題] 3．某種產品的廣告費支出y(百萬元)與銷售額x(百萬元)之間的關系如下表所示． x 8 12 14 16 y 5 8 9 11 (1)假定y與x之間存在線性相關關系，求其回歸直線方程． (2)若廣告費支出不少于60百萬元，則實際銷售額應不少于多少？

15、【解】　(1)設回歸直線方程為＝x＋，則＝＝ ＝＝，＝－＝－×＝－×＝－，則所求回歸直線方程為＝x－. (2)由＝x－≥60，得x≥≈84，所以實際銷售額不少于84百萬元． [探究共研型] 散點圖的特征 探究1　任意兩個統(tǒng)計數(shù)據是否均可以作出散點圖？怎么根據散點圖判斷變量之間的關系？ 【提示】　任意兩個統(tǒng)計數(shù)據均可以作出散點圖，對于作出的散點圖，如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關系，即變量之間具有函數(shù)關系．特別地，若所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就具有線性相關關系；如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關關系；如果散點圖

16、中的點的分布幾乎沒有什么規(guī)則，則這兩個變量之間不具有相關關系． 回歸直線的特征 探究2　如何畫回歸直線？ 【提示】　(1)建立直角坐標系，兩軸的長度單位可以不一致． (2)將n個數(shù)據點描在平面直角坐標系中． (3)畫回歸直線時，一定要畫在多數(shù)點經過的區(qū)域，可以先觀察有哪兩個點在直線上． 探究3　回歸系數(shù)的含義是什么？ 【提示】　(1)代表x每增加一個單位，y的平均增加單位數(shù)，而不是增加單位數(shù)． (2)當＞0時，兩個變量呈正相關關系，含義為：x每增加一個單位，y平均增加個單位數(shù)； 當＜0時，兩個變量呈負相關關系，含義為：x每增加一個單位，y平均減少個單位數(shù)． 探究4　回歸

17、直線方程與直線方程的區(qū)別是什么？ 【提示】　線性回歸直線方程中y的上方加記號“^ ”是與實際值y相區(qū)別，因為線性回歸方程中的“”的值是通過統(tǒng)計大量數(shù)據所得到的一個預測值，它具有隨機性，因而對于每一個具體的實際值而言，的值只是比較接近，但存在一定的誤差，即y＝＋e(其中e為隨機變量)，預測值與實際值y的接近程度由隨機變量e的標準差決定． 　已知x與y之間的幾組數(shù)據如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假設根據上表數(shù)據所得線性回歸直線方程為＝x＋.若某同學根據上表中的前兩組數(shù)據(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以

18、下結論正確的是 (　　) A.>b′，>a′　　　　　　 B.>b′，a′ D.a′. 【答案】　C

19、 [再練一題] 4．設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系．根據一組樣本數(shù)據(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.85x－85.71，則下列結論中不正確的是(　　) A．y與x具有正的線性相關關系 B．回歸直線過樣本點的中心(，) C．若該大學某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該大學某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg 【解析】　為正數(shù)，所以兩變量具有正的線性相關關系，故A正確；B，C顯然正確；若該大學某女生身高為170 cm，則可估計其體重為58.79 kg.

20、 【答案】　D 1．設一個回歸方程＝3＋1.2x，則變量x增加一個單位時(　　) A．y平均增加1.2個單位　 B．y平均增加3個單位 C．y平均減少1.2個單位 D．y平均減少3個單位 【解析】　由b＝1.2>0，故選A. 【答案】　A 2．下列有關線性回歸的說法，不正確的是(　　) A．變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系 B．在平面直角坐標系中用描點的方法得到表示具有相關關系的兩個變量的一組數(shù)據的圖形叫做散點圖 C．回歸方程最能代表觀測值x、y之間的線性關系 D．任何一組觀測值都能得到具有代表意義的回歸直線 【解析】　只有數(shù)

21、據點整體上分布在一條直線附近時，才能得到具有代表意義的回歸直線． 【答案】　D 3．已知變量x與y正相關，且由觀測數(shù)據算得樣本平均數(shù)＝3，＝3.5，則由該觀測數(shù)據算得的線性回歸方程可能是(　　) A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4 C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4 【解析】　因為變量x和y正相關，則回歸直線的斜率為正，故可以排除選項C和D.因為樣本點的中心在回歸直線上，把點(3,3.5)的坐標分別代入選項A和B中的直線方程進行檢驗，可以排除B，故選A. 【答案】　A 4．對具有線性相關關系的變量x和y，測得一組數(shù)據如下表所示． x 2 4 5

22、 6 8 y 30 40 60 50 70 若已求得它們的回歸直線的斜率為6.5，則這條回歸直線的方程為________. 【解析】　由題意可知＝＝5， ＝＝50. 即樣本中心為(5,50)， 設回歸直線方程為＝6.5x＋， ∵回歸直線過樣本中心(5,50)， ∴50＝6.5×5＋，即＝17.5， ∴回歸直線方程為＝6.5x＋17.5. 【答案】　＝6.5x＋17.5 學業(yè)分層測評(十四)　變量間的相關關系 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．有幾組變量： ①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程； ②平均日學習時間和

23、平均學習成績； ③立方體的棱長和體積． 其中兩個變量成正相關的是(　　) A．①③　　　　　　　 B．②③ C．② D．③ 【解析】?、偈秦撓嚓P；②是正相關；③是函數(shù)關系，不是相關關系． 【答案】　C 2．對于給定的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據，下列說法正確的是(　　) A．都可以分析出兩個變量的關系 B．都可以用一條直線近似地表示兩者的關系 C．都可以作出散點圖 D．都可以用確定的表達式表示兩者的關系 【解析】　由兩個變量的數(shù)據統(tǒng)計，不能分析出兩個變量的關系，A錯；不具有線性相關的兩個變量不能用一條直線近似地表示他們的關系，更不能用確定的表達式表示他們的關系，B，D錯． 【答

24、案】　C 3．對有線性相關關系的兩個變量建立的回歸直線方程＝＋x中，回歸系數(shù)(　　) A．不能小于0 B．不能大于0 C．不能等于0 D．只能小于0 【解析】　當＝0時，r＝0，這時不具有線性相關關系，但能大于0，也能小于0. 【答案】　C 4．四名同學根據各自的樣本數(shù)據研究變量x，y之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論： ①y與x負相關且＝2.347x－6.423；②y與x負相關且＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關且＝5.437x＋8.493；④y與x正相關且＝－4.326x－4.578. 其中一定不正確的結論的序號是(　　) A．①② B．②

25、③ C．③④ D．①④ 【解析】　由正負相關性的定義知①④一定不正確． 【答案】　D 5．某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據如下表： 廣告費用x/萬元 4 2 3 5 銷售額y/萬元 49 26 39 54 根據上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元時，銷售額為(　　) A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 【解析】　＝(4＋2＋3＋5)＝3.5， ＝(49＋26＋39＋54)＝42， 所以＝－＝42－9.4×3.5＝9.1， 所以回歸方程為＝9.4x＋9.1， 令x＝6，得＝9.4×6

26、＋9.1＝65.5(萬元)．故選B. 【答案】　B 二、填空題 6．若施化肥量x(千克/畝)與水稻產量y(千克/畝)的回歸方程為＝5x＋250，當施化肥量為80千克/畝時，預計水稻產量為畝產________千克左右． 【解析】　當x＝80時，＝400＋250＝650. 【答案】　650 7．已知一個回歸直線方程為＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，則＝________. 【解析】　因為＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9， 且回歸直線過樣本中心點(，)， 所以＝1.5×9＋45＝58.5. 【答案】　58.5 8．調查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年

27、飲食支出y(單位：萬元)，調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系，并由調查數(shù)據得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：＝0.254x＋0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元． 【解析】　由于＝0.254x＋0.321知，當x增加1萬元時，年飲食支出y增加0.254萬元． 【答案】　0.254 三、解答題 9．某工廠對某產品的產量與成本的資料分析后有如下數(shù)據： 產量x(千件) 2 3 5 6 成本y(萬元) 7 8 9 12 (1)畫出散點圖； (2)求成本y與產量x之間的線性回歸方程．(結果保留兩位小數(shù)) 【解

28、】　(1)散點圖如圖所示． (2)設y與產量x的線性回歸方程為＝x＋， ＝＝4，＝＝9， ＝ ＝＝ ＝1.10， ＝－＝9－1.10×4＝4.60. ∴回歸方程為：＝1.10x＋4.60. [能力提升] 1．根據如下樣本數(shù)據： x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 得到的回歸方程為＝bx＋a，則(　　) A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0 【解析】　作出散點圖如下： 觀察圖象可知，回歸直線＝bx＋a的斜率b＜0，當x＝0時，＝a＞0.故a＞

29、0，b＜0. 【答案】　B 2．期中考試后，某校高三(9)班對全班65名學生的成績進行分析，得到數(shù)學成績y對總成績x的回歸直線方程為＝6＋0.4x.由此可以估計：若兩個同學的總成績相差50分，則他們的數(shù)學成績大約相差________分． 【解析】　令兩人的總成績分別為x1，x2. 則對應的數(shù)學成績估計為 1＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2， 所以|1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20. 【答案】　20 3．從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據資料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝7

30、20. (1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a； (2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關； (3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄． 附：線性回歸方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b，其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為＝x＋. 【解】　(1)由題意知n＝10，＝i＝＝8， ＝i＝＝2， 又lxx＝－n2＝720－10×82＝80， lxy＝iyi－n＝184－10×8×2＝24， 由此得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4. 故所求線性回歸方程為y＝0.3x－0.4. (2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關． (3)將x＝7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．