【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第10章學(xué)案4

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 曲線與方程 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 了解曲線的方程與方程的曲線的對(duì)應(yīng)法則. 自主梳理 1.曲線的方程與方程的曲線 如果曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都是方程f(x,y)=0的解,且以方程f(x,y)=0的解(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上,那么,方程f(x,y)=0叫做曲線C的方程.曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線. 2.求曲線方程的一般方法(五步法) 求曲線(圖形)的方程,一般有下面幾個(gè)步驟: (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo); (2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P={M|p(M)}; (3)

2、用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式; (5)說明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上. 3.求曲線方程的常用方法: (1)直接法;(2)定義法;(3)代入法;(4)參數(shù)法. 自我檢測(cè) 1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在曲線2x2-y=0上移動(dòng),則點(diǎn)A(0,-1)與點(diǎn)P連線中點(diǎn)的軌跡方程為______________. 2.一動(dòng)圓與圓O:x2+y2=1外切,而與圓C:x2+y2-6x+8=0內(nèi)切,那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡是______________________________________________________________

3、____. 3.已知A(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A、B的橢圓,橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是______________________. 4.若M、N為兩個(gè)定點(diǎn)且MN=6,動(dòng)點(diǎn)P滿足·=0,則P點(diǎn)的軌跡方程為________. 5.(2011·江西改編)若曲線C1:x2+y2-2x=0與曲線C2:y(y-mx-m)=0有四個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________________. 探究點(diǎn)一 直接法求軌跡方程 例1 動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A(a,0),B(-a,0)連線的斜率的乘積為k,試求點(diǎn)P的軌跡方程,并討論軌跡是什么曲線.

4、 變式遷移1 已知兩點(diǎn)M(-2,0)、N(2,0),點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿足||||+·=0,則動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程為______________. 探究點(diǎn)二 定義法求軌跡方程 例2 已知兩個(gè)定圓O1和O2,它們的半徑分別是1和2,且O1O2=4.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切,又與圓O2外切,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程,并說明軌跡是何種曲線. 變式遷移2 在△ABC中,A為動(dòng)點(diǎn),B、C為定點(diǎn),B,C,且滿足條件sin C-sin B=sin A,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為_______________________

5、_____________. 探究點(diǎn)三 相關(guān)點(diǎn)法(代入法)求軌跡方程 例3 如圖所示,從雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)Q引直線x+y=2的垂線,垂足為N. 求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程. 變式遷移3 已知長(zhǎng)為1+的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng),P是AB上一點(diǎn),且=.求點(diǎn)P的軌跡C的方程. 分類討論思想 例 (14分) 過定點(diǎn)A(a,b)任作互相垂直的兩直線l1與l2,且l1與x軸交于點(diǎn)M,l2與y軸交于點(diǎn)N,如圖所示,求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程. 多角度

6、審題 要求點(diǎn)P坐標(biāo),必須先求M、N兩點(diǎn),這樣就要求直線l1、l2,又l1、l2過定點(diǎn)且垂直,只要l1的斜率存在,設(shè)一參數(shù)k1即可求出P點(diǎn)坐標(biāo),再消去k1即得點(diǎn)P軌跡方程. 【答題模板】 解 (1)當(dāng)l1不平行于y軸時(shí),設(shè)l1的斜率為k1,則k1≠0.因?yàn)閘1⊥l2, 所以l2的斜率為-, [2分] l1的方程為y-b=k1(x-a), ①[4分] l2的方程為y-b=-(x-a), ②[6分] 在①中令y=0,得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1=a-, [8分] 在②中令x=0,得N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1=b+, [10分] 設(shè)MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則有 消去k1

7、,得2ax+2by-a2-b2=0 (x≠). ③[12分] (2)當(dāng)l1平行于y軸時(shí),MN中點(diǎn)為,其坐標(biāo)滿足方程③. 綜合(1)(2)知所求MN中點(diǎn)P的軌跡方程為2ax+2by-a2-b2=0. [14分] 【突破思維障礙】 引進(jìn)l1的斜率k1作參數(shù),寫出l1、l2的直線方程,求出M、N的坐標(biāo),求出點(diǎn)P的坐標(biāo),得參數(shù)方程,消參化為普通方程,本題還要注意直線l1的斜率是否存在. 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 當(dāng)AM⊥x軸時(shí),AM的斜率不存在,此時(shí)MN中點(diǎn)為,易錯(cuò)點(diǎn)是把斜率不存在的情況忽略,因而丟掉點(diǎn). 1.求軌跡方程的常用方法:(1)直接法:如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)

8、系,這些條件簡(jiǎn)單明確,易于表達(dá)成含x,y的等式,就得到軌跡方程,這種方法稱之為直接法.用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程一般有建系設(shè)點(diǎn),列式,代換,化簡(jiǎn),證明五個(gè)步驟,但最后的證明可以省略.(2)定義法:運(yùn)用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義),可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程,或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式,從而求出軌跡方程.(3)代入法:動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表達(dá)或求出,但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x′,y′)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng),且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得,則可先將x′,y′表示為x、y的式子,再代入Q的軌跡方程,然后整理得P的軌跡方程,代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法.(4)參數(shù)法:求軌

9、跡方程有時(shí)很難直接找出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,則可借助中間變量(參數(shù)),使x、y之間建立起聯(lián)系,然后再從所求式子中消去參數(shù),得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. 2.本節(jié)易錯(cuò)點(diǎn):(1)容易忽略直線斜率不存在的情況;(2)利用定義求曲線方程時(shí),應(yīng)考慮是否符合曲線的定義. (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2,P是橢圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果M是線段F1P的中點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是_________________________________________________________________. 2.已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn),且AB=

10、3,CB-CA=2,則點(diǎn)C的軌跡方程為______________. 3.長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng),=2,則點(diǎn)C的軌跡方程為____________. 4.(2011·淮安模擬)如圖,圓O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)為兩個(gè)定點(diǎn).直線l是圓O的一條切線,若經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線以直線l為準(zhǔn)線,則拋物線焦點(diǎn)所在的軌跡是________. 5.P是橢圓+=1上的動(dòng)點(diǎn),作PD⊥y軸,D為垂足,則PD中點(diǎn)的軌跡方程為____________. 6.已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),如果動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=2PB,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等

11、于______. 7.已知△ABC的頂點(diǎn)B(0,0),C(5,0),AB邊上的中線長(zhǎng)CD=3,則頂點(diǎn)A的軌跡方程為______________. 8.平面上有三點(diǎn)A(-2,y),B,C(x,y),若⊥,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為__________. 二、解答題(共42分) 9.(14分)已知拋物線y2=4px (p>0),O為頂點(diǎn),A,B為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn),且滿足OA⊥OB,如果OM⊥AB于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程. 10.(14分)(2009·寧夏、海南)已知橢圓C的中心為平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)

12、焦點(diǎn)的距離分別是7和1. (1)求橢圓C的方程; (2)若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),M為過P且垂直于x軸的直線上的一點(diǎn),=λ,求點(diǎn)M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線. 11.(14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,有一個(gè)以F1(0,-)和F2(0,)為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓,設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C,動(dòng)點(diǎn)P在C上,C在點(diǎn)P處的切線與x軸,y軸的交點(diǎn)分別為A,B,且=+.求: (1)點(diǎn)M的軌跡方程; (2)||的最小值. 學(xué)案53 曲線與方程 答案 自我檢測(cè) 1.8x2-2y-1=0 

13、2.雙曲線的右支 3.y2-=1(y≤-1) 4.x2+y2=9 5.(-,0)∪(0,) 解析 C1:(x-1)2+y2=1, C2:y=0或y=mx+m=m(x+1). 當(dāng)m=0時(shí),C2:y=0,此時(shí)C1與C2顯然只有兩個(gè)交點(diǎn); 當(dāng)m≠0時(shí),要滿足題意,需圓(x-1)2+y2=1與直線y=m(x+1)有兩交點(diǎn),當(dāng)圓與直線相切時(shí),m=±, 即直線處于兩切線之間時(shí)滿足題意, 則-

14、B的斜率存在,因此軌跡曲線應(yīng)除去A、B兩點(diǎn); ③一般地,方程+=1所表示的曲線有以下幾種情況: 1° A>B>0,表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓; 2° A=B>0,表示圓; 3° 00>B,表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線; 5° A<0

15、,(*)式即-=1, ①若k>0,點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去A、B兩點(diǎn)). ②若k<0,(*)式可化為+=1. 1° 當(dāng)-1

16、 解題導(dǎo)引 (1)由于動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)O1、O2的距離的差為常數(shù),故應(yīng)考慮是否符合雙曲線的定義,是雙曲線的一支還是兩支,能否確定實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)等,以便直接寫出其方程,而不需再將幾何等式借助坐標(biāo)轉(zhuǎn)化; (2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡或軌跡方程時(shí)需注意:“軌跡”和“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念,前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征,后者指方程(包括范圍). 解  如圖所示,以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn),O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系. 由O1O2=4, 得O1(-2,0)、O2(2,0). 設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r,則 由動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切,有MO1=r-1; 由動(dòng)圓M與圓O2外切,有MO2

17、=r+2. ∴MO2-MO1=3<4. ∴點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為3的雙曲線的左支. ∴a=,c=2,∴b2=c2-a2=. ∴點(diǎn)M的軌跡方程為-=1 (x<0). 變式遷移2 -=1 (x>) 解析 ∵sin C-sin B=sin A,由正弦定理得到 AB-AC=BC=a(定值). ∴A點(diǎn)軌跡是以B,C為焦點(diǎn)的雙曲線右支,其中實(shí)半軸長(zhǎng)為,焦距為BC=a. ∴虛半軸長(zhǎng)為 =a,由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得為-=1(x>). 例3 解題導(dǎo)引 相關(guān)點(diǎn)法也叫坐標(biāo)轉(zhuǎn)移(代入)法,是求軌跡方程常用的方法.其題目特征是:點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)與點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)相關(guān),且點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)有規(guī)律(有方程),

18、只需將A的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到B的坐標(biāo)中,整理即可得點(diǎn)A的軌跡方程. 解 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x1,y1),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2x-x1,2y-y1). ∵N在直線x+y=2上, ∴2x-x1+2y-y1=2. ① 又∵PQ垂直于直線x+y=2, ∴=1,即x-y+y1-x1=0. ② 聯(lián)立①②解得 ③ 又點(diǎn)Q在雙曲線x2-y2=1上, ∴x-y=1.④ ③代入④,得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是 2x2-2y2-2x+2y-1=0. 變式遷移3 解 設(shè)A(x0,0),B(0,y0),P(x,y), =, 又=(x-x0,y),=(-x,y0-y), 所以x-x

19、0=-x,y=(y0-y) 得x0=x,y0=(1+)y. 因?yàn)锳B=1+,即x+y=(1+)2, 所以2+[(1+)y]2=(1+)2, 化簡(jiǎn)得+y2=1. ∴點(diǎn)P的軌跡方程為+y2=1. 課后練習(xí)區(qū) 1.以F1、O為焦點(diǎn)的橢圓 2.雙曲線的一支 解析 A、B是兩個(gè)定點(diǎn),CB-CA=2

20、A、B在拋物線上, 所以由拋物線的定義知,A、B到F的距離AF、BF分別等于A、B到準(zhǔn)線l的距離AM、BN(如圖所示), 于是AF+BF=AM+BN. 過O作OR⊥l,由于l是圓O的一條切線,所以四邊形AMNB是直角梯形,OR是中位線, 故有AF+BF=AM+BN =2OR=8>4=AB. 根據(jù)橢圓的定義知,焦點(diǎn)F的軌跡是一個(gè)橢圓. 5.+=1 解析 設(shè)PD中點(diǎn)為M(x,y),則P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x,y),代入方程+=1, 即得+=1. 6.4π 解析 設(shè)P(x,y),由題知有:(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得x2-4x+y2=0, 配方得(x-2)2+

21、y2=4,可知圓的面積為4π. 7.(x-10)2+y2=36 (y≠0) 解析 方法一 直接法. 設(shè)A(x,y),y≠0,則D, ∴CD= =3. 化簡(jiǎn)得(x-10)2+y2=36, ∵A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形, ∴A不能落在x軸上,即y≠0. 方法二  定義法.如圖所示, 設(shè)A(x,y),D為AB的中點(diǎn),過A作AE∥CD交x軸于E, 則E(10,0). ∵CD=3,∴AE=6, ∴A到E的距離為常數(shù)6. ∴A的軌跡為以E為圓心,6為半徑的圓, 即(x-10)2+y2=36. 又A、B、C不共線,故A點(diǎn)縱坐標(biāo)y≠0. 故A點(diǎn)軌跡方程為(x-10)2+y2

22、=36 (y≠0). 8.y2=8x 9.解 設(shè)M(x,y),直線AB斜率存在時(shí), 設(shè)直線AB的方程為y=kx+b. 由OM⊥AB得k=-. 設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2), 由y2=4px及y=kx+b消去y, 得k2x2+x(2kb-4p)+b2=0,所以x1x2=. 消去x,得ky2-4py+4pb=0, 所以y1y2=. (6分) 由OA⊥OB,得y1y2=-x1x2, 所以=-,b=-4kp. 故y=kx+b=k(x-4p). (10分) 用k=-代入, 得x2+y2-4px=0 (x≠0). (12分) AB斜率不存在時(shí)

23、,經(jīng)驗(yàn)證也符合上式. 故M的軌跡方程為 x2+y2-4px=0 (x≠0). (14分) 10.解 (1)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為a、c,由已知得解得又∵b2=a2-c2,∴b=, 所以橢圓C的方程為+=1. (4分) (2)設(shè)M(x,y),其中x∈[-4,4], 由已知=λ2及點(diǎn)P在橢圓C上可得=λ2, 整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112, 其中x∈[-4,4]. (5分) ①當(dāng)λ=時(shí),化簡(jiǎn)得9y2=112, 所以點(diǎn)M的軌跡方程為y=±(-4≤x≤4). 軌跡是兩條平行于x軸的線段.(7分) ②當(dāng)λ≠時(shí),方程變形為+=1, 其中x∈[-

24、4,4]. 當(dāng)0<λ<時(shí),點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足-4≤x≤4的部分. 當(dāng)<λ<1時(shí),點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足-4≤x≤4的部分; 當(dāng)λ≥1時(shí),點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓. (14分) 11.解 (1)橢圓的方程可寫為+=1,其中a>b>0, 由得,所以曲線C的方程為x2+=1(01,y>2). (10分) (2)||2=x2+y2,y2==4+, 所以||2=x2-1++5≥4+5=9, 當(dāng)且僅當(dāng)x2-1=,即x=時(shí),上式取等號(hào). 故||的最小值為3. (14分) 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品

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