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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學學習資料◆+◆◆
曲線與方程
導學目標: 了解曲線的方程與方程的曲線的對應法則.
自主梳理
1.曲線的方程與方程的曲線
如果曲線C上點的坐標(x,y)都是方程f(x,y)=0的解,且以方程f(x,y)=0的解(x,y)為坐標的點都在曲線C上,那么,方程f(x,y)=0叫做曲線C的方程.曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線.
2.求曲線方程的一般方法(五步法)
求曲線(圖形)的方程,一般有下面幾個步驟:
(1)建立適當?shù)淖鴺讼?,用有序?qū)崝?shù)對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標;
(2)寫出適合條件p的點M的集合P={M|p(M)};
(3)
2、用坐標表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0為最簡形式;
(5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上.
3.求曲線方程的常用方法:
(1)直接法;(2)定義法;(3)代入法;(4)參數(shù)法.
自我檢測
1.已知動點P在曲線2x2-y=0上移動,則點A(0,-1)與點P連線中點的軌跡方程為______________.
2.一動圓與圓O:x2+y2=1外切,而與圓C:x2+y2-6x+8=0內(nèi)切,那么動圓的圓心P的軌跡是______________________________________________________________
3、____.
3.已知A(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以C為一個焦點作過A、B的橢圓,橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是______________________.
4.若M、N為兩個定點且MN=6,動點P滿足·=0,則P點的軌跡方程為________.
5.(2011·江西改編)若曲線C1:x2+y2-2x=0與曲線C2:y(y-mx-m)=0有四個不同的交點,則實數(shù)m的取值范圍是__________________.
探究點一 直接法求軌跡方程
例1 動點P與兩定點A(a,0),B(-a,0)連線的斜率的乘積為k,試求點P的軌跡方程,并討論軌跡是什么曲線.
4、
變式遷移1 已知兩點M(-2,0)、N(2,0),點P為坐標平面內(nèi)的動點,滿足||||+·=0,則動點P(x,y)的軌跡方程為______________.
探究點二 定義法求軌跡方程
例2 已知兩個定圓O1和O2,它們的半徑分別是1和2,且O1O2=4.動圓M與圓O1內(nèi)切,又與圓O2外切,建立適當?shù)淖鴺讼?,求動圓圓心M的軌跡方程,并說明軌跡是何種曲線.
變式遷移2 在△ABC中,A為動點,B、C為定點,B,C,且滿足條件sin C-sin B=sin A,則動點A的軌跡方程為_______________________
5、_____________.
探究點三 相關(guān)點法(代入法)求軌跡方程
例3 如圖所示,從雙曲線x2-y2=1上一點Q引直線x+y=2的垂線,垂足為N.
求線段QN的中點P的軌跡方程.
變式遷移3 已知長為1+的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動,P是AB上一點,且=.求點P的軌跡C的方程.
分類討論思想
例 (14分) 過定點A(a,b)任作互相垂直的兩直線l1與l2,且l1與x軸交于點M,l2與y軸交于點N,如圖所示,求線段MN的中點P的軌跡方程.
多角度
6、審題 要求點P坐標,必須先求M、N兩點,這樣就要求直線l1、l2,又l1、l2過定點且垂直,只要l1的斜率存在,設一參數(shù)k1即可求出P點坐標,再消去k1即得點P軌跡方程.
【答題模板】
解 (1)當l1不平行于y軸時,設l1的斜率為k1,則k1≠0.因為l1⊥l2,
所以l2的斜率為-, [2分]
l1的方程為y-b=k1(x-a), ①[4分]
l2的方程為y-b=-(x-a), ②[6分]
在①中令y=0,得M點的橫坐標為x1=a-, [8分]
在②中令x=0,得N點的縱坐標為y1=b+, [10分]
設MN中點P的坐標為(x,y),則有
消去k1
7、,得2ax+2by-a2-b2=0 (x≠). ③[12分]
(2)當l1平行于y軸時,MN中點為,其坐標滿足方程③.
綜合(1)(2)知所求MN中點P的軌跡方程為2ax+2by-a2-b2=0. [14分]
【突破思維障礙】
引進l1的斜率k1作參數(shù),寫出l1、l2的直線方程,求出M、N的坐標,求出點P的坐標,得參數(shù)方程,消參化為普通方程,本題還要注意直線l1的斜率是否存在.
【易錯點剖析】
當AM⊥x軸時,AM的斜率不存在,此時MN中點為,易錯點是把斜率不存在的情況忽略,因而丟掉點.
1.求軌跡方程的常用方法:(1)直接法:如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)
8、系,這些條件簡單明確,易于表達成含x,y的等式,就得到軌跡方程,這種方法稱之為直接法.用直接法求動點軌跡的方程一般有建系設點,列式,代換,化簡,證明五個步驟,但最后的證明可以省略.(2)定義法:運用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義),可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程,或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式,從而求出軌跡方程.(3)代入法:動點所滿足的條件不易表達或求出,但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點Q(x′,y′)的運動而有規(guī)律的運動,且動點Q的軌跡為給定或容易求得,則可先將x′,y′表示為x、y的式子,再代入Q的軌跡方程,然后整理得P的軌跡方程,代入法也稱相關(guān)點法.(4)參數(shù)法:求軌
9、跡方程有時很難直接找出動點的橫坐標、縱坐標之間的關(guān)系,則可借助中間變量(參數(shù)),使x、y之間建立起聯(lián)系,然后再從所求式子中消去參數(shù),得出動點的軌跡方程.
2.本節(jié)易錯點:(1)容易忽略直線斜率不存在的情況;(2)利用定義求曲線方程時,應考慮是否符合曲線的定義.
(滿分:90分)
一、填空題(每小題6分,共48分)
1.已知橢圓的焦點是F1、F2,P是橢圓的一個動點,如果M是線段F1P的中點,則動點M的軌跡是_________________________________________________________________.
2.已知A、B是兩個定點,且AB=
10、3,CB-CA=2,則點C的軌跡方程為______________.
3.長為3的線段AB的端點A、B分別在x軸、y軸上移動,=2,則點C的軌跡方程為____________.
4.(2011·淮安模擬)如圖,圓O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)為兩個定點.直線l是圓O的一條切線,若經(jīng)過A、B兩點的拋物線以直線l為準線,則拋物線焦點所在的軌跡是________.
5.P是橢圓+=1上的動點,作PD⊥y軸,D為垂足,則PD中點的軌跡方程為____________.
6.已知兩定點A(-2,0),B(1,0),如果動點P滿足PA=2PB,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等
11、于______.
7.已知△ABC的頂點B(0,0),C(5,0),AB邊上的中線長CD=3,則頂點A的軌跡方程為______________.
8.平面上有三點A(-2,y),B,C(x,y),若⊥,則動點C的軌跡方程為__________.
二、解答題(共42分)
9.(14分)已知拋物線y2=4px (p>0),O為頂點,A,B為拋物線上的兩動點,且滿足OA⊥OB,如果OM⊥AB于點M,求點M的軌跡方程.
10.(14分)(2009·寧夏、海南)已知橢圓C的中心為平面直角坐標系xOy的原點,焦點在x軸上,它的一個頂點到兩個
12、焦點的距離分別是7和1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若P為橢圓C上的動點,M為過P且垂直于x軸的直線上的一點,=λ,求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.
11.(14分)在平面直角坐標系xOy中,有一個以F1(0,-)和F2(0,)為焦點、離心率為的橢圓,設橢圓在第一象限的部分為曲線C,動點P在C上,C在點P處的切線與x軸,y軸的交點分別為A,B,且=+.求:
(1)點M的軌跡方程;
(2)||的最小值.
學案53 曲線與方程
答案
自我檢測
1.8x2-2y-1=0
13、2.雙曲線的右支 3.y2-=1(y≤-1)
4.x2+y2=9
5.(-,0)∪(0,)
解析 C1:(x-1)2+y2=1,
C2:y=0或y=mx+m=m(x+1).
當m=0時,C2:y=0,此時C1與C2顯然只有兩個交點;
當m≠0時,要滿足題意,需圓(x-1)2+y2=1與直線y=m(x+1)有兩交點,當圓與直線相切時,m=±,
即直線處于兩切線之間時滿足題意,
則-
14、B的斜率存在,因此軌跡曲線應除去A、B兩點;
③一般地,方程+=1所表示的曲線有以下幾種情況:
1° A>B>0,表示焦點在x軸上的橢圓;
2° A=B>0,表示圓;
3° 00>B,表示焦點在x軸上的雙曲線;
5° A<0
15、,(*)式即-=1,
①若k>0,點P的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線(除去A、B兩點).
②若k<0,(*)式可化為+=1.
1° 當-1
16、 解題導引 (1)由于動點M到兩定點O1、O2的距離的差為常數(shù),故應考慮是否符合雙曲線的定義,是雙曲線的一支還是兩支,能否確定實軸長和虛軸長等,以便直接寫出其方程,而不需再將幾何等式借助坐標轉(zhuǎn)化;
(2)求動點的軌跡或軌跡方程時需注意:“軌跡”和“軌跡方程”是兩個不同的概念,前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征,后者指方程(包括范圍).
解
如圖所示,以O1O2的中點O為原點,O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標系.
由O1O2=4,
得O1(-2,0)、O2(2,0).
設動圓M的半徑為r,則
由動圓M與圓O1內(nèi)切,有MO1=r-1;
由動圓M與圓O2外切,有MO2
17、=r+2.
∴MO2-MO1=3<4.
∴點M的軌跡是以O1、O2為焦點,實軸長為3的雙曲線的左支.
∴a=,c=2,∴b2=c2-a2=.
∴點M的軌跡方程為-=1 (x<0).
變式遷移2?。? (x>)
解析 ∵sin C-sin B=sin A,由正弦定理得到
AB-AC=BC=a(定值).
∴A點軌跡是以B,C為焦點的雙曲線右支,其中實半軸長為,焦距為BC=a.
∴虛半軸長為 =a,由雙曲線標準方程得為-=1(x>).
例3 解題導引 相關(guān)點法也叫坐標轉(zhuǎn)移(代入)法,是求軌跡方程常用的方法.其題目特征是:點A的運動與點B的運動相關(guān),且點B的運動有規(guī)律(有方程),
18、只需將A的坐標轉(zhuǎn)移到B的坐標中,整理即可得點A的軌跡方程.
解 設動點P的坐標為(x,y),點Q的坐標為(x1,y1),則點N的坐標為(2x-x1,2y-y1).
∵N在直線x+y=2上,
∴2x-x1+2y-y1=2. ①
又∵PQ垂直于直線x+y=2,
∴=1,即x-y+y1-x1=0. ②
聯(lián)立①②解得 ③
又點Q在雙曲線x2-y2=1上,
∴x-y=1.④
③代入④,得動點P的軌跡方程是
2x2-2y2-2x+2y-1=0.
變式遷移3 解 設A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),
=,
又=(x-x0,y),=(-x,y0-y),
所以x-x
19、0=-x,y=(y0-y)
得x0=x,y0=(1+)y.
因為AB=1+,即x+y=(1+)2,
所以2+[(1+)y]2=(1+)2,
化簡得+y2=1.
∴點P的軌跡方程為+y2=1.
課后練習區(qū)
1.以F1、O為焦點的橢圓
2.雙曲線的一支
解析 A、B是兩個定點,CB-CA=2
20、A、B在拋物線上,
所以由拋物線的定義知,A、B到F的距離AF、BF分別等于A、B到準線l的距離AM、BN(如圖所示),
于是AF+BF=AM+BN.
過O作OR⊥l,由于l是圓O的一條切線,所以四邊形AMNB是直角梯形,OR是中位線,
故有AF+BF=AM+BN
=2OR=8>4=AB.
根據(jù)橢圓的定義知,焦點F的軌跡是一個橢圓.
5.+=1
解析 設PD中點為M(x,y),則P點坐標為(2x,y),代入方程+=1,
即得+=1.
6.4π
解析 設P(x,y),由題知有:(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得x2-4x+y2=0,
配方得(x-2)2+
21、y2=4,可知圓的面積為4π.
7.(x-10)2+y2=36 (y≠0)
解析 方法一 直接法.
設A(x,y),y≠0,則D,
∴CD= =3.
化簡得(x-10)2+y2=36,
∵A、B、C三點構(gòu)成三角形,
∴A不能落在x軸上,即y≠0.
方法二
定義法.如圖所示,
設A(x,y),D為AB的中點,過A作AE∥CD交x軸于E,
則E(10,0).
∵CD=3,∴AE=6,
∴A到E的距離為常數(shù)6.
∴A的軌跡為以E為圓心,6為半徑的圓,
即(x-10)2+y2=36.
又A、B、C不共線,故A點縱坐標y≠0.
故A點軌跡方程為(x-10)2+y2
22、=36 (y≠0).
8.y2=8x
9.解 設M(x,y),直線AB斜率存在時,
設直線AB的方程為y=kx+b.
由OM⊥AB得k=-.
設A、B兩點坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2),
由y2=4px及y=kx+b消去y,
得k2x2+x(2kb-4p)+b2=0,所以x1x2=.
消去x,得ky2-4py+4pb=0,
所以y1y2=. (6分)
由OA⊥OB,得y1y2=-x1x2,
所以=-,b=-4kp.
故y=kx+b=k(x-4p). (10分)
用k=-代入,
得x2+y2-4px=0 (x≠0). (12分)
AB斜率不存在時
23、,經(jīng)驗證也符合上式.
故M的軌跡方程為
x2+y2-4px=0 (x≠0). (14分)
10.解 (1)設橢圓長半軸長及半焦距分別為a、c,由已知得解得又∵b2=a2-c2,∴b=,
所以橢圓C的方程為+=1. (4分)
(2)設M(x,y),其中x∈[-4,4],
由已知=λ2及點P在橢圓C上可得=λ2,
整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,
其中x∈[-4,4]. (5分)
①當λ=時,化簡得9y2=112,
所以點M的軌跡方程為y=±(-4≤x≤4).
軌跡是兩條平行于x軸的線段.(7分)
②當λ≠時,方程變形為+=1,
其中x∈[-
24、4,4].
當0<λ<時,點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足-4≤x≤4的部分.
當<λ<1時,點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足-4≤x≤4的部分;
當λ≥1時,點M的軌跡為中心在原點,長軸在x軸上的橢圓. (14分)
11.解 (1)橢圓的方程可寫為+=1,其中a>b>0,
由得,所以曲線C的方程為x2+=1(01,y>2). (10分)
(2)||2=x2+y2,y2==4+,
所以||2=x2-1++5≥4+5=9,
當且僅當x2-1=,即x=時,上式取等號.
故||的最小值為3. (14分)
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