《新課標》高三數(shù)學（人教版）第一輪復習單元講座 第01講 集合

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1、《新課標》高三數(shù)學（人教版）第一輪復習單元講座 第一講 集 合 一．課標要求： 1．集合的含義與表示 （1）通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系； （2）能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用； 2．集合間的基本關系 （1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集； （2）在具體情境中，了解全集與空集的含義； 3．集合的基本運算 （1）理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集； （2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集

2、的補集； （3）能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。 二．命題走向 有關集合的高考試題，考查重點是集合與集合之間的關系，近年試題加強了對集合的計算化簡的考查，并向無限集發(fā)展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意利用幾何的直觀性，注意運用Venn圖解題方法的訓練，注意利用特殊值法解題，加強集合表示方法的轉換和化簡的訓練?？荚囆问蕉嘁砸坏肋x擇題為主，分值5分。 預測2007年高考將繼續(xù)體現(xiàn)本章知識的工具作用，多以小題形式出現(xiàn)，也會滲透在解答題的表達之中，相對獨立。具體題型估計為： （1）題型是1個選擇題或1個填空題； （2）熱點是集合的基本概念

3、、運算和工具作用。 三．要點精講 1．集合：某些指定的對象集在一起成為集合。 （1）集合中的對象稱元素，若a是集合A的元素，記作；若b不是集合A的元素，記作； （2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性； 確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立； 互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現(xiàn)同一元素； 無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關； （3）表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法； 列舉法：把集合中

4、的元素一一列舉出來，寫在大括號內； 描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內。 具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。 注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。 （4）常用數(shù)集及其記法： 非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N； 正整數(shù)集，記作N*或N+； 整數(shù)集，記作Z； 有理數(shù)集，記作Q； 實數(shù)集，記作R。 2．集合的包含關系： （1）集合A的任何一個元素都是集合B的元素，則稱A

5、是B的子集（或B包含A），記作AB（或）； 集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣。若AB且BA，則稱A等于B，記作A=B；若AB且A≠B，則稱A是B的真子集，記作A B； （2）簡單性質：1）AA；2）A；3）若AB，BC，則AC；4）若集合A是n個元素的集合，則集合A有2n個子集（其中2n－1個真子集）； 3．全集與補集： （1）包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U； （2）若S是一個集合，AS，則，=稱S中子集A的補集； （3）簡單性質：1）()=A；2）S=，=S。 4．交集與并集： （1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集

6、合，叫做集合A與B的交集。交集。 （2）一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。。 注意：求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，結合Venn圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結合的思想方法。 5．集合的簡單性質： （1） （2） （3） （4）； （5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。 四．典例解析 題型1：集合的概念 例1．設集合，若，則下列關系正確的是（ ） A．

7、 B． C． D． 解：由于中只能取到所有的奇數(shù)，而中18為偶數(shù)。則。選項為D； 點評：該題考察了元素與集合、集合與集合之間的關系。首先應該分清楚元素與集合之間是屬于與不屬于的關系，而集合之間是包含與不包含的關系。 例2．設集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對任意實數(shù)x恒成立，則下列關系中成立的是（ ） A．PQ B．QP C．P=Q D．P∩Q=Q 解：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對任意實數(shù)x恒成立＝，對m分類： ①m=0時，－4＜0恒成立； ②m＜0時，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，

8、解得m＜0。 綜合①②知m≤0， ∴Q={m∈R|m≤0}。 答案為A。 點評：該題考察了集合間的關系，同時考察了分類討論的思想。集合中含有參數(shù)m，需要對參數(shù)進行分類討論，不能忽略m=0的情況。 題型2：集合的性質 例3．（2000廣東，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的個數(shù)是（ ） A．15 B．16 C．3 D．4 解：根據(jù)子集的計算應有24－1=15（個）。選項為A； 點評：該題考察集合子集個數(shù)公式。注意求真子集時千萬不要忘記空集是任何非空集合的真子集。同時，A不是A的真子集。 變式題：同時滿足條件：①②若，這樣的集合M有多少個

9、，舉出這些集合來。 答案：這樣的集合M有8個。 例4．已知全集，A={1,}如果，則這樣的實數(shù)是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由。 解：∵； ∴，即＝0，解得 當時，，為A中元素； 當時， 當時， ∴這樣的實數(shù)x存在，是或。 另法：∵ ∴， ∴＝0且 ∴或。 點評：該題考察了集合間的關系以及集合的性質。分類討論的過程中“當時，”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關鍵是理解符號是兩層含義：。 變式題：已知集合，,,求的值。 解：由可知， （1），或（2） 解（1）得， 解（2）得， 又因為當時，與題意不符， 所以，。 題型3：集合的運算 例5．

10、（06全國Ⅱ理，2）已知集合M＝｛x|x＜3，N＝｛x|log2x＞1｝，則M∩N＝（ ） A． B．｛x|0＜x＜3 C．｛x|1＜x＜3 D．｛x|2＜x＜3 解：由對數(shù)函數(shù)的性質，且2>1，顯然由易得。從而。故選項為D。 點評：該題考察了不等式和集合交運算。 例6．（06安徽理，1）設集合，，則等于（ ） A． B． C． D． 解：，，所以，故選B。 點評：該題考察了集合的交、補運算。 題型4：圖解法解集合問題 例7．（2003上海春，5）已知集合A={x||

11、x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，則實數(shù)a圖 的取值范圍是____ _。 解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用數(shù)軸上覆蓋關系：如圖所示，因此有a≤－2。 點評：本題利用數(shù)軸解決了集合的概念和集合的關系問題。 例8．（1996全國理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，則（ ） A．I＝A∪B B．I＝（A）∪B C．I＝A∪（B ） D．I＝（A）∪（B） 解：方法一：A中元素是非2的倍數(shù)的自然數(shù)，B中元素是非4的倍數(shù)的自然數(shù)，顯然，只有Ｃ選項正確.

12、圖 方法二：因A＝｛2，4，6，8…｝，B＝｛4，8，12，16，…｝，所以B＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I＝A∪B，故答案為Ｃ. 方法三：因BA，所以（）A（）B，（）A∩（B）＝A，故I＝A∪（A）＝A∪（B）。 方法四：根據(jù)題意，我們畫出Venn圖來解，易知BA，如圖：可以清楚看到I=A∪（B）是成立的。 點評：本題考查對集合概念和關系的理解和掌握，注意數(shù)形結合的思想方法，用無限集考查，提高了對邏輯思維能力的要求。 題型5：集合的應用 例9．向50名學生調查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結果 贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余

13、的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學生數(shù)比對A、B都贊成的學生數(shù)的三分之一多1人。問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？ 解：贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學生組成的集合為U，贊成事件A的學生全體為集合A；贊成事件B的學生全體為集合B。 設對事件A、B都贊成的學生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x。依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對A、B都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人。 點評：在集合問題中，有一些常用的方法如

14、數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握。本題主要強化學生的這種能力。解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。本題難點在于所給的數(shù)量關系比較錯綜復雜，一時理不清頭緒，不好找線索。畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關系間的聯(lián)系。 例10．求1到200這200個數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個？ 解：如圖先畫出Venn圖，不難看出不符合條件 的數(shù)共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5) －(200÷10)－(200÷6)－(200÷15) ＋(20

15、0÷30)＝146 所以，符合條件的數(shù)共有200－146＝54（個） 點評：分析200個數(shù)分為兩類，即滿足題設條件的和不滿足題設條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標準明確而簡單，可考慮用扣除法。 題型7：集合綜合題 例11．（1999上海，17）設集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求實數(shù)a的取值范圍。 解：由|x－a|<2，得a－2

16、概念及運算，解絕對值不等式、分式不等式和不等式組的基本方法。在解題過程中要注意利用不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法.體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法。 例12．已知{an}是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a1和d均為實數(shù)，它的前n項和記作Sn,設集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}。 試問下列結論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明： （1）若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上； （2）A∩B至多有一個元素； （3）當a1≠0時，一定有A∩B≠。 解：（1）正確；在等差數(shù)列{an}中，Sn=,則(a1+an),

17、這表明點(an,)的坐標適合方程y(x+a1),于是點(an, )均在直線y=x+a1上。 （2）正確；設(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標x,y應是方程組的解，由方程組消去y得：2a1x+a12=－4(*)， 當a1=0時，方程(*)無解，此時A∩B=； 當a1≠0時，方程(*)只有一個解x=,此時，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解。 ∴A∩B至多有一個元素。 （3）不正確；取a1=1，d=1，對一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n>0, >0，這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠，那么據(jù)(2)的結論，A∩

18、B中至多有一個元素(x0,y0),而x0=＜0,y0=＜0，這樣的(x0,y0)A,產生矛盾，故a1=1,d=1時A∩B=，所以a1≠0時，一定有A∩B≠是不正確的。 點評：該題融合了集合、數(shù)列、直線方程的知識，屬于知識交匯題。 變式題：解答下述問題： （Ⅰ）設集合，,求實數(shù)m的取值范圍. 分析：關鍵是準確理解 的具體意義，首先要從數(shù)學意義上解釋 的意義，然后才能提出解決問題的具體方法。 解： 的取值范圍是UM={m|m<-2}. （解法三）設這是開口向上的拋物線，，則二次函數(shù)性質知命題又等價于 注意，在解法三中，f(x)的對稱軸的位置起了關鍵作用，否

19、則解答沒有這么簡單。 （Ⅱ）已知兩個正整數(shù)集合A={a1,a2,a3,a4}, 、B. 分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據(jù)“交、并”的意義及元素的基本性質解決，注意“正整數(shù)”這個條件的運用， （Ⅲ） 分析：正確理解 要使, 由 當k=0時，方程有解,不合題意； 當① 又由 由②， 由①、②得 ∵b為自然數(shù)，∴b=2，代入①、②得k=1 點評：這是一組關于集合的“交、并”的常規(guī)問題，解決這些問題的關鍵是準確理解問題條件的具體的數(shù)學內容，才能由此尋求解決的方法。 題型6：課標創(chuàng)新題 例13．七名學生排成一排，甲不站在最左端和

20、最右端的兩個位置之一，乙、丙都不能站在正中間的位置，則有多少不同的排法？ 解：設集合A={甲站在最左端的位置}， B={甲站在最右端的位置}， C={乙站在正中間的位置}， D={丙站在正中間的位置}， 則集合A、B、C、D的關系如圖所示， ∴不同的排法有種. 點評：這是一道排列應用問題，如果直接分類、分步解答需要一定的基本功，容易錯，若考慮運用集合思想解答，則比較容易理解。上面的例子說明了集合思想的一些應用，在今后的學習中應注意總結集合應用的經(jīng)驗。 例14．A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對任意，都有 ； ②存在常數(shù)，使得對任意的，都有 （1）設，證明：

21、 （2）設,如果存在,使得,那么這樣的是唯一的; （3）設,任取,令證明:給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式。 解： 對任意,,,,所以 對任意的， ， ， 所以0<, 令=， ， 所以 反證法：設存在兩個使得,。 則由， 得，所以，矛盾，故結論成立。 ， 所以 +… 。 點評：函數(shù)的概念是在集合理論上發(fā)展起來的，而此題又將函數(shù)的性質融合在集合的關系當中，題目比較新穎。 五．思維總結 集合知識可以使我們更好地理解數(shù)學中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達數(shù)學問題，運用集合觀點去研究和解決數(shù)學問題。 1．學習集合的基礎能力是準確描述

22、集合中的元素，熟練運用集合的各種符號，如、、、、=、A、∪，∩等等； 2．強化對集合與集合關系題目的訓練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運用Venn圖解題方法的訓練，加強兩種集合表示方法轉換和化簡訓練；解決集合有關問題的關鍵是準確理解集合所描述的具體內容（即讀懂問題中的集合）以及各個集合之間的關系，常常根據(jù)“Venn圖”來加深對集合的理解，一個集合能化簡（或求解），一般應考慮先化簡（或求解）； 3．確定集合的“包含關系”與求集合的“交、并、補”是學習集合的中心內容，解決問題時應根據(jù)問題所涉及的具體的數(shù)學內容來尋求方法。 ① 區(qū)別∈與、與、a與{a}、φ與

23、{φ}、{(1,2)}與{1,2}； ② AB時，A有兩種情況：A＝φ與A≠φ。 ③若集合A中有n個元素，則集合A的所有不同的子集個數(shù)為，所有真子集的個數(shù)是－1, 所有非空真子集的個數(shù)是。 ④區(qū)分集合中元素的形式： 如； ； ； ； ； ； 。 ⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的區(qū)別；0與三者間的關系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況。 ⑥符號“”是表示元素與集合之間關系的，立體幾何中的體現(xiàn)點與直線（面）的關系 ；符號“”是表示集合與集合之間關系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關系。 邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的

24、一門學科，是人們認識和研究問題不可缺少的工具，是為了培養(yǎng)學生的推理技能，發(fā)展學生的思維能力。 普通高中課程標準實驗教科書—數(shù)學 [人教版] 高三新數(shù)學第一輪復習教案（講座3）—函數(shù)的基本性質 一．課標要求 1．通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x； 2．結合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義； 二．命題走向 從近幾年來看，函數(shù)性質是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質相關聯(lián)，因此在復習中，針對不同的函數(shù)類別及綜合情況，歸納出一定的復習線索。 預測2007年高考的出題思路是：通過研究函數(shù)的定義域、值域，進而研究函數(shù)的單調性、奇偶

25、性以及最值。 預測明年的對本講的考察是： （1）考察函數(shù)性質的選擇題1個或1個填空題，還可能結合導數(shù)出研究函數(shù)性質的大題； （2）以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)的性質，以組合形式、一題多角度考察函數(shù)性質預計成為新的熱點。 三．要點精講 1．奇偶性 （1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。 如果函數(shù)f(x)不具有上述性質，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。 注意： 函數(shù)是奇函

26、數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質； 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則－x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）。 （2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱； 確定f(－x)與f(x)的關系； 作出相應結論： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)。 （3）簡單性質： ①圖象的對稱性質：一個函數(shù)是奇函數(shù)

27、的充要條件是它的圖象關于原點對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y軸對稱； ②設，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上： 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 2．單調性 （1）定義：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I， 如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）； 注意： 函數(shù)的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數(shù)的局部性質； 必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1

28、

29、驟 利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性的一般步驟： 任取x1，x2∈D，且x1

30、如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。 最小值：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。 注意： 函數(shù)最大（?。┦紫葢撌悄骋粋€函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 函數(shù)最大（小）應該是所有函數(shù)值中最大（?。┑?，即對于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。 （2）利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ǎ? 利用二次函數(shù)的

31、性質（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?； 利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲担? 利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担? 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)； 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)； 4．周期性 （1）定義：如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于函數(shù)定義域內的任意x，都有f(x+T)= f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)； （2）性質：①f(x+T)= f(x)常常寫作若f(x)的周期中，存在一個最小的正數(shù)，則稱它

32、為f(x)的最小正周期；②若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則f(ωx)（ω≠0）是周期函數(shù)，且周期為。 四．典例解析 題型一：判斷函數(shù)的奇偶性 例1．討論下述函數(shù)的奇偶性： 解：（1）函數(shù)定義域為R， ， ∴f(x)為偶函數(shù)； （另解）先化簡：，顯然為偶函數(shù)；從這可以看出，化簡后再解決要容易得多。 （2）須要分兩段討論： ①設 ②設 ③當x=0時f(x)=0，也滿足f(－x)=－f(x)； 由①、②、③知，對x∈R有f(－x) =－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)； （3），∴函數(shù)的定義域為， ∴f(x)=log21=0(x=±1) ，即f(x)的

33、圖象由兩個點 A（－1，0）與B（1，0）組成，這兩點既關于y軸對稱，又關于原點對稱，∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)； （4）∵x2≤a2, ∴要分a >0與a <0兩類討論， ①當a >0時， ，∴當a >0時，f(x)為奇函數(shù)； 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù). 點評：判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時應先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的解析式能化簡，一般應考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程（要保證定義域不變）。 例2．(2002天津文.16)設函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）內有定義，下列函數(shù)：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；

34、④y=f（x）－f（－x）。 必為奇函數(shù)的有_____（要求填寫正確答案的序號） 答案：②④；解析：y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y；y=f（－x）－f（x）=－y。 點評：該題考察了判斷抽象函數(shù)奇偶性的問題。對學生邏輯思維能力有較高的要求。 題型二：奇偶性的應用 例3．（2002上海春，4）設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當x≥0時，f（x）=log3（1+x），則f（－2）=____ _。 答案：－1；解：因為x≥0時，f（x）=log3（1+x），又f（x）為奇函數(shù)，所以f（－x）=－f（x），設x＜0，所以f（x）=－f（－x）=－f（1－x），所以

35、f（－2）=－log33=－1。 點評：該題考察函數(shù)奇偶性的應用。解題思路是利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)在對稱區(qū)域上函數(shù)的取值。 例4．已知定義在R上的函數(shù)y= f(x)滿足f(2+x)= f(2－x)，且f(x)是偶函數(shù)，當x∈[0，2]時，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]時f(x)的表達式。 解：由條件可以看出，應將區(qū)間[－4，0]分成兩段考慮： ①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]， ∵f(x)為偶函數(shù)， ∴當x∈[－2，0]時，f(x)= f(－x)=－2x－1, ②若x∈[－4，－2， ∴4+ x∈[0，2， ∵f(2+x)+ f(2－x)， ∴f(x)= f

36、(4－x)， ∴f(x)= f(－x)= f[4－（－x）]= f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7； 綜上， 點評：結合函數(shù)的數(shù)字特征，借助函數(shù)的奇偶性，處理函數(shù)的解析式。 題型三：判斷證明函數(shù)的單調性 例5．（2001天津，19）設，是上的偶函數(shù)。 （1）求的值；（2）證明在上為增函數(shù)。 解：（1）依題意，對一切，有，即。 ∴對一切成立，則，∴， ∵，∴。 （2）(定義法)設，則 ， 由，得，， ∴， 即，∴在上為增函數(shù)。 （導數(shù)法）∵， ∴ ∴在上為增函數(shù) 點評：本題用了兩種方法：定義法和導數(shù)法，相比之下導數(shù)法比定義法更為簡潔。 例6．已知f(x

37、)是定義在R上的增函數(shù)，對x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，設F(x)= f(x)+，討論F (x)的單調性，并證明你的結論。 解：這是抽角函數(shù)的單調性問題，應該用單調性定義解決。 在R上任取x1、x2，設x110時f(x)>1; ① 若x1x1>5，則f(x2)>f(x1)>1 , ∴

38、f(x1)f(x2)>1, ∴>0, ∴ F(x2)> F (x1)； 綜上，F(xiàn) (x)在（－∞，5）為減函數(shù)，在（5，+∞）為增函數(shù)。 點評：該題屬于判斷抽象函數(shù)的單調性。抽象函數(shù)問題是函數(shù)學習中一類比較特殊的問題，其基本能力是變量代換、換元等，應熟練掌握它們的這些特點。 題型四：函數(shù)的單調區(qū)間 例7．（2001春季北京、安徽，12）設函數(shù)f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的單調區(qū)間，并證明f（x）在其單調區(qū)間上的單調性。 .解：在定義域內任取x1＜x2， ∴f（x1）－f（x2）＝ ， ∵a＞b＞0，∴b－a＜0，x1－x2＜0， 只有當x1＜x2＜－b或－b＜

39、x1＜x2時函數(shù)才單調． 當x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2時f（x1）－f（x2）＞0． ∴f（x）在（－b，＋∞）上是單調減函數(shù)，在（－∞，－b）上是單調減函數(shù)． 點評：本小題主要考查了函數(shù)單調性的基本知識。對于含參數(shù)的函數(shù)應用函數(shù)單調性的定義求函數(shù)的單調區(qū)間。 例8．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間； （2）已知若試確定的單調區(qū)間和單調性。 解：（1）函數(shù)的定義域為， 分解基本函數(shù)為、 顯然在上是單調遞減的，而在上分別是單調遞減和單調遞增的。根據(jù)復合函數(shù)的單調性的規(guī)則： 所以函數(shù)在上分別單調遞增、單調遞減。 （2）解法一：函數(shù)的定義域為R， 分解基本函數(shù)為和。 顯然在上是

40、單調遞減的，上單調遞增； 而在上分別是單調遞增和單調遞減的。且， 根據(jù)復合函數(shù)的單調性的規(guī)則： 所以函數(shù)的單調增區(qū)間為；單調減區(qū)間為。 解法二：， ， 令 ，得或， 令 ，或 ∴單調增區(qū)間為；單調減區(qū)間為。 點評：該題考察了復合函數(shù)的單調性。要記住“同向增、異向減”的規(guī)則。 題型五：單調性的應用 例9．已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。 解：∵f(2)=0,∴原不等式可化為f［log2(x2+5x+4)］≥f(2)。 又∵f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)， ∴f(x)在(

41、－∞,0)上為減函數(shù)且f(－2)=f(2)=0。 ∴不等式可化為　　log2(x2+5x+4)≥2 　　　　　?、? 或　　　　　　　　log2(x2+5x+4)≤－2 ② 由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0 ③ 由②得0＜x2+5x+4≤得 ≤x＜－4或－1＜x≤ ④ 由③④得原不等式的解集為 {x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0。 例10．已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)在［0，+∞］上是增函數(shù)，是否存在實數(shù)m，使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)對所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范

42、圍，若不存在，說明理由。 解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且在［0，+∞］上是增函數(shù)， ∴f(x)是R上的增函數(shù)，于是不等式可等價地轉化為f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)， 即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0。 設t=cosθ,則問題等價地轉化為函數(shù) g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒為正，又轉化為函數(shù)g(t)在［0，1］上的最小值為正。 ∴當<0,即m<0時，g(0)=2m－2>0m>1與m<0不符； 當0≤≤1時，即0≤m≤2時，g(m)=－+2m－2>04－2

43、4－21,即m>2時，g(1)=m－1>0m>1。 ∴m>2 綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4－2。 另法(僅限當m能夠解出的情況)： cos2θ－mcosθ+2m－2>0對于θ∈［0,］恒成立，等價于m>(2－cos2θ)/(2－cosθ) 對于θ∈［0,］恒成立 ∵當θ∈［0,］時，(2－cos2θ)/(2－cosθ) ≤4－2，∴m>4－2。 點評：上面兩例子借助于函數(shù)的單調性處理了恒成立問題和不等式的求解問題。 題型六：最值問題 例11．（2002全國理，21）設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R。 （1）討論f（

44、x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。 解：（1）當a=0時，函數(shù)f（－x）=（－x）2+|－x|+1=f（x），此時f（x）為偶函數(shù)。 當a≠0時，f（a）=a2+1，f（－a）=a2+2|a|+1，f（－a）≠f（a），f（－a）≠－f（a）。 此時函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。 （2）①當x≤a時，函數(shù)f（x）=x2－x+a+1=（x－）2+a+。 若a≤，則函數(shù)f（x）在（－∞，a）上單調遞減，從而，函數(shù)f（x）在（－∞，a）上的最小值為f（a）=a2+1。 若a＞，則函數(shù)f（x）在（－∞，a上的最小值為f（）=+a，且f（）≤ f（a）。 ②當x≥a時，函

45、數(shù)f（x）=x2+x－a+1=（x+）2－a+。 若a≤－，則函數(shù)f（x）在［a，+∞上的最小值為f（－）=－a，且f（－）≤f（a）。 若a＞－，則函數(shù)f（x）在［a，+∞］上單調遞增，從而，函數(shù)f（x）在［a，+∞］上的最小值為f（a）=a2+1。 綜上，當a≤－時，函數(shù)f（x）的最小值是－a。 當－＜a≤時，函數(shù)f（x）的最小值是a2+1。 當a＞時，函數(shù)f（x）的最小值是a+。 點評：函數(shù)奇偶性的討論問題是中學數(shù)學的基本問題，如果平時注意知識的積累，對解此題會有較大幫助.因為x∈R，f（0）=|a|+1≠0，由此排除f（x）是奇函數(shù)的可能性.運用偶函數(shù)的定義分析可知，當a=

46、0時，f（x）是偶函數(shù)，第2題主要考查學生的分類討論思想、對稱思想。 例12．設m是實數(shù)，記M={m|m>1}，f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+)。 (1)證明：當m∈M時，f(x)對所有實數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則m∈M； (2)當m∈M時，求函數(shù)f(x)的最小值； (3)求證：對每個m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1。 　(1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+］, 當m∈M時，m>1,∴(x－m)2+m+>0恒成立， 故f(x)的定義域為R。 反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則只須x2－4m

47、x+4m2+m+>0。 令Δ＜0，即16m2－4(4m2+m+)＜0，解得m>1，故m∈M。 (2)解析：設u=x2－4mx+4m2+m+， ∵y=log3u是增函數(shù)， ∴當u最小時，f(x)最小。 而u=(x－2m)2+m+， 顯然，當x=m時，u取最小值為m+， 此時f(2m)=log3(m+)為最小值。 (3)證明：當m∈M時，m+=(m－1)+ +1≥3， 當且僅當m=2時等號成立。 ∴l(xiāng)og3(m+)≥log33=1。 點評：該題屬于函數(shù)最值的綜合性問題，考生需要結合對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質來進行處理。 題型七：周期問題 例13．若y=f(2x)的圖像關于

48、直線和對稱，則f(x)的一個周期為（ ） A． B． C． D． 解：因為y=f(2x)關于對稱，所以f(a+2x)=f(a－2x)。 所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。 同理，f(b+2x) =f(b－2x)， 所以f(2b－2x)=f(2x)， 所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。 所以f(2x)的一個周期為2b－2a， 故知f(x)的一個周期為4(b－a)。選項為D。 點評：考察函數(shù)的對稱性以及周期性，類比三角函數(shù)

49、中的周期變換和對稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a和x=b對稱（a≠b），則這個函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為2（b－a）。 例14．已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值。 ①證明：； ②求的解析式； ③求在上的解析式。 解：∵是以為周期的周期函數(shù)， ∴， 又∵是奇函數(shù)， ∴， ∴。 ②當時，由題意可設， 由得， ∴， ∴。 ③∵是奇函數(shù)， ∴， 又知在上是一次函數(shù)， ∴可設，而， ∴，∴當時，， 從而當時，，故時，。 ∴當時，有， ∴。 當時，， ∴ ∴。

50、 點評：該題屬于普通函數(shù)周期性應用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉化成數(shù)字特征。 五．思維總結 1．判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進行，為了便于判斷，常應用定義的等價形式：f(-x)= ±f(x)óf(-x) f(x)=0； 2．對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質是：函數(shù)的定義域關于原點對稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內的任意x，都有f(x+a)=f(a-

51、x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應圖象的特殊的對稱性的反映； 3．若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0，因此，“f(x)為奇函數(shù)”是"f(0)=0"的非充分非必要條件； 4．奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性。 5．若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)對f(x)定義域內任意x恒成立，則稱T為函數(shù)f(x)的周期，一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無限集。 6．單調性是函數(shù)學習中非常重要的內容，應用十分廣泛，由于新教材增加了“導數(shù)”的內容，所以解決單調性問題的能力得到了很大的提高，因此解決具體函數(shù)的單調性問題，一般求導解決，而解決與抽象函數(shù)有關的單調性問題一般需要用單調性定義解決。注意，關于復合函數(shù)的單調性的知識一般用于簡單問題的分析，嚴格的解答還是應該運用定義或求導解決。 第 26 頁 共 26 頁