《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第01講 集合

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1、《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第一講 集 合 一．課標(biāo)要求： 1．集合的含義與表示 （1）通過(guò)實(shí)例，了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系； （2）能選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言（列舉法或描述法）描述不同的具體問(wèn)題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用； 2．集合間的基本關(guān)系 （1）理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集； （2）在具體情境中，了解全集與空集的含義； 3．集合的基本運(yùn)算 （1）理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集； （2）理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集

2、的補(bǔ)集； （3）能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用。 二．命題走向 有關(guān)集合的高考試題，考查重點(diǎn)是集合與集合之間的關(guān)系，近年試題加強(qiáng)了對(duì)集合的計(jì)算化簡(jiǎn)的考查，并向無(wú)限集發(fā)展，考查抽象思維能力，在解決這些問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何的直觀性，注意運(yùn)用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，注意利用特殊值法解題，加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)換和化簡(jiǎn)的訓(xùn)練?？荚囆问蕉嘁砸坏肋x擇題為主，分值5分。 預(yù)測(cè)2007年高考將繼續(xù)體現(xiàn)本章知識(shí)的工具作用，多以小題形式出現(xiàn)，也會(huì)滲透在解答題的表達(dá)之中，相對(duì)獨(dú)立。具體題型估計(jì)為： （1）題型是1個(gè)選擇題或1個(gè)填空題； （2）熱點(diǎn)是集合的基本概念

3、、運(yùn)算和工具作用。 三．要點(diǎn)精講 1．集合：某些指定的對(duì)象集在一起成為集合。 （1）集合中的對(duì)象稱元素，若a是集合A的元素，記作；若b不是集合A的元素，記作； （2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無(wú)序性； 確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立； 互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體（對(duì)象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素； 無(wú)序性：集合中不同的元素之間沒(méi)有地位差異，集合不同于元素的排列順序無(wú)關(guān)； （3）表示一個(gè)集合可用列舉法、描述法或圖示法； 列舉法：把集合中

4、的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)； 描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào){}內(nèi)。 具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。 注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問(wèn)題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無(wú)限個(gè)元素時(shí)，不宜采用列舉法。 （4）常用數(shù)集及其記法： 非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N； 正整數(shù)集，記作N*或N+； 整數(shù)集，記作Z； 有理數(shù)集，記作Q； 實(shí)數(shù)集，記作R。 2．集合的包含關(guān)系： （1）集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則稱A

5、是B的子集（或B包含A），記作AB（或）； 集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。若AB且BA，則稱A等于B，記作A=B；若AB且A≠B，則稱A是B的真子集，記作A B； （2）簡(jiǎn)單性質(zhì)：1）AA；2）A；3）若AB，BC，則AC；4）若集合A是n個(gè)元素的集合，則集合A有2n個(gè)子集（其中2n－1個(gè)真子集）； 3．全集與補(bǔ)集： （1）包含了我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素的集合稱為全集，記作U； （2）若S是一個(gè)集合，AS，則，=稱S中子集A的補(bǔ)集； （3）簡(jiǎn)單性質(zhì)：1）()=A；2）S=，=S。 4．交集與并集： （1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集

6、合，叫做集合A與B的交集。交集。 （2）一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。。 注意：求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問(wèn)題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語(yǔ)言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。 5．集合的簡(jiǎn)單性質(zhì)： （1） （2） （3） （4）； （5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。 四．典例解析 題型1：集合的概念 例1．設(shè)集合，若，則下列關(guān)系正確的是（ ） A．

7、 B． C． D． 解：由于中只能取到所有的奇數(shù)，而中18為偶數(shù)。則。選項(xiàng)為D； 點(diǎn)評(píng)：該題考察了元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系。首先應(yīng)該分清楚元素與集合之間是屬于與不屬于的關(guān)系，而集合之間是包含與不包含的關(guān)系。 例2．設(shè)集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則下列關(guān)系中成立的是（ ） A．PQ B．QP C．P=Q D．P∩Q=Q 解：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立＝，對(duì)m分類： ①m=0時(shí)，－4＜0恒成立； ②m＜0時(shí)，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，

8、解得m＜0。 綜合①②知m≤0， ∴Q={m∈R|m≤0}。 答案為A。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合間的關(guān)系，同時(shí)考察了分類討論的思想。集合中含有參數(shù)m，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，不能忽略m=0的情況。 題型2：集合的性質(zhì) 例3．（2000廣東，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的個(gè)數(shù)是（ ） A．15 B．16 C．3 D．4 解：根據(jù)子集的計(jì)算應(yīng)有24－1=15（個(gè)）。選項(xiàng)為A； 點(diǎn)評(píng)：該題考察集合子集個(gè)數(shù)公式。注意求真子集時(shí)千萬(wàn)不要忘記空集是任何非空集合的真子集。同時(shí)，A不是A的真子集。 變式題：同時(shí)滿足條件：①②若，這樣的集合M有多少個(gè)

9、，舉出這些集合來(lái)。 答案：這樣的集合M有8個(gè)。 例4．已知全集，A={1,}如果，則這樣的實(shí)數(shù)是否存在？若存在，求出，若不存在，說(shuō)明理由。 解：∵； ∴，即＝0，解得 當(dāng)時(shí)，，為A中元素； 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ∴這樣的實(shí)數(shù)x存在，是或。 另法：∵ ∴， ∴＝0且 ∴或。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。分類討論的過(guò)程中“當(dāng)時(shí)，”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關(guān)鍵是理解符號(hào)是兩層含義：。 變式題：已知集合，,,求的值。 解：由可知， （1），或（2） 解（1）得， 解（2）得， 又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，與題意不符， 所以，。 題型3：集合的運(yùn)算 例5．

10、（06全國(guó)Ⅱ理，2）已知集合M＝｛x|x＜3，N＝｛x|log2x＞1｝，則M∩N＝（ ） A． B．｛x|0＜x＜3 C．｛x|1＜x＜3 D．｛x|2＜x＜3 解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，且2>1，顯然由易得。從而。故選項(xiàng)為D。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了不等式和集合交運(yùn)算。 例6．（06安徽理，1）設(shè)集合，，則等于（ ） A． B． C． D． 解：，，所以，故選B。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合的交、補(bǔ)運(yùn)算。 題型4：圖解法解集合問(wèn)題 例7．（2003上海春，5）已知集合A={x||

11、x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，則實(shí)數(shù)a圖 的取值范圍是____ _。 解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用數(shù)軸上覆蓋關(guān)系：如圖所示，因此有a≤－2。 點(diǎn)評(píng)：本題利用數(shù)軸解決了集合的概念和集合的關(guān)系問(wèn)題。 例8．（1996全國(guó)理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，則（ ） A．I＝A∪B B．I＝（A）∪B C．I＝A∪（B ） D．I＝（A）∪（B） 解：方法一：A中元素是非2的倍數(shù)的自然數(shù)，B中元素是非4的倍數(shù)的自然數(shù)，顯然，只有Ｃ選項(xiàng)正確.

12、圖 方法二：因A＝｛2，4，6，8…｝，B＝｛4，8，12，16，…｝，所以B＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I＝A∪B，故答案為Ｃ. 方法三：因BA，所以（）A（）B，（）A∩（B）＝A，故I＝A∪（A）＝A∪（B）。 方法四：根據(jù)題意，我們畫(huà)出Venn圖來(lái)解，易知BA，如圖：可以清楚看到I=A∪（B）是成立的。 點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)集合概念和關(guān)系的理解和掌握，注意數(shù)形結(jié)合的思想方法，用無(wú)限集考查，提高了對(duì)邏輯思維能力的要求。 題型5：集合的應(yīng)用 例9．向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果 贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余

13、的不贊成；另外，對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人。問(wèn)對(duì)A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？ 解：贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B。 設(shè)對(duì)事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x。依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對(duì)A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人。 點(diǎn)評(píng)：在集合問(wèn)題中，有一些常用的方法如

14、數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實(shí)掌握。本題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力。解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來(lái)。本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯(cuò)綜復(fù)雜，一時(shí)理不清頭緒，不好找線索。畫(huà)出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系。 例10．求1到200這200個(gè)數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個(gè)？ 解：如圖先畫(huà)出Venn圖，不難看出不符合條件 的數(shù)共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5) －(200÷10)－(200÷6)－(200÷15) ＋(20

15、0÷30)＝146 所以，符合條件的數(shù)共有200－146＝54（個(gè)） 點(diǎn)評(píng)：分析200個(gè)數(shù)分為兩類，即滿足題設(shè)條件的和不滿足題設(shè)條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標(biāo)準(zhǔn)明確而簡(jiǎn)單，可考慮用扣除法。 題型7：集合綜合題 例11．（1999上海，17）設(shè)集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解：由|x－a|<2，得a－2

16、概念及運(yùn)算，解絕對(duì)值不等式、分式不等式和不等式組的基本方法。在解題過(guò)程中要注意利用不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。 例12．已知{an}是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a1和d均為實(shí)數(shù)，它的前n項(xiàng)和記作Sn,設(shè)集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2－y2=1,x,y∈R}。 試問(wèn)下列結(jié)論是否正確，如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)舉例說(shuō)明： （1）若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這些點(diǎn)都在同一條直線上； （2）A∩B至多有一個(gè)元素； （3）當(dāng)a1≠0時(shí)，一定有A∩B≠。 解：（1）正確；在等差數(shù)列{an}中，Sn=,則(a1+an),

17、這表明點(diǎn)(an,)的坐標(biāo)適合方程y(x+a1),于是點(diǎn)(an, )均在直線y=x+a1上。 （2）正確；設(shè)(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解，由方程組消去y得：2a1x+a12=－4(*)， 當(dāng)a1=0時(shí)，方程(*)無(wú)解，此時(shí)A∩B=； 當(dāng)a1≠0時(shí)，方程(*)只有一個(gè)解x=,此時(shí)，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解。 ∴A∩B至多有一個(gè)元素。 （3）不正確；取a1=1，d=1，對(duì)一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n>0, >0，這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠，那么據(jù)(2)的結(jié)論，A∩

18、B中至多有一個(gè)元素(x0,y0),而x0=＜0,y0=＜0，這樣的(x0,y0)A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時(shí)A∩B=，所以a1≠0時(shí)，一定有A∩B≠是不正確的。 點(diǎn)評(píng)：該題融合了集合、數(shù)列、直線方程的知識(shí)，屬于知識(shí)交匯題。 變式題：解答下述問(wèn)題： （Ⅰ）設(shè)集合，,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 分析：關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解 的具體意義，首先要從數(shù)學(xué)意義上解釋 的意義，然后才能提出解決問(wèn)題的具體方法。 解： 的取值范圍是UM={m|m<-2}. （解法三）設(shè)這是開(kāi)口向上的拋物線，，則二次函數(shù)性質(zhì)知命題又等價(jià)于 注意，在解法三中，f(x)的對(duì)稱軸的位置起了關(guān)鍵作用，否

19、則解答沒(méi)有這么簡(jiǎn)單。 （Ⅱ）已知兩個(gè)正整數(shù)集合A={a1,a2,a3,a4}, 、B. 分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據(jù)“交、并”的意義及元素的基本性質(zhì)解決，注意“正整數(shù)”這個(gè)條件的運(yùn)用， （Ⅲ） 分析：正確理解 要使, 由 當(dāng)k=0時(shí)，方程有解,不合題意； 當(dāng)① 又由 由②， 由①、②得 ∵b為自然數(shù)，∴b=2，代入①、②得k=1 點(diǎn)評(píng)：這是一組關(guān)于集合的“交、并”的常規(guī)問(wèn)題，解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解問(wèn)題條件的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，才能由此尋求解決的方法。 題型6：課標(biāo)創(chuàng)新題 例13．七名學(xué)生排成一排，甲不站在最左端和

20、最右端的兩個(gè)位置之一，乙、丙都不能站在正中間的位置，則有多少不同的排法？ 解：設(shè)集合A={甲站在最左端的位置}， B={甲站在最右端的位置}， C={乙站在正中間的位置}， D={丙站在正中間的位置}， 則集合A、B、C、D的關(guān)系如圖所示， ∴不同的排法有種. 點(diǎn)評(píng)：這是一道排列應(yīng)用問(wèn)題，如果直接分類、分步解答需要一定的基本功，容易錯(cuò)，若考慮運(yùn)用集合思想解答，則比較容易理解。上面的例子說(shuō)明了集合思想的一些應(yīng)用，在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意總結(jié)集合應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)。 例14．A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：①對(duì)任意，都有 ； ②存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有 （1）設(shè)，證明：

21、 （2）設(shè),如果存在,使得,那么這樣的是唯一的; （3）設(shè),任取,令證明:給定正整數(shù)k,對(duì)任意的正整數(shù)p,成立不等式。 解： 對(duì)任意,,,,所以 對(duì)任意的， ， ， 所以0<, 令=， ， 所以 反證法：設(shè)存在兩個(gè)使得,。 則由， 得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。 ， 所以 +… 。 點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的概念是在集合理論上發(fā)展起來(lái)的，而此題又將函數(shù)的性質(zhì)融合在集合的關(guān)系當(dāng)中，題目比較新穎。 五．思維總結(jié) 集合知識(shí)可以使我們更好地理解數(shù)學(xué)中廣泛使用的集合語(yǔ)言，并用集合語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用集合觀點(diǎn)去研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。 1．學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)能力是準(zhǔn)確描述

22、集合中的元素，熟練運(yùn)用集合的各種符號(hào)，如、、、、=、A、∪，∩等等； 2．強(qiáng)化對(duì)集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問(wèn)題，注意運(yùn)用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，加強(qiáng)兩種集合表示方法轉(zhuǎn)換和化簡(jiǎn)訓(xùn)練；解決集合有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解集合所描述的具體內(nèi)容（即讀懂問(wèn)題中的集合）以及各個(gè)集合之間的關(guān)系，常常根據(jù)“Venn圖”來(lái)加深對(duì)集合的理解，一個(gè)集合能化簡(jiǎn)（或求解），一般應(yīng)考慮先化簡(jiǎn)（或求解）； 3．確定集合的“包含關(guān)系”與求集合的“交、并、補(bǔ)”是學(xué)習(xí)集合的中心內(nèi)容，解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)根據(jù)問(wèn)題所涉及的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)尋求方法。 ① 區(qū)別∈與、與、a與{a}、φ與

23、{φ}、{(1,2)}與{1,2}； ② AB時(shí)，A有兩種情況：A＝φ與A≠φ。 ③若集合A中有n個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為，所有真子集的個(gè)數(shù)是－1, 所有非空真子集的個(gè)數(shù)是。 ④區(qū)分集合中元素的形式： 如； ； ； ； ； ； 。 ⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系?？占侨魏渭系淖蛹?，是任何非空集合的真子集。條件為，在討論的時(shí)候不要遺忘了的情況。 ⑥符號(hào)“”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)點(diǎn)與直線（面）的關(guān)系 ；符號(hào)“”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關(guān)系。 邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的

24、一門學(xué)科，是人們認(rèn)識(shí)和研究問(wèn)題不可缺少的工具，是為了培養(yǎng)學(xué)生的推理技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)—數(shù)學(xué) [人教版] 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座3）—函數(shù)的基本性質(zhì) 一．課標(biāo)要求 1．通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x； 2．結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義； 二．命題走向 從近幾年來(lái)看，函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，因此在復(fù)習(xí)中，針對(duì)不同的函數(shù)類別及綜合情況，歸納出一定的復(fù)習(xí)線索。 預(yù)測(cè)2007年高考的出題思路是：通過(guò)研究函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶

25、性以及最值。 預(yù)測(cè)明年的對(duì)本講的考察是： （1）考察函數(shù)性質(zhì)的選擇題1個(gè)或1個(gè)填空題，還可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)出研究函數(shù)性質(zhì)的大題； （2）以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)的性質(zhì)，以組合形式、一題多角度考察函數(shù)性質(zhì)預(yù)計(jì)成為新的熱點(diǎn)。 三．要點(diǎn)精講 1．奇偶性 （1）定義：如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。 如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。 注意： 函數(shù)是奇函

26、數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)； 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。 （2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 確定f(－x)與f(x)的關(guān)系； 作出相應(yīng)結(jié)論： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)。 （3）簡(jiǎn)單性質(zhì)： ①圖象的對(duì)稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)

27、的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱； ②設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上： 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 2．單調(diào)性 （1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮， 如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1f(x2)），那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）； 注意： 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)； 必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1

28、

29、驟 利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟： 任取x1，x2∈D，且x1

30、如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。 最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。 注意： 函數(shù)最大（?。┦紫葢?yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑模磳?duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。 （2）利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值的方法： 利用二次函數(shù)的

31、性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?； 利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?； 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担? 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)； 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)； 4．周期性 （1）定義：如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+T)= f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)； （2）性質(zhì)：①f(x+T)= f(x)常常寫(xiě)作若f(x)的周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱它

32、為f(x)的最小正周期；②若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則f(ωx)（ω≠0）是周期函數(shù)，且周期為。 四．典例解析 題型一：判斷函數(shù)的奇偶性 例1．討論下述函數(shù)的奇偶性： 解：（1）函數(shù)定義域?yàn)镽， ， ∴f(x)為偶函數(shù)； （另解）先化簡(jiǎn)：，顯然為偶函數(shù)；從這可以看出，化簡(jiǎn)后再解決要容易得多。 （2）須要分兩段討論： ①設(shè) ②設(shè) ③當(dāng)x=0時(shí)f(x)=0，也滿足f(－x)=－f(x)； 由①、②、③知，對(duì)x∈R有f(－x) =－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)； （3），∴函數(shù)的定義域?yàn)椋? ∴f(x)=log21=0(x=±1) ，即f(x)的

33、圖象由兩個(gè)點(diǎn) A（－1，0）與B（1，0）組成，這兩點(diǎn)既關(guān)于y軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)； （4）∵x2≤a2, ∴要分a >0與a <0兩類討論， ①當(dāng)a >0時(shí)， ，∴當(dāng)a >0時(shí)，f(x)為奇函數(shù)； 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù). 點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問(wèn)題，難度不大，解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的解析式能化簡(jiǎn)，一般應(yīng)考慮先化簡(jiǎn)，但化簡(jiǎn)必須是等價(jià)變換過(guò)程（要保證定義域不變）。 例2．(2002天津文.16)設(shè)函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）內(nèi)有定義，下列函數(shù)：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；

34、④y=f（x）－f（－x）。 必為奇函數(shù)的有_____（要求填寫(xiě)正確答案的序號(hào)） 答案：②④；解析：y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y；y=f（－x）－f（x）=－y。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了判斷抽象函數(shù)奇偶性的問(wèn)題。對(duì)學(xué)生邏輯思維能力有較高的要求。 題型二：奇偶性的應(yīng)用 例3．（2002上海春，4）設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=log3（1+x），則f（－2）=____ _。 答案：－1；解：因?yàn)閤≥0時(shí)，f（x）=log3（1+x），又f（x）為奇函數(shù)，所以f（－x）=－f（x），設(shè)x＜0，所以f（x）=－f（－x）=－f（1－x），所以

35、f（－2）=－log33=－1。 點(diǎn)評(píng)：該題考察函數(shù)奇偶性的應(yīng)用。解題思路是利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)在對(duì)稱區(qū)域上函數(shù)的取值。 例4．已知定義在R上的函數(shù)y= f(x)滿足f(2+x)= f(2－x)，且f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]時(shí)f(x)的表達(dá)式。 解：由條件可以看出，應(yīng)將區(qū)間[－4，0]分成兩段考慮： ①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]， ∵f(x)為偶函數(shù)， ∴當(dāng)x∈[－2，0]時(shí)，f(x)= f(－x)=－2x－1, ②若x∈[－4，－2， ∴4+ x∈[0，2， ∵f(2+x)+ f(2－x)， ∴f(x)= f

36、(4－x)， ∴f(x)= f(－x)= f[4－（－x）]= f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7； 綜上， 點(diǎn)評(píng)：結(jié)合函數(shù)的數(shù)字特征，借助函數(shù)的奇偶性，處理函數(shù)的解析式。 題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性 例5．（2001天津，19）設(shè)，是上的偶函數(shù)。 （1）求的值；（2）證明在上為增函數(shù)。 解：（1）依題意，對(duì)一切，有，即。 ∴對(duì)一切成立，則，∴， ∵，∴。 （2）(定義法)設(shè)，則 ， 由，得，， ∴， 即，∴在上為增函數(shù)。 （導(dǎo)數(shù)法）∵， ∴ ∴在上為增函數(shù) 點(diǎn)評(píng)：本題用了兩種方法：定義法和導(dǎo)數(shù)法，相比之下導(dǎo)數(shù)法比定義法更為簡(jiǎn)潔。 例6．已知f(x

37、)是定義在R上的增函數(shù)，對(duì)x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，設(shè)F(x)= f(x)+，討論F (x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。 解：這是抽角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，應(yīng)該用單調(diào)性定義解決。 在R上任取x1、x2，設(shè)x110時(shí)f(x)>1; ① 若x1x1>5，則f(x2)>f(x1)>1 , ∴

38、f(x1)f(x2)>1, ∴>0, ∴ F(x2)> F (x1)； 綜上，F(xiàn) (x)在（－∞，5）為減函數(shù)，在（5，+∞）為增函數(shù)。 點(diǎn)評(píng)：該題屬于判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性。抽象函數(shù)問(wèn)題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比較特殊的問(wèn)題，其基本能力是變量代換、換元等，應(yīng)熟練掌握它們的這些特點(diǎn)。 題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例7．（2001春季北京、安徽，12）設(shè)函數(shù)f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明f（x）在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。 .解：在定義域內(nèi)任取x1＜x2， ∴f（x1）－f（x2）＝ ， ∵a＞b＞0，∴b－a＜0，x1－x2＜0， 只有當(dāng)x1＜x2＜－b或－b＜

39、x1＜x2時(shí)函數(shù)才單調(diào)． 當(dāng)x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2時(shí)f（x1）－f（x2）＞0． ∴f（x）在（－b，＋∞）上是單調(diào)減函數(shù)，在（－∞，－b）上是單調(diào)減函數(shù)． 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的基本知識(shí)。對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 例8．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋? 分解基本函數(shù)為、 顯然在上是單調(diào)遞減的，而在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則： 所以函數(shù)在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。 （2）解法一：函數(shù)的定義域?yàn)镽， 分解基本函數(shù)為和。 顯然在上是

40、單調(diào)遞減的，上單調(diào)遞增； 而在上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的。且， 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則： 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。 解法二：， ， 令 ，得或， 令 ，或 ∴單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。 點(diǎn)評(píng)：該題考察了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。要記住“同向增、異向減”的規(guī)則。 題型五：?jiǎn)握{(diào)性的應(yīng)用 例9．已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。 解：∵f(2)=0,∴原不等式可化為f［log2(x2+5x+4)］≥f(2)。 又∵f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)， ∴f(x)在(

41、－∞,0)上為減函數(shù)且f(－2)=f(2)=0。 ∴不等式可化為　　log2(x2+5x+4)≥2 　　　　　?、? 或　　　　　　　　log2(x2+5x+4)≤－2 ② 由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0 ③ 由②得0＜x2+5x+4≤得 ≤x＜－4或－1＜x≤ ④ 由③④得原不等式的解集為 {x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0。 例10．已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)在［0，+∞］上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)對(duì)所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范

42、圍，若不存在，說(shuō)明理由。 解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且在［0，+∞］上是增函數(shù)， ∴f(x)是R上的增函數(shù)，于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)， 即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0。 設(shè)t=cosθ,則問(wèn)題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在［0，1］上的最小值為正。 ∴當(dāng)<0,即m<0時(shí)，g(0)=2m－2>0m>1與m<0不符； 當(dāng)0≤≤1時(shí)，即0≤m≤2時(shí)，g(m)=－+2m－2>04－2

43、4－21,即m>2時(shí)，g(1)=m－1>0m>1。 ∴m>2 綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4－2。 另法(僅限當(dāng)m能夠解出的情況)： cos2θ－mcosθ+2m－2>0對(duì)于θ∈［0,］恒成立，等價(jià)于m>(2－cos2θ)/(2－cosθ) 對(duì)于θ∈［0,］恒成立 ∵當(dāng)θ∈［0,］時(shí)，(2－cos2θ)/(2－cosθ) ≤4－2，∴m>4－2。 點(diǎn)評(píng)：上面兩例子借助于函數(shù)的單調(diào)性處理了恒成立問(wèn)題和不等式的求解問(wèn)題。 題型六：最值問(wèn)題 例11．（2002全國(guó)理，21）設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R。 （1）討論f（

44、x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值。 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（－x）=（－x）2+|－x|+1=f（x），此時(shí)f（x）為偶函數(shù)。 當(dāng)a≠0時(shí)，f（a）=a2+1，f（－a）=a2+2|a|+1，f（－a）≠f（a），f（－a）≠－f（a）。 此時(shí)函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。 （2）①當(dāng)x≤a時(shí)，函數(shù)f（x）=x2－x+a+1=（x－）2+a+。 若a≤，則函數(shù)f（x）在（－∞，a）上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f（x）在（－∞，a）上的最小值為f（a）=a2+1。 若a＞，則函數(shù)f（x）在（－∞，a上的最小值為f（）=+a，且f（）≤ f（a）。 ②當(dāng)x≥a時(shí)，函

45、數(shù)f（x）=x2+x－a+1=（x+）2－a+。 若a≤－，則函數(shù)f（x）在［a，+∞上的最小值為f（－）=－a，且f（－）≤f（a）。 若a＞－，則函數(shù)f（x）在［a，+∞］上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)f（x）在［a，+∞］上的最小值為f（a）=a2+1。 綜上，當(dāng)a≤－時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是－a。 當(dāng)－＜a≤時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是a2+1。 當(dāng)a＞時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是a+。 點(diǎn)評(píng)：函數(shù)奇偶性的討論問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題，如果平時(shí)注意知識(shí)的積累，對(duì)解此題會(huì)有較大幫助.因?yàn)閤∈R，f（0）=|a|+1≠0，由此排除f（x）是奇函數(shù)的可能性.運(yùn)用偶函數(shù)的定義分析可知，當(dāng)a=

46、0時(shí)，f（x）是偶函數(shù)，第2題主要考查學(xué)生的分類討論思想、對(duì)稱思想。 例12．設(shè)m是實(shí)數(shù)，記M={m|m>1}，f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+)。 (1)證明：當(dāng)m∈M時(shí)，f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則m∈M； (2)當(dāng)m∈M時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值； (3)求證：對(duì)每個(gè)m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1。 　(1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+］, 當(dāng)m∈M時(shí)，m>1,∴(x－m)2+m+>0恒成立， 故f(x)的定義域?yàn)镽。 反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則只須x2－4m

47、x+4m2+m+>0。 令Δ＜0，即16m2－4(4m2+m+)＜0，解得m>1，故m∈M。 (2)解析：設(shè)u=x2－4mx+4m2+m+， ∵y=log3u是增函數(shù)， ∴當(dāng)u最小時(shí)，f(x)最小。 而u=(x－2m)2+m+， 顯然，當(dāng)x=m時(shí)，u取最小值為m+， 此時(shí)f(2m)=log3(m+)為最小值。 (3)證明：當(dāng)m∈M時(shí)，m+=(m－1)+ +1≥3， 當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號(hào)成立。 ∴l(xiāng)og3(m+)≥log33=1。 點(diǎn)評(píng)：該題屬于函數(shù)最值的綜合性問(wèn)題，考生需要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行處理。 題型七：周期問(wèn)題 例13．若y=f(2x)的圖像關(guān)于

48、直線和對(duì)稱，則f(x)的一個(gè)周期為（ ） A． B． C． D． 解：因?yàn)閥=f(2x)關(guān)于對(duì)稱，所以f(a+2x)=f(a－2x)。 所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。 同理，f(b+2x) =f(b－2x)， 所以f(2b－2x)=f(2x)， 所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。 所以f(2x)的一個(gè)周期為2b－2a， 故知f(x)的一個(gè)周期為4(b－a)。選項(xiàng)為D。 點(diǎn)評(píng)：考察函數(shù)的對(duì)稱性以及周期性，類比三角函數(shù)

49、中的周期變換和對(duì)稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對(duì)稱（a≠b），則這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為2（b－a）。 例14．已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時(shí)函數(shù)取得最小值。 ①證明：； ②求的解析式； ③求在上的解析式。 解：∵是以為周期的周期函數(shù)， ∴， 又∵是奇函數(shù)， ∴， ∴。 ②當(dāng)時(shí)，由題意可設(shè)， 由得， ∴， ∴。 ③∵是奇函數(shù)， ∴， 又知在上是一次函數(shù)， ∴可設(shè)，而， ∴，∴當(dāng)時(shí)，， 從而當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，。 ∴當(dāng)時(shí)，有， ∴。 當(dāng)時(shí)，， ∴ ∴。

50、 點(diǎn)評(píng)：該題屬于普通函數(shù)周期性應(yīng)用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征。 五．思維總結(jié) 1．判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價(jià)形式：f(-x)= ±f(x)óf(-x) f(x)=0； 2．對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上，要明確對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-

51、x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對(duì)稱性的反映； 3．若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0，因此，“f(x)為奇函數(shù)”是"f(0)=0"的非充分非必要條件； 4．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因此根據(jù)圖象的對(duì)稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性。 5．若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)對(duì)f(x)定義域內(nèi)任意x恒成立，則稱T為函數(shù)f(x)的周期，一般所說(shuō)的周期是指函數(shù)的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無(wú)限集。 6．單調(diào)性是函數(shù)學(xué)習(xí)中非常重要的內(nèi)容，應(yīng)用十分廣泛，由于新教材增加了“導(dǎo)數(shù)”的內(nèi)容，所以解決單調(diào)性問(wèn)題的能力得到了很大的提高，因此解決具體函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，一般求導(dǎo)解決，而解決與抽象函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問(wèn)題一般需要用單調(diào)性定義解決。注意，關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的知識(shí)一般用于簡(jiǎn)單問(wèn)題的分析，嚴(yán)格的解答還是應(yīng)該運(yùn)用定義或求導(dǎo)解決。 第 26 頁(yè) 共 26 頁(yè)