2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考黃金30題-專(zhuān)題06-大題易丟分(20題)蘇教版
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1、2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考黃金30題 專(zhuān)題06 大題易丟分(20題)蘇教版
1.已知,且,設(shè)命題p:函數(shù)在上單調(diào)遞減;命題q:函數(shù) 在上為增函數(shù),
(1)若“p且q”為真,求實(shí)數(shù)c的取值范圍
(2)若“p且q”為假,“p或q”為真,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
【答案】(1);(2)
(2)∵c>0且c≠1,∴ p: c>1, q: 且c≠1.
又∵“p或q”為真,“p且q”為假,∴p真q假或p假q真.
當(dāng)p真,q假時(shí),{c|0 2、綜上所述,實(shí)數(shù)c的取值范圍是{c| 3、判斷,,
的真假,并說(shuō)明理由.
【答案】
(1)充分不必要條件.(2)為真命題為假命題為真命題.
4.如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,側(cè)棱底面,且側(cè)棱的長(zhǎng)是,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明: 平面;
(Ⅱ)求三棱錐的體積.
【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:(Ⅰ)連結(jié),通過(guò)勾股定理計(jì)算可知,由三線(xiàn)合一得出平面;(Ⅱ)根據(jù)中位線(xiàn)定理計(jì)算得出是(Ⅱ)側(cè)棱底面, 面
由(Ⅱ)知: 平面,是三棱錐到平面的距離
分別是的中點(diǎn), , ,
四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形, 是的中點(diǎn)
三角形是等邊三角形
5.如圖所示, 4、直三棱柱中, , , 為棱的中點(diǎn).
(Ⅰ)探究直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若,求三棱錐的體積.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ).
因?yàn)槠矫妫?平面,所以平面.
(Ⅱ)易知平面,由(Ⅰ)可知, 平面.
所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,
所以.因?yàn)椋?
所以,
故三棱錐的體積為.
6.如圖,在三棱錐中, , 底面, ,且.
(1)若為上一點(diǎn),且,證明:平面平面.
(2)若為棱上一點(diǎn),且平面,求三棱錐的體積.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
7.如圖,在三棱柱中, 底面, , , , 是棱上一點(diǎn).
(I)求證: .
(II)若, 5、 分別是, 的中點(diǎn),求證: ∥平面.
(III)若二面角的大小為,求線(xiàn)段的長(zhǎng)
【答案】(I)見(jiàn)解析(II)見(jiàn)解析(III)
(II)連接交于點(diǎn).
∵四邊形是平行四邊形,
∴是的中點(diǎn).
又∵, 分別是, 的中點(diǎn),
∴,且,
∴四邊形是平行四邊形,
∴.
又平面, 面,
∴平面.
(III)∵,且平面,
∴, , 兩兩垂直。
以為原點(diǎn), , , 分別為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè),則, , , ,
8.如圖,直三棱柱 中, , , 是棱上的動(dòng)點(diǎn).
證明: ;
若平面分該棱柱為體積相等的兩個(gè)部分,試確定點(diǎn)的位置,并求二面角的大小.
【答案】( 6、1)見(jiàn)解析(2)30°
(II) ,
依題意,
為中點(diǎn);
(法1)取的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連接
,面面面
,得點(diǎn)與點(diǎn)重合,且是二面角的平面角.
設(shè),則,得二面角的大小為30°.
(法2)以為空間坐標(biāo)原點(diǎn), 為軸正向、為軸正向、為軸正向,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)的長(zhǎng)為 1,則.
作中點(diǎn),連結(jié),則,從而平面,平面的一個(gè)法向量
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則
,令,得,
故二面角為30°.
點(diǎn)睛:(1)探索性問(wèn)題通常用“肯定順推法”,將不確定性問(wèn)題明朗化.其步驟為假設(shè)滿(mǎn)足條件的元素(點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)或參數(shù))存在,用待定系數(shù)法設(shè)出,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組,若方程組有實(shí)數(shù)解,則 7、元素(點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)或參數(shù))存在;否則,元素(點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問(wèn)題常用的方法.
9.已知坐標(biāo)平面上點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn), 的距離之比等于5.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么圖形;
(2)記(1)中的軌跡為,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)被所截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)為 8,求直線(xiàn)的方程.
【答案】(1)(2),或.
10.已知圓的圓心在直線(xiàn)上,且與另一條直線(xiàn)相切于點(diǎn).
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知,點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),求線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1) 圓C的方程為(x﹣1)2+(y+2)2=2;(2) (x﹣3)2+(y﹣1)2=.
【解析】試題分析 8、:(1)由題意可知所求圓的圓心在經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上,又所求圓的圓心在直線(xiàn)上,解方程組求出圓心,求出半徑,即的長(zhǎng),可得圓的方程;
(2)設(shè),則有代入圓 即可得到線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程.
試題解析:(1)設(shè)圓C的方程為(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2,
根據(jù)題意得:,
解得:,
則圓C的方程為(x﹣1)2+(y+2)2=;
(2)設(shè)M(x,y),B(x0,y0),則有代入圓C方程得:(2x﹣5)2+(2y﹣4)2=8,化簡(jiǎn)得(x﹣3)2+(y﹣1)2=
11.已知與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn),與軸, 軸交于兩點(diǎn), 為原點(diǎn), , ,( ).
(1)求證:: 與相切的條件是: .
(2) 9、求線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程;
(3)求三角形面積的最小值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3).
即,
.
(2)線(xiàn)段AB中點(diǎn)為
∴()
(3) ,
,
解得, ,
,
最小面積.
點(diǎn)睛:本題考查了軌跡方程,考查了直線(xiàn)和圓位置關(guān)系的判斷,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的用法,解題的關(guān)鍵是對(duì)等式進(jìn)行靈活變換,利用基本不等式求函數(shù)的最值.
12.已知?jiǎng)訄A:與圓:交于 、兩點(diǎn),且這兩點(diǎn)平分圓的圓周.
(1)求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程;
(2)求圓半徑最小時(shí)的方程.
【答案】(1);(2).
∵,
∴(*)
故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.
(2)由(*)式,知, 10、
于是有,
而圓半徑,
∴當(dāng)時(shí),,,
所求圓的方程為.
13.已知橢圓的右焦點(diǎn)為,離心率為.
(1)若,求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn), 分別為線(xiàn)段的中點(diǎn),若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上,且,求的取值范圍.
【答案】(1) ;(2) .
∴.
∴橢圓的方程為.
點(diǎn)睛: 在圓錐曲線(xiàn)中研究最值或范圍問(wèn)題時(shí),若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下方面考慮:
①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;
②利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù) 11、的范圍,解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系;
③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.
14.已知橢圓()的離心率為,且過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線(xiàn)()與橢圓交于兩點(diǎn),記直線(xiàn)的斜率分別為,試探究是否為定值,若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) (2) 為定值,該定值為0
(2),下面給出證明:設(shè), ,
將代入并整理得,
,解得,且
故, ,
則,
分子=
,
故為定值,該定值為0.
15.已知圓: 過(guò)圓上任意一點(diǎn)向軸引垂線(xiàn)垂足為(點(diǎn)、可重合),點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)求的軌跡方程;
(2)若點(diǎn)的 12、軌跡方程為曲線(xiàn),不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn),滿(mǎn)足直線(xiàn), , 的斜率依次成等比數(shù)列,求面積的取值范圍.
【答案】(1);(2)面積的取值范圍為.
(2)由題意可知,直線(xiàn)的斜率存在且不為,故可設(shè)直線(xiàn)的方程為(),, ,
由消去得
則 ,且, .
故
因?yàn)橹本€(xiàn), , 的斜率依次成等比數(shù)列,
即,又,所以,即.
由于直線(xiàn), 的斜率存在,且,得且,設(shè)為到直線(xiàn)的距離, ,
則,所以面積的取值范圍為.
點(diǎn)睛: 在圓錐曲線(xiàn)中研究最值或范圍問(wèn)題時(shí),若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下方面考慮: 13、
①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;
②利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系;
③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍
16.設(shè)點(diǎn),動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且和直線(xiàn)相切,記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線(xiàn).
(1)求曲線(xiàn)的方程;
(2)設(shè)曲線(xiàn)上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,過(guò)的直線(xiàn)交于另一點(diǎn),交軸于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于另一點(diǎn).若是的切線(xiàn),求的最小值.
【答案】(1) ;(2) .
即: , ,
解得: ,或.
∴
∴ .
而拋物線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)斜率: ,
是拋物線(xiàn)的切線(xiàn), ∴,
整理得,
∴,解得 (舍去),或,∴. 14、
17.已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過(guò)三點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)在直線(xiàn)上任取一點(diǎn),連接,分別與橢圓交于兩點(diǎn),判斷直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn).若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)
(2)直線(xiàn),直線(xiàn),聯(lián)立得,所以,故,代入得到,因此.同理.取,
當(dāng)時(shí), , ,所以三點(diǎn)共線(xiàn);
當(dāng)時(shí), , 三點(diǎn)共線(xiàn);
綜上, 三點(diǎn)共線(xiàn)也就是過(guò)定點(diǎn).
點(diǎn)睛:直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系中,如果已知?jiǎng)又本€(xiàn)過(guò)定點(diǎn)且與圓錐曲線(xiàn)有另一個(gè)交點(diǎn),那么通過(guò)韋達(dá)定理可以求出另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)并用斜率表示它,從而考慮與該點(diǎn)相關(guān)的一些定點(diǎn)定值問(wèn)題.另外,我們用先猜后證的策略考慮定點(diǎn)定值 15、問(wèn)題,因此這樣可以使得代數(shù)式變形化簡(jiǎn)的目標(biāo)更明確.
18.已知橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)組成的四邊形為正方形,且橢圓過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)四邊形的頂點(diǎn)都在橢圓上,且對(duì)角線(xiàn)、過(guò)原點(diǎn),若,求證:四邊形的面積為定值.
【答案】(1) ;(2)見(jiàn)解析.
試題解析:
(1)由題意, ,又,解得, ,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè)直線(xiàn)的方程為,設(shè), ,
聯(lián)立得,
,
, ,
∵,∴,∴ ,
,
∴,∴,∴,
設(shè)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為,則
,
∴,即四邊形的面積為定值.
19.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交 16、于不同的兩點(diǎn).
(1)若,求直線(xiàn)的方程;
(2)記的斜率分別為,試問(wèn): 的值是否隨直線(xiàn)位置的變化而變化?證明你的結(jié)論.
【答案】(1);(2)的值不隨直線(xiàn)的變化而變化,證明見(jiàn)解析.
試題解析:
(1)∵且直線(xiàn)斜率存在,∴可設(shè),
代入得: ,令,
設(shè),∴,
∴
,
∵,∴,
∴
(2)∵,∴
,
∴的值不隨直線(xiàn)的變化而變化.
點(diǎn)睛:本題主要考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,其中解答中涉及到直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)公式,以及二元一次方程中根與系數(shù)的關(guān)系等關(guān)系的應(yīng)用,著重考查了推理與論證能力,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想,試題綜合性強(qiáng),屬于中檔試題,解答中把直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn) 17、化為方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.
20.已知拋物線(xiàn)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.
(1)若,過(guò)點(diǎn), 的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于另一點(diǎn),求的值;
(2)若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn),與圓相交于兩點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn), ,試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù),使得的長(zhǎng)為定值?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)時(shí), , 的長(zhǎng)為定值.
(2)設(shè)直線(xiàn)的方程為,代入拋物線(xiàn)方程可得,
設(shè) ,則, ,①
由得: ,
整理得,②
將①代入②解得,∴直線(xiàn),
∵圓心到直線(xiàn)l的距離,∴,
顯然當(dāng)時(shí), , 的長(zhǎng)為定值.
點(diǎn)睛:本題主要考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,難度中檔;拋物線(xiàn)上點(diǎn)的特征,拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線(xiàn)的距離相等,即為,兩直線(xiàn)垂直即可轉(zhuǎn)化為斜率也可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0,直線(xiàn)與圓相交截得的弦長(zhǎng)的一半,圓的半徑以及圓心到直線(xiàn)的距離可構(gòu)成直角三角形.
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