3、判斷，，
的真假，并說明理由．
【答案】
（1）充分不必要條件.（2）為真命題為假命題為真命題.
4．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱底面，且側(cè)棱的長是，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).
（Ⅰ）證明： 平面；
（Ⅱ）求三棱錐的體積.
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） .
【解析】試題分析：（Ⅰ）連結(jié)，通過勾股定理計(jì)算可知，由三線合一得出平面；（Ⅱ）根據(jù)中位線定理計(jì)算得出是（Ⅱ）側(cè)棱底面, 面
由（Ⅱ）知： 平面,是三棱錐到平面的距離
分別是的中點(diǎn), ， ,
四邊形是邊長為的正方形， 是的中點(diǎn)
三角形是等邊三角形
5．如圖所示，
4、直三棱柱中， ， ， 為棱的中點(diǎn).
（Ⅰ）探究直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅱ）若，求三棱錐的體積.
【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）.
因?yàn)槠矫妫?平面，所以平面.
（Ⅱ）易知平面，由（Ⅰ）可知， 平面.
所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
所以.因?yàn)椋?
所以，
故三棱錐的體積為.
6．如圖，在三棱錐中， ， 底面， ，且.
（1）若為上一點(diǎn)，且，證明:平面平面.
（2）若為棱上一點(diǎn)，且平面，求三棱錐的體積.
【答案】（1）見解析；（2）
7．如圖，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一點(diǎn)．
（I）求證： ．
（II）若，
5、 分別是， 的中點(diǎn)，求證： ∥平面．
（III）若二面角的大小為，求線段的長
【答案】（I）見解析（II）見解析（III）
（II）連接交于點(diǎn)．
∵四邊形是平行四邊形，
∴是的中點(diǎn)．
又∵， 分別是， 的中點(diǎn)，
∴，且，
∴四邊形是平行四邊形，
∴．
又平面， 面，
∴平面．
（III）∵，且平面，
∴， ， 兩兩垂直。
以為原點(diǎn)， ， ， 分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)，則， ， ， ，
8．如圖，直三棱柱 中， , , 是棱上的動(dòng)點(diǎn).
證明： ；
若平面分該棱柱為體積相等的兩個(gè)部分，試確定點(diǎn)的位置，并求二面角的大小.
【答案】（
6、1）見解析（2）30°
(II) ,
依題意,
為中點(diǎn)；
（法1）取的中點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接
,面面面
,得點(diǎn)與點(diǎn)重合，且是二面角的平面角.
設(shè)，則,得二面角的大小為30°.
（法2）以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸正向、為軸正向、為軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的長為 1，則.
作中點(diǎn)，連結(jié)，則，從而平面，平面的一個(gè)法向量
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
，令，得，
故二面角為30°.
點(diǎn)睛：(1)探索性問題通常用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則
7、元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題常用的方法.
9．已知坐標(biāo)平面上點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)， 的距離之比等于5.
（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；
（2）記（1）中的軌跡為，過點(diǎn)的直線被所截得的線段的長為 8，求直線的方程.
【答案】（1）（2），或．
10．已知圓的圓心在直線上，且與另一條直線相切于點(diǎn).
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1) 圓C的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=2;(2) （x﹣3）2+（y﹣1）2=.
【解析】試題分析
8、：（1）由題意可知所求圓的圓心在經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線上，又所求圓的圓心在直線上，解方程組求出圓心，求出半徑，即的長，可得圓的方程；
（2）設(shè)，則有代入圓 即可得到線段的中點(diǎn)的軌跡方程.
試題解析：（1）設(shè)圓C的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，
根據(jù)題意得：，
解得：，
則圓C的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=；
（2）設(shè)M（x，y），B（x0，y0），則有代入圓C方程得：（2x﹣5）2+（2y﹣4）2=8，化簡得（x﹣3）2+（y﹣1）2=
11．已知與曲線相切的直線，與軸， 軸交于兩點(diǎn)， 為原點(diǎn)， ， ，（ ）.
（1）求證:： 與相切的條件是： .
（2）
9、求線段中點(diǎn)的軌跡方程；
（3）求三角形面積的最小值.
【答案】（1）見解析；（2）；（3）．
即，
．
(2)線段AB中點(diǎn)為
∴（）
(3) ，
，
解得， ，
，
最小面積．
點(diǎn)睛：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓位置關(guān)系的判斷，點(diǎn)到直線的距離公式的用法，解題的關(guān)鍵是對等式進(jìn)行靈活變換，利用基本不等式求函數(shù)的最值.
12．已知?jiǎng)訄A：與圓：交于 、兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)平分圓的圓周．
（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程；
（2）求圓半徑最小時(shí)的方程．
【答案】（1）；（2）.
∵，
∴（*）
故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．
（2）由（*）式，知，
10、
于是有，
而圓半徑，
∴當(dāng)時(shí)，，，
所求圓的方程為．
13．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為.
（1）若，求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)， 分別為線段的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.
【答案】(1) ;(2) .
∴.
∴橢圓的方程為.
點(diǎn)睛： 在圓錐曲線中研究最值或范圍問題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下方面考慮：
①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)
11、的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；
③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.
14．已知橢圓（）的離心率為，且過點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線（）與橢圓交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，試探究是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
【答案】(1) (2) 為定值，該定值為0
（2），下面給出證明：設(shè)， ，
將代入并整理得，
，解得，且
故， ，
則，
分子=
，
故為定值，該定值為0.
15．已知圓： 過圓上任意一點(diǎn)向軸引垂線垂足為（點(diǎn)、可重合），點(diǎn)為的中點(diǎn).
（1）求的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)的
12、軌跡方程為曲線，不過原點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，滿足直線， ， 的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的取值范圍.
【答案】（1）；（2）面積的取值范圍為.
（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為，故可設(shè)直線的方程為（），， ，
由消去得
則 ，且， .
故
因?yàn)橹本€， ， 的斜率依次成等比數(shù)列，
即，又，所以，即.
由于直線， 的斜率存在，且，得且，設(shè)為到直線的距離， ，
則，所以面積的取值范圍為.
點(diǎn)睛： 在圓錐曲線中研究最值或范圍問題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下方面考慮：
13、
①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；
③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍
16．設(shè)點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且和直線相切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過的直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn).若是的切線，求的最小值.
【答案】(1) ；(2) .
即： ， ，
解得： ，或.
∴
∴ .
而拋物線在點(diǎn)處切線斜率： ，
是拋物線的切線， ∴，
整理得，
∴，解得 (舍去)，或，∴.
14、
17．已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過三點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)在直線上任取一點(diǎn),連接,分別與橢圓交于兩點(diǎn),判斷直線是否過定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn).若不是,請說明理由.
【答案】（1）；（2）
（2）直線，直線，聯(lián)立得，所以，故，代入得到，因此.同理.取，
當(dāng)時(shí)， ， ，所以三點(diǎn)共線；
當(dāng)時(shí)， ， 三點(diǎn)共線；
綜上， 三點(diǎn)共線也就是過定點(diǎn).
點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，如果已知?jiǎng)又本€過定點(diǎn)且與圓錐曲線有另一個(gè)交點(diǎn)，那么通過韋達(dá)定理可以求出另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)并用斜率表示它，從而考慮與該點(diǎn)相關(guān)的一些定點(diǎn)定值問題.另外，我們用先猜后證的策略考慮定點(diǎn)定值
15、問題，因此這樣可以使得代數(shù)式變形化簡的目標(biāo)更明確.
18．已知橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)組成的四邊形為正方形，且橢圓過點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）四邊形的頂點(diǎn)都在橢圓上，且對角線、過原點(diǎn)，若，求證：四邊形的面積為定值．
【答案】(1) ;(2)見解析.
試題解析：
（1）由題意， ，又，解得， ，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)， ，
聯(lián)立得，
，
， ，
∵，∴，∴ ，
，
∴，∴，∴，
設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則
，
∴，即四邊形的面積為定值．
19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交
16、于不同的兩點(diǎn).
（1）若，求直線的方程；
（2）記的斜率分別為，試問： 的值是否隨直線位置的變化而變化？證明你的結(jié)論.
【答案】（1）；（2）的值不隨直線的變化而變化，證明見解析.
試題解析：
（1）∵且直線斜率存在，∴可設(shè)，
代入得： ，令，
設(shè)，∴，
∴
，
∵，∴，
∴
（2）∵，∴
，
∴的值不隨直線的變化而變化.
點(diǎn)睛：本題主要考查了直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到直線與圓錐曲線的弦長公式，以及二元一次方程中根與系數(shù)的關(guān)系等關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，試題綜合性強(qiáng)，屬于中檔試題，解答中把直線與圓錐曲線問題轉(zhuǎn)
17、化為方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.
20．已知拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．
（1）若，過點(diǎn), 的直線與拋物線相交于另一點(diǎn)，求的值；
（2）若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， ，試問：是否存在實(shí)數(shù)，使得的長為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）時(shí)， ， 的長為定值．
（2）設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程可得，
設(shè) ，則， ，①
由得： ，
整理得，②
將①代入②解得，∴直線，
∵圓心到直線l的距離，∴，
顯然當(dāng)時(shí)， ， 的長為定值．
點(diǎn)睛：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，難度中檔；拋物線上點(diǎn)的特征，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，即為，兩直線垂直即可轉(zhuǎn)化為斜率也可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，直線與圓相交截得的弦長的一半，圓的半徑以及圓心到直線的距離可構(gòu)成直角三角形.
2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考黃金30題-專題06-大題易丟分(20題)蘇教版
