高等數(shù)學(xué)：第四章 第1節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)

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1、2在微分學(xué)中：在微分學(xué)中：1)( xx211)(arctanxx反過來：反過來：x11)(cx )1ln(x5sec)(2cx 5tan51復(fù)雜，怎樣求？復(fù)雜，怎樣求？問題：如果右端函數(shù)較問題：如果右端函數(shù)較?tan2x ）（如如3例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù).如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內(nèi)，內(nèi)，定義：定義：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf導(dǎo)函數(shù)為導(dǎo)函數(shù)為)(xf，或或dxxf)(

2、在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù). .一、原函數(shù)與不定積分的概念4原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，簡言之：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：問題：(1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C那那么么在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)存存在在可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF，使使Ix ，都有，都有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？5關(guān)于原函數(shù)的說明：關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若）若 ，則對于任意常數(shù)，則對于任意常數(shù) ，)()(

3、xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù).（2）若）若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xF)(xG)(xf則則CxGxF)()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C證證 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）CCxGxF)()(即即窮多個。窮多個。的原函數(shù)存在，則有無的原函數(shù)存在，則有無：如果：如果結(jié)論結(jié)論)(1xf的的全全體體原原函函數(shù)數(shù)。為為的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則是是若若結(jié)結(jié)論論)()()()(2xfCxFxfxF6任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)

4、間間I內(nèi)內(nèi)，CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量函數(shù)函數(shù))(xf的的帶有任意帶有任意 常數(shù)項的原函數(shù)常數(shù)項的原函數(shù)稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. .7例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx求不定積分。求不定積分。的全體原函數(shù)的過程叫的全體原函數(shù)的過程叫求求)(xf8例例3 3 設(shè)曲線通過點(diǎn)（設(shè)曲線通過點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程切線斜

5、率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一個原函數(shù)的一個原函數(shù).,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點(diǎn)（由曲線通過點(diǎn)（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy9函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線.顯然，求不定積分得到一積分曲線族顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF結(jié)論：結(jié)

6、論： 微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是的的.10實例實例 xx 11.11Cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1( 二、 基本積分表11基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx說明：說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx簡寫為簡寫為.ln

7、 Cxxdx12 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 13 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax shxdx)(14;Cchx chxdx)(15;Cshx 14例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2

8、）Cxdxx 11 155例例dxxx31dxx34Cx134134Cx3136例例dxx5Cx5ln516 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、 不定積分的性質(zhì)17 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k例例7 7 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 18例例8 8 求積

9、分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 19例例9 9 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 20例例1010 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 說明：說明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表

10、.21例例 1111 已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn))(,(xfx處的處的切線斜率為切線斜率為xxsinsec2 ，且此曲線與，且此曲線與y軸的交軸的交點(diǎn)為點(diǎn)為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程. 解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy2212例例dxxx22sincos1dxxxxx2222sincoscossindxxdxx22sin1cos1Cxxcottan13例例dxxxxcossin12sindxxxxxxxcossin)cos(sinc

11、ossin222dxxxxxcossin)cos(sin2Cxxcossin23基本積分表基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxF 不定積分的概念：不定積分的概念： CxFdxxf)()(求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系四、 小結(jié)24練習(xí)與思考題1、若)(xf是xe的原函數(shù) , 則xxxfd)(ln提示提示:已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10252、若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導(dǎo)函數(shù)為,sin x則)(xf的一個原函數(shù)是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示:已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由題意,cos)(1Cxxf其原函數(shù)為xxfd)(21sinCxCx263、已知、已知22221d1d1xxBxxAxxx求 A , B .解解: 等式兩邊對 x 求導(dǎo), 得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA