《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題

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1、第一章 概率論的基本概念 1. 設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件，用的運(yùn)算表示下列事件： (1)、都發(fā)生； (2)、發(fā)生, 不發(fā)生； (3)、都不發(fā)生； (4)、中至少有一個(gè)發(fā)生而不發(fā)生； (5)、中至少有一個(gè)發(fā)生； (6)、中至多有一個(gè)發(fā)生； (7)、中至多有兩個(gè)發(fā)生； (8)、中恰有兩個(gè)發(fā)生。 解： (1)、 ； (2)、 或； (3)、`； (4)、 或； (5)、 ； (6)、`或； (7)、 或； (8)、 . 2. 設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件, 已知：

2、 ，，，，，。 試求，，。 解： ； ； 注: 因?yàn)?，所以，即? 3. 將一顆骰子投擲兩次， 依次記錄所得點(diǎn)數(shù)， 試求： (1)、兩次點(diǎn)數(shù)相同的概率； (2)、兩次點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為1的概率； (3)、兩次點(diǎn)數(shù)的乘積小于等于12的概率。 解： (1)、用表示“兩次投擲點(diǎn)數(shù)相同”， 則： ={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}。 因?yàn)闃颖究臻g的樣本點(diǎn)數(shù)為36，的樣本點(diǎn)數(shù)為6， 所以

3、 。 (2)、用表示“兩次點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為1”, 則： ={(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)}。 因?yàn)闃颖究臻g的樣本點(diǎn)數(shù)為36, 的樣本點(diǎn)數(shù)為10, 所以 。 (3)、用表示“兩次點(diǎn)數(shù)的乘積小于等于12”, 則： ={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),

4、 (1, 5), (1, 6),(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),(2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3),(5, 1), (5, 2), (6, 1), (6, 2)}。 因?yàn)闃颖究臻g的樣本點(diǎn)數(shù)為36, 的樣本點(diǎn)數(shù)為23, 所以 4. 設(shè)一袋中有編號(hào)為1, 2, 3, × × ×, 9的球共9只, 某人從中任取3只球, 試求： (1)、取到1號(hào)球的概率； (2)、最小號(hào)碼為5的概率； (3)、所取3

5、只球的號(hào)碼從小到大排序，中間號(hào)碼恰為5的概率； (4)、2號(hào)球或3號(hào)球中至少有一只沒(méi)有取到的概率。 解： (1)、用表示 “取到1號(hào)球”, 則： . (2)、用表示“最小號(hào)碼為5”, 因?yàn)榘l(fā)生表示其中一球的號(hào)碼為5, 其它兩個(gè)球的號(hào)碼為6, 7, 8, 9。 因此 . (3)、用表示“所取號(hào)碼從小到大排序，中間號(hào)碼恰為5”。 因?yàn)榘l(fā)生表示其中一只球的號(hào)碼為5, 其它兩個(gè)球的號(hào)碼分別為1, 2, 3, 4和6, 7, 8, 9，因此 . (4)、用表示“2號(hào)球沒(méi)有取到”，表示“3號(hào)球沒(méi)有取到”， 則2號(hào)球或3號(hào)球中至少有一只沒(méi)有取到可表示

6、為， 于是 . 5. 已知，，，試求： (1) ； (2)； (3)； (4)。 解： (1)、； (2)、； (3)、； (4)、 。 6. 設(shè)有甲、乙、丙三個(gè)小朋友, 甲得病的概率是0.05, 在甲得病的條件下乙得病的概率是0.40, 在甲、乙兩人均得病的條件下丙得病的條件概率是0.80, 試求甲、乙、丙三人均得病的概率。 解： 用表示“甲得病”, 表示“乙得病”, 表示“丙得病”, 則： ，，＝0.80， 所求概率為：

7、 。 7. 設(shè)某人按如下原則決定某日的活動(dòng)： 如該天下雨則以0.2的概率外出購(gòu)物，以0.8的概率去探訪朋友； 如該天不下雨，則以0.9的概率外出購(gòu)物，以0.1的概率去探訪朋友。設(shè)某地下雨的概率是0.3。試求： (1) 那天他外出購(gòu)物的概率； (2) 若已知他那天外出購(gòu)物，則那天下雨的概率。 解： 用表示“該天下雨”, 用表示“外出購(gòu)物”, 則： ，，，,。 (1)、所求概率為： (2)、所求概率為：

8、 . 8. 設(shè)在某一男、女人數(shù)相等的從群中, 已知5%的男人和0.25%的女人患有色盲. 今從該人群中隨機(jī)地選擇一人, 試問(wèn): (1) 該人患有色盲的概率是多少？ (2) 若已知該人患有色盲, 那么他是男性的概率是多少？ 解： 用表示“選到男”，用表示“所選的人是色盲”，則 ，，. (1)、所求概率為： (2)、所求概率為： . 9. 設(shè)、是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，，。試求： (1) ；(2) ；(3) ；

9、(4) 。 解： (1)、； (2)、； (3)、； (4)、. 10. 甲、乙、丙三門大炮對(duì)某敵機(jī)進(jìn)行獨(dú)立射擊, 設(shè)每門炮的命中率依次為0.7、0.8、0.9，若敵機(jī)被命中兩彈或兩彈以上則被擊落。設(shè)三門炮同時(shí)射擊一次，試求敵機(jī)被擊落的概率。 解： 用表示“甲命中”，表示“乙命中”，表示“乙命中”，表示“敵機(jī)被擊落”。則： ，，。 所求概率為： =。

10、 第二章 隨機(jī)變量及其分布 1. 甲、乙、丙3人進(jìn)行獨(dú)立射擊, 每人的命中率依次為0.3、0.4、0.6，設(shè)每人射擊一次，試求3人命中總數(shù)之概率分布律。 解： 用表示3人命中總數(shù)，則的取值為0，1，2，3。 用表示 “甲命中”，表示 “乙命中”，表示 “命中”。則： P(X=0)=P(=0.7′0.6′0.4=0.168, P(X=1)=P(A`B`C)+P(`AB`C)+P(`A`BC) =0.3′0.6′0.4+0.7′0.4′0.4+

11、0.3′0.6′0.6=0.436, . 0 1 2 3 0.168 0.436 0.324 0.072 2. 設(shè)對(duì)某批產(chǎn)品的驗(yàn)收斂方案為: 從該批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽查5件產(chǎn)品, 若次品數(shù)小于等于1, 則該批產(chǎn)品通過(guò)驗(yàn)收斂, 否則不予通過(guò), 若某批產(chǎn)品的次品率為0.05, 試求該批產(chǎn)品通過(guò)驗(yàn)收斂的概率. 解： 用表示5件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則。于該批產(chǎn)品通過(guò)驗(yàn)收斂的概率為： =0.9774.

12、 3. 某份試卷有10道選擇題，每題共有A, B, C, D四個(gè)答案供選擇， 其中只有一個(gè)答案是正確的。設(shè)某人對(duì)每道題均隨機(jī)地選擇答案，試求該生10道題中恰好答對(duì)6道題的概率是多少？ 解： 用表示10道題中答對(duì)的題目數(shù), 則。于是該生10道題中恰好答對(duì)6道題的概率是： . 4. 設(shè)隨機(jī)變量具有分布函數(shù)： . 試求：，，，. 解： ， ， ， . 5. 設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度 (1)、求常數(shù)， (2)、求的分布函數(shù)，

13、(3)、求的取值落在區(qū)間內(nèi)的概率。 解： (1)、由于, 因此得. (2)、當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，. 綜合以上即得分布函數(shù) (3)、 的取值落在區(qū)間內(nèi)的概率為： . 6. 設(shè)隨機(jī)變量，求，，，以及常數(shù)的范圍，使. 解： ； = =0.6915-[1-0.8413]=0.5328； ＝；

14、 ＝ ＝0.9772-0.9987+1 ＝0.9785； ， 要使，只需，即, 查表得，故. 7. 設(shè)某批雞蛋每只的重量(以克計(jì))服從正態(tài)分布，. (1)、求從該批雞蛋中任取一只, 其重量不足45克的概率； (2)、從該批雞蛋中任取一只, 其重量介于40克到60克之間的概率； (3)、若從該批雞蛋中任取五只, 試求恰有2只雞蛋不足45克的概率；

15、 (4)、從該批雞蛋中任取一只其重量超過(guò)60克的概率； (5)、求最小的，使從中任選只雞蛋，其中至少有一只雞蛋的重量超過(guò)60克的概率大于0.99. 解： (1)、； (2)、 =2′0.9772-1=0.9544； (3)、設(shè)為5只雞蛋中重量不足45克的雞蛋數(shù)，則，故所求概率為： ； (4)、； (5)、設(shè)表示只雞蛋中重量大于60克的雞蛋數(shù)，則. 因?yàn)? ， 所以要使，只需 ， 即 ， 解得 . 8.設(shè)隨機(jī)變量具有概率分布律：

16、 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.08 0.02 0.03 0.17 0.15 0.05 0.20 0.16 0.14 試求的概率分布律。 解: 的取值為0，1，2，3，4，5，其概率分布律為 ， ， ， ， ， . 即 0 1 2 3 4 5 0.17 0.18 0.07 0.28 0.16 0.14

17、 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 1．設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(, )具有概率分布律 3 6 9 12 15 18 1 0.01 0.03 0.02 0.01 0.05 0.06 2 0.02 0.02 0.01 0.05 0.03 0.07 3 0.05 0.04 0.03 0.01 0.02 0.03 4 0.03 0.09 0.06 0.15 0.09 0.02 求的邊緣分布律和的邊緣分布律。 解： 3

18、 6 9 12 15 18 1 0.01 0.03 0.02 0.01 0.05 0.06 0.18 2 0.02 0.02 0.01 0.05 0.03 0.07 0.20 3 0.05 0.04 0.03 0.01 0.02 0.03 0.18 4 0.03 0.09 0.06 0.15 0.09 0.02 0.44 0.11 0.18 0.12 0.22 0.19 0.18 1 1 2 3 4 0.18 0.20 0.18 0.44 3 6 9 12

19、 15 18 0.11 0.18 0.12 0.22 0.19 0.18 2．設(shè)隨機(jī)變量(,)具有概率密度 . (1)、求的邊緣概率密度； (2)、求的邊緣概率密度； (3)、求. 解： (1)、 (2)、 (3)、 3．設(shè)和的聯(lián)合密度為 (1)、求常數(shù)； (2)、求邊緣概率密度，； (3)、與是否相互獨(dú)立？ 解： (1)、因?yàn)椋? 所以： . (2)、, . (3)、因?yàn)?，所以與相

20、互獨(dú)立. 4. 設(shè)二維隨機(jī)變量具有概率密度為: (1)、求邊緣概率密度，； (2)、求概率． 解： (1)、 ， ； (2)、. 5. 假設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，當(dāng)取到時(shí)，隨機(jī)變量等可能的在的聯(lián)合概率密度函數(shù)，并計(jì)算概率 解： 依題設(shè)，的密度函數(shù)為：， 而隨機(jī)變量在的條件下，在上服從均勻分布，所以的條件概率密度函數(shù)為：， 由此可以求出的聯(lián)合概率密度函數(shù)： ； 因此有： . 6. 設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為： ，， 求隨機(jī)變量的概率密度. 解：

21、 由于和是相互獨(dú)立的，故： 則的概率密度為： 易知僅當(dāng)：， 即：時(shí)，上述積分的被積函數(shù)不為零，所以： 7. 設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且服從同一分布，試證明： 證明： 因?yàn)楹酮?dú)立同分布，故： 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1．設(shè)離散型隨機(jī)變量具有概率分布律： -2 -1 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 試求，，. 解： ， ＝ 2. 將個(gè)球隨機(jī)的丟入編號(hào)為的個(gè)盒子中去，試求沒(méi)有球的盒子的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

22、 解： 設(shè)： （）， 則：， 沒(méi)有球的盒子個(gè)數(shù)為： 因?yàn)椋? 所以： . 設(shè)球的直徑在上服從均勻分布. (1)、試求球的表面積的數(shù)學(xué)期望（表面積）； (2)、試求球的體積的數(shù)學(xué)期望（體積）. 解： (1)、 (2)、 4. 設(shè)某產(chǎn)品的驗(yàn)收方案是從該產(chǎn)品中任取6只產(chǎn)品，若次品數(shù)小于等于1，則該產(chǎn)品通驗(yàn)收；否則不予通過(guò).若某廠該產(chǎn)品的次品率為0.1，試求在10次抽樣驗(yàn)收中能通過(guò)驗(yàn)收的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 解： 設(shè)在一次驗(yàn)收中取到的次品數(shù)為，則， 在

23、10次驗(yàn)收中通過(guò)驗(yàn)收的次數(shù)為，則， 其中為一次驗(yàn)收通過(guò)的概率，且由題意知： ， 　 5．設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度 . (1)、求常數(shù)； (2)、求的數(shù)學(xué)期望。 解： (1)、由, 得. (2)、. 6．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 . 求 ，,. 解： 因?yàn)椋?, 所以： . . . 7．設(shè)隨機(jī)變量(,)具有聯(lián)合概率密度 , 試求： (1)、的邊緣密度； (2)、的邊緣密度； (3)、,； (4)、E(Y), ； (5)、與是否不相關(guān)？ (6

24、)、與是否相互獨(dú)立？ 解： . (1)、當(dāng)時(shí), , 所以; 當(dāng)時(shí), , 所以：. (2)、同理得. (3)、, . (4)、由對(duì)稱性知，. (5)、, 所以，和不相關(guān). (6)、因?yàn)? 所以與不相互獨(dú)立. 8．設(shè)已知三個(gè)隨機(jī)變量,,中, ,,,, ,,,,. 試求： (1)、； (2)、； (3)、. 解： (1)、； (2)、+ +

25、 . (3)、 = =10. 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 1．設(shè)某公路段過(guò)往車輛發(fā)生交通事故的概率為0.0001, 車輛間發(fā)生交通事故與否相互獨(dú)立, 若在某個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)恰有10萬(wàn)輛車輛通過(guò), 試求在該時(shí)間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)不多于15次的概率的近似值. 解: 設(shè)在某時(shí)間內(nèi)發(fā)

26、生交通事故的次數(shù)為，則 ， 由二項(xiàng)分布的性質(zhì)知 ， 由中心極限定理知 . 2．設(shè)某學(xué)校有1000名學(xué)生, 在某一時(shí)間區(qū)間內(nèi)每個(gè)學(xué)生去某閱覽室自修的概率是0.05, 且設(shè)每個(gè)學(xué)生去閱覽室自修與否相互獨(dú)立. 試問(wèn)該閱覽室至少應(yīng)設(shè)多少座位才能以不低于0.95的概率保證每個(gè)來(lái)閱覽室自修的學(xué)生均有座位？ 解： 設(shè)至少應(yīng)設(shè)張座位才能以不低于的概率保證來(lái)閱覽室的學(xué)生都有座位, 并設(shè)在同一時(shí)間內(nèi)去閱覽室的學(xué)生人數(shù)為, 則由題意知： ，. 由中心極限定理知 , 查表得 ， 所以，即至少應(yīng)設(shè)62張座位才能達(dá)到要求。 3. 用Che

27、byshev 不等式確定當(dāng)擲一均勻銅幣時(shí)，需投多少次才能保證使得正面出現(xiàn)的頻率在至之間的概率不少于90%，并用正態(tài)逼近計(jì)算同一問(wèn)題。 解： 令 , 是的，并且， 從而： 又由正態(tài)逼近： 近似正態(tài)分布， 當(dāng)頻率時(shí)，為使此頻率不小于，需. 4. 一條50千克,標(biāo)準(zhǔn)差為5千克.若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn),試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛車最多可以裝多少,才能保障不超載的概率大于0.977. (, 其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函 數(shù).) 解： ， 所以，每輛車最多可以裝98千克，才能保障不超載的概率大于0.977. 5. 設(shè)某車間有同型號(hào)車床200臺(tái)，獨(dú)立工作，

28、開(kāi)工率0.8，開(kāi)工時(shí)每臺(tái)車床耗電1kw (千瓦). 問(wèn)應(yīng)該至少供多少電，可以99.9%的概率，保證該車間不因供電不足而影響生產(chǎn)？ 解： ， 取等號(hào)并查表＝31， 故 ， 取. 6. 經(jīng)以往檢驗(yàn)已確認(rèn)某公司組裝PC機(jī)的次品率為0.04，現(xiàn)對(duì)該公司所組裝的PC機(jī)100臺(tái)逐個(gè)獨(dú)立的測(cè)試， (1)、試求不少于4臺(tái)次品的概率（寫出精確計(jì)算的表達(dá)式）； (2)、用中心極限定理和Poisson定理給出此概率的兩個(gè)近似值。 解： (1)、 次品數(shù)， (2)、 利用中心極限定理， 再利用Poisson逼近， ?7.?設(shè)隨機(jī)變量序列依概率收斂于非零常數(shù), 而且， 證明：

29、依概率收斂于. 證明： (1)、， 只需證， ，當(dāng) 故依概率收斂到 (2)、 當(dāng) 故：依概率收斂于. ? ? ? ? ? ? 第六章 樣本及抽樣分布? 1. 設(shè)在總體中抽取樣本，其中已知而未知，指出之中，哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是統(tǒng)計(jì)量，為什么？ 解： 都是統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)樗麄兌疾缓粗獏?shù)； 不是統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)樗形粗獏?shù). 2. 在總體中隨機(jī)抽

30、取一容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率. 解： 由題意知，故： 3. 求總體的容量分別為10，15的兩獨(dú)立樣本均值差的絕對(duì)值大于0.3的概率. 解： 記第一個(gè)容量為10的樣本的均值為， 記第二個(gè)容量為15的樣本的均值為， 則： 故： 4. 在總體中隨機(jī)抽取一容量為5的樣本，求樣本平均值與總體平均值之差的絕對(duì)值大于1的概率. 解： 由題意知，總體均值為12，樣本均值為，則： 5. 記 為的一個(gè)樣本，求 解： 由的構(gòu)造知： 故：

31、 6. 設(shè)在總體中抽取一容量為16的樣本，其中均未知，求： (1)、其中為樣本方差； (2)、. 解： (1)、因?yàn)椋? 所以： (2)、因?yàn)椋? 所以： 7. 設(shè)為來(lái)自泊松分布的一個(gè)樣本，分別為樣本均值和樣本方差，求 解： 由題意知 所以： 8. 設(shè)為來(lái)自的一個(gè)樣本，記 求證： 解： 由題意知： 所以： 從而： 即： 9. 設(shè)為來(lái)自的一個(gè)樣本，為樣本均值和樣本方差，求滿足下式的的值： 解：

32、 由分布的定義知： 故： 所以： 　 第七章 參數(shù)估計(jì) 1. 某種產(chǎn)品被抽樣9個(gè)樣品，測(cè)其重量（單位），計(jì)算得：。設(shè)重量近似服從未知。求總體均值、總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為95%置信區(qū)間。 解： 　的雙側(cè)置信區(qū)間為： 　　， 即：］ 的置信區(qū)間為： 即： 的置信區(qū)間為：[0.3880, 1.1005] 2. 設(shè)總體是泊松分布，， 抽取一樣本，其樣本觀測(cè)值為，求參數(shù)的極大似然估計(jì). ???解： 首先，建立似然函數(shù) ?取對(duì)數(shù)得： 然后，對(duì)上式求導(dǎo)，并令其等于零

33、 ， ??從而解得 ??可以驗(yàn)證（取0和正整數(shù)） ??所以， ?是的極大似然估計(jì)。 ??3. 設(shè)總體是正態(tài)分布，求 和的極大似然估計(jì)量。 ??解： 抽取樣本，其樣本觀測(cè)值為，????? 首先，建立似然函數(shù)： ???兩邊取對(duì)數(shù)得 然后，建立似然方程，即兩邊求偏導(dǎo)，并令其等于零 ???即 ?

34、??解方程，得： ， ???這兩個(gè)估計(jì)分別是，的極大似然估計(jì)。（可以驗(yàn)證二階偏導(dǎo)小于零，即在此估計(jì)值時(shí)，是極大值） 4. 設(shè)總體的概率分布為： 1 2 3 現(xiàn)在觀察容量為3的樣本：， 求的極大似然估計(jì)值. 解: 令==2, 則：, 再使得, 5. 設(shè)總體(未知)，，是樣本，試從以下的三個(gè)無(wú)偏估計(jì)量中選送一個(gè)最有效的： 解： ，獨(dú)立 ， ， ， 比較可知，是的最有效的估計(jì)量. 6.? 某車間生產(chǎn)滾珠，從長(zhǎng)期的生

35、產(chǎn)實(shí)踐中知道，可以認(rèn)為滾珠的直徑服從正態(tài)分布，從某日的產(chǎn)品中隨機(jī)取出6件，量得平均直徑為，若已知該日產(chǎn)品直徑的方差為.試求平均直徑的置信區(qū)間. 解： 由于總體方差是已知的，即方差為.均直徑的置信區(qū)間為 樣本均值的觀測(cè)值為,,，, , , 結(jié)論：以的把握認(rèn)為總體均值（平均直徑）落入. 7. 從某年高考隨機(jī)抽取102份作文試卷，算得平均得分為26分，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5，試估計(jì)總體均值95%和99%的置信區(qū)間。 解： 由于是大樣本情形，即，總體均值的置信區(qū)間為： (1)、

36、 結(jié)論：總體均值以95%的可靠性落入, (2)、 , 結(jié)論：總體均值以99%的可靠性落入. 8. 某自動(dòng)車床加工零件，抽查16個(gè)零件，測(cè)得平均長(zhǎng)度為12.075，試問(wèn)該車床所加工的零件長(zhǎng)度的方差落在什么范圍內(nèi)？ 解： 假設(shè)零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，所問(wèn)的問(wèn)題即為求總體方差的置信區(qū)間，即： 總體方差的的置信區(qū)間為： 由于， ，， ， . 結(jié)論：總體方差以95

37、%的概率落入置信區(qū)間. 9. 設(shè)有一批胡椒粉，每袋凈重（單位：g）服從分布，今任取8袋測(cè)得平均凈重為12.15；，試求的置信度為0.99的置信區(qū)間. 解：由于總體方差未知，故的置信度為的置信區(qū)間為 ，? 樣本均值的觀測(cè)值為，，，， ， . 結(jié)論：. 第八章 假設(shè)檢驗(yàn)　 。設(shè)包裝機(jī)實(shí)際生產(chǎn)的每袋重量服從正態(tài)分布，且由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知其標(biāo)準(zhǔn)差。某天開(kāi)工后，為了檢驗(yàn)包裝機(jī)工作是否正常，隨機(jī)抽取了9袋，稱得凈重為，，。問(wèn)這天的包裝機(jī)工作是否正常？（） 解：

38、 　 設(shè)從包裝機(jī)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一袋其質(zhì)量為，則， 檢驗(yàn)假設(shè)　 , . 由于，故用檢驗(yàn)： 　又 ， 　故不能否定，即認(rèn)為這天的包裝機(jī)工作正常． 2. 一個(gè)工廠制成一種新的釣魚(yú)繩，聲稱其折斷平均受力為15公斤，已知標(biāo)準(zhǔn)差為公斤。為檢驗(yàn)15公斤這數(shù)字是否確實(shí)，在該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取50件，測(cè)得其折斷平均受力是，若取顯著性水平?，問(wèn)是否應(yīng)該接受廠方聲稱的15公斤這個(gè)數(shù)字？ 解： 假定該廠生產(chǎn)的釣魚(yú)繩折斷受力，已知標(biāo)準(zhǔn)差為公斤， 提出假設(shè)： ， 確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布： 在假設(shè)成立之下，有

39、 將代入上式，. 確定顯著性水平??，?拒絕域?yàn)椋? ， 顯然， ， 所以：在顯著性水平?上，拒絕，即認(rèn)為不應(yīng)該接受廠方這15公斤數(shù)字。 3. 某苗圃采用兩種育苗方案作楊樹(shù)的育苗試驗(yàn)，在兩組育苗試驗(yàn)中，已知苗高服從正態(tài)分布，且它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，現(xiàn)各取60株作為樣本，求得樣本均值觀測(cè)值分別為，（厘米），試求以95%的可靠性估計(jì)兩種試驗(yàn)方案對(duì)平均苗高的影響。 解： 提出假設(shè)： ，

40、 確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布：在假設(shè)成立之下，有 經(jīng)計(jì)算得： 顯著性水平，，拒絕域?yàn)椋? . 結(jié)論：在顯著性水平下，拒絕假設(shè)，即第一組苗高顯著大于第二組。 4. 為了研究一種新化肥對(duì)種植小麥的效力，選用13塊條件相同面積相等的進(jìn)行試驗(yàn)。在5塊上施肥，在另8塊上不施肥。經(jīng)過(guò)基本相同的田間管理，各自平均產(chǎn)量與樣本標(biāo)準(zhǔn)差為： ， ，， ，，. 問(wèn)這種化肥對(duì)小麥產(chǎn)量是否有顯著影響

41、？（） 解： 假設(shè)兩者皆服從正態(tài)分布，總體方差未知， 提出假設(shè)： ， 確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布：在假設(shè)成立之下，有 ， 經(jīng)計(jì)算得 ， 顯著性水平，， ， 所以：在顯著性水平下，拒絕假設(shè)，即認(rèn)為化肥對(duì)小麥產(chǎn)量有顯著影響. 5. 已知維尼龍纖度在正常情況下服從正態(tài)分布某日抽取5根纖維，測(cè)得平均值為1.414，標(biāo)準(zhǔn)差為0.00778。問(wèn)這一天纖度的總體標(biāo)準(zhǔn)差是否正常？ 解： 提出假設(shè)： ，

42、 確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布： 在假設(shè)成立之下，有 經(jīng)計(jì)算得 ， 顯著性水平，，， ，落入拒絕域. 結(jié)論：在顯著性水平下，拒絕假設(shè)。認(rèn)為總體標(biāo)準(zhǔn)差有顯著變化. 6. 在甲廠抽9個(gè)產(chǎn)品，算出它的樣本方差在乙廠抽12個(gè)產(chǎn)品，算出它的樣本方差在顯著性水平下，檢驗(yàn)假設(shè)?（， 分別是甲廠和乙廠產(chǎn)品的方差，又假定各廠產(chǎn)品質(zhì)量都服從正態(tài)分布） 解： 提出假設(shè)： ， 確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布： 在假設(shè)成立之下，有，

43、 經(jīng)計(jì)算得 ， 顯著性水平，. 結(jié)論：在顯著性水平下，不能拒絕假設(shè)。認(rèn)為兩個(gè)廠產(chǎn)品質(zhì)量方差一致. 7. 有兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)金屬部件，分別在兩臺(tái)機(jī)器所生產(chǎn)的部件中各取一容量的樣本，測(cè)得部件重量的樣本方差分別為下檢驗(yàn)假設(shè)： 解： 按題意，需檢驗(yàn)假設(shè)： 此題屬于未知時(shí)兩方差的右邊檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)椋? 已知從而 因?yàn)椋? 結(jié)論：接受 第九章 方差分析及回歸分析 1. 某地區(qū)1991—1995年個(gè)人消費(fèi)支出和收入資料如下： ? 年份 1991 1992 1993 1994 19

44、95 個(gè)人收入（萬(wàn)元） ? 消費(fèi)支出（萬(wàn)元） ? 64 ? ? 56 ? 70 ? ? 69 ? 77 ? ? 66 ? 82 ? ? 75 ? 92 ? ? 88 ? 要求：(1)、計(jì)算個(gè)人收入與消費(fèi)支出之間的相關(guān)系數(shù)。 (2)、配合消費(fèi)支出(y)對(duì)個(gè)人收入(x)的直線回歸方程. 解： (1)、 (2)、配合回歸方程 設(shè) 回歸方程為： 2. 為研究產(chǎn)品銷售額與銷售利潤(rùn)之間的關(guān)系。某公司對(duì)所屬六家企業(yè)進(jìn)行了調(diào)查，產(chǎn)品銷售額為（萬(wàn)元），銷售利潤(rùn)為（萬(wàn)元），調(diào)查資料斤經(jīng)初步整理計(jì)算，結(jié)果如下： ，，，，. 要求： （1）、計(jì)算銷售額與銷售利潤(rùn)之間的相關(guān)關(guān)系。 （2）、配合銷售利潤(rùn)對(duì)銷售額的直線回歸方程。 解： (1)、 (2)、配合回歸方程 設(shè) 回歸方程為：