《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題

第一章 概率論的基本概念 1. 設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件，用的運(yùn)算表示下列事件： (1)、都發(fā)生； (2)、發(fā)生, 不發(fā)生； (3)、都不發(fā)生； (4)、中至少有一個(gè)發(fā)生而不發(fā)生； (5)、中至少有一個(gè)發(fā)生； (6)、中至多有一個(gè)發(fā)生； (7)、中至多有兩個(gè)發(fā)生； (8)、中恰有兩個(gè)發(fā)生。 解： (1)、 ； (2)、 或； (3)、`； (4)、 或； (5)、 ； (6)、`或； (7)、 或； (8)、 . 2. 設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件, 已知： ，，，，，。 試求，，。 解： ； ； 注: 因?yàn)椋?，即? 3. 將一顆骰子投擲兩次， 依次記錄所得點(diǎn)數(shù)， 試求： (1)、兩次點(diǎn)數(shù)相同的概率； (2)、兩次點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為1的概率； (3)、兩次點(diǎn)數(shù)的乘積小于等于12的概率。 解： (1)、用表示“兩次投擲點(diǎn)數(shù)相同”， 則： ={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}。 因?yàn)闃颖究臻g的樣本點(diǎn)數(shù)為36，的樣本點(diǎn)數(shù)為6， 所以 。 (2)、用表示“兩次點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為1”, 則： ={(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)}。 因?yàn)闃颖究臻g的樣本點(diǎn)數(shù)為36, 的樣本點(diǎn)數(shù)為10, 所以 。 (3)、用表示“兩次點(diǎn)數(shù)的乘積小于等于12”, 則： ={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),(2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3),(5, 1), (5, 2), (6, 1), (6, 2)}。 因?yàn)闃颖究臻g的樣本點(diǎn)數(shù)為36, 的樣本點(diǎn)數(shù)為23, 所以 4. 設(shè)一袋中有編號(hào)為1, 2, 3, × × ×, 9的球共9只, 某人從中任取3只球, 試求： (1)、取到1號(hào)球的概率； (2)、最小號(hào)碼為5的概率； (3)、所取3只球的號(hào)碼從小到大排序，中間號(hào)碼恰為5的概率； (4)、2號(hào)球或3號(hào)球中至少有一只沒有取到的概率。 解： (1)、用表示 “取到1號(hào)球”, 則： . (2)、用表示“最小號(hào)碼為5”, 因?yàn)榘l(fā)生表示其中一球的號(hào)碼為5, 其它兩個(gè)球的號(hào)碼為6, 7, 8, 9。 因此 . (3)、用表示“所取號(hào)碼從小到大排序，中間號(hào)碼恰為5”。 因?yàn)榘l(fā)生表示其中一只球的號(hào)碼為5, 其它兩個(gè)球的號(hào)碼分別為1, 2, 3, 4和6, 7, 8, 9，因此 . (4)、用表示“2號(hào)球沒有取到”，表示“3號(hào)球沒有取到”， 則2號(hào)球或3號(hào)球中至少有一只沒有取到可表示為， 于是 . 5. 已知，，，試求： (1) ； (2)； (3)； (4)。 解： (1)、； (2)、； (3)、； (4)、 。 6. 設(shè)有甲、乙、丙三個(gè)小朋友, 甲得病的概率是0.05, 在甲得病的條件下乙得病的概率是0.40, 在甲、乙兩人均得病的條件下丙得病的條件概率是0.80, 試求甲、乙、丙三人均得病的概率。 解： 用表示“甲得病”, 表示“乙得病”, 表示“丙得病”, 則： ，，＝0.80， 所求概率為： 。 7. 設(shè)某人按如下原則決定某日的活動(dòng)： 如該天下雨則以0.2的概率外出購物，以0.8的概率去探訪朋友； 如該天不下雨，則以0.9的概率外出購物，以0.1的概率去探訪朋友。設(shè)某地下雨的概率是0.3。試求： (1) 那天他外出購物的概率； (2) 若已知他那天外出購物，則那天下雨的概率。 解： 用表示“該天下雨”, 用表示“外出購物”, 則： ，，，,。 (1)、所求概率為： (2)、所求概率為： . 8. 設(shè)在某一男、女人數(shù)相等的從群中, 已知5%的男人和0.25%的女人患有色盲. 今從該人群中隨機(jī)地選擇一人, 試問: (1) 該人患有色盲的概率是多少？ (2) 若已知該人患有色盲, 那么他是男性的概率是多少？ 解： 用表示“選到男”，用表示“所選的人是色盲”，則 ，，. (1)、所求概率為： (2)、所求概率為： . 9. 設(shè)、是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，，。試求： (1) ；(2) ；(3) ； (4) 。 解： (1)、； (2)、； (3)、； (4)、. 10. 甲、乙、丙三門大炮對(duì)某敵機(jī)進(jìn)行獨(dú)立射擊, 設(shè)每門炮的命中率依次為0.7、0.8、0.9，若敵機(jī)被命中兩彈或兩彈以上則被擊落。設(shè)三門炮同時(shí)射擊一次，試求敵機(jī)被擊落的概率。 解： 用表示“甲命中”，表示“乙命中”，表示“乙命中”，表示“敵機(jī)被擊落”。則： ，，。 所求概率為： =。 第二章 隨機(jī)變量及其分布 1. 甲、乙、丙3人進(jìn)行獨(dú)立射擊, 每人的命中率依次為0.3、0.4、0.6，設(shè)每人射擊一次，試求3人命中總數(shù)之概率分布律。 解： 用表示3人命中總數(shù)，則的取值為0，1，2，3。 用表示 “甲命中”，表示 “乙命中”，表示 “命中”。則： P(X=0)=P(=0.7´0.6´0.4=0.168, P(X=1)=P(A`B`C)+P(`AB`C)+P(`A`BC) =0.3´0.6´0.4+0.7´0.4´0.4+0.3´0.6´0.6=0.436, . 0 1 2 3 0.168 0.436 0.324 0.072 2. 設(shè)對(duì)某批產(chǎn)品的驗(yàn)收斂方案為: 從該批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽查5件產(chǎn)品, 若次品數(shù)小于等于1, 則該批產(chǎn)品通過驗(yàn)收斂, 否則不予通過, 若某批產(chǎn)品的次品率為0.05, 試求該批產(chǎn)品通過驗(yàn)收斂的概率. 解： 用表示5件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則。于該批產(chǎn)品通過驗(yàn)收斂的概率為： =0.9774. 3. 某份試卷有10道選擇題，每題共有A, B, C, D四個(gè)答案供選擇， 其中只有一個(gè)答案是正確的。設(shè)某人對(duì)每道題均隨機(jī)地選擇答案，試求該生10道題中恰好答對(duì)6道題的概率是多少？ 解： 用表示10道題中答對(duì)的題目數(shù), 則。于是該生10道題中恰好答對(duì)6道題的概率是： . 4. 設(shè)隨機(jī)變量具有分布函數(shù)： . 試求：，，，. 解： ， ， ， . 5. 設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度 (1)、求常數(shù)， (2)、求的分布函數(shù)， (3)、求的取值落在區(qū)間內(nèi)的概率。 解： (1)、由于, 因此得. (2)、當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，. 綜合以上即得分布函數(shù) (3)、 的取值落在區(qū)間內(nèi)的概率為： . 6. 設(shè)隨機(jī)變量，求，，，以及常數(shù)的范圍，使. 解： ； = =0.6915-[1-0.8413]=0.5328； ＝； ＝ ＝0.9772-0.9987+1 ＝0.9785； ， 要使，只需，即, 查表得，故. 7. 設(shè)某批雞蛋每只的重量(以克計(jì))服從正態(tài)分布，. (1)、求從該批雞蛋中任取一只, 其重量不足45克的概率； (2)、從該批雞蛋中任取一只, 其重量介于40克到60克之間的概率； (3)、若從該批雞蛋中任取五只, 試求恰有2只雞蛋不足45克的概率； (4)、從該批雞蛋中任取一只其重量超過60克的概率； (5)、求最小的，使從中任選只雞蛋，其中至少有一只雞蛋的重量超過60克的概率大于0.99. 解： (1)、； (2)、 =2´0.9772-1=0.9544； (3)、設(shè)為5只雞蛋中重量不足45克的雞蛋數(shù)，則，故所求概率為： ； (4)、； (5)、設(shè)表示只雞蛋中重量大于60克的雞蛋數(shù)，則. 因?yàn)? ， 所以要使，只需 ， 即 ， 解得 . 8.設(shè)隨機(jī)變量具有概率分布律： -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.08 0.02 0.03 0.17 0.15 0.05 0.20 0.16 0.14 試求的概率分布律。 解: 的取值為0，1，2，3，4，5，其概率分布律為 ， ， ， ， ， . 即 0 1 2 3 4 5 0.17 0.18 0.07 0.28 0.16 0.14 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 1．設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(, )具有概率分布律 3 6 9 12 15 18 1 0.01 0.03 0.02 0.01 0.05 0.06 2 0.02 0.02 0.01 0.05 0.03 0.07 3 0.05 0.04 0.03 0.01 0.02 0.03 4 0.03 0.09 0.06 0.15 0.09 0.02 求的邊緣分布律和的邊緣分布律。 解： 3 6 9 12 15 18 1 0.01 0.03 0.02 0.01 0.05 0.06 0.18 2 0.02 0.02 0.01 0.05 0.03 0.07 0.20 3 0.05 0.04 0.03 0.01 0.02 0.03 0.18 4 0.03 0.09 0.06 0.15 0.09 0.02 0.44 0.11 0.18 0.12 0.22 0.19 0.18 1 1 2 3 4 0.18 0.20 0.18 0.44 3 6 9 12 15 18 0.11 0.18 0.12 0.22 0.19 0.18 2．設(shè)隨機(jī)變量(,)具有概率密度 . (1)、求的邊緣概率密度； (2)、求的邊緣概率密度； (3)、求. 解： (1)、 (2)、 (3)、 3．設(shè)和的聯(lián)合密度為 (1)、求常數(shù)； (2)、求邊緣概率密度，； (3)、與是否相互獨(dú)立？ 解： (1)、因?yàn)椋? 所以： . (2)、, . (3)、因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立. 4. 設(shè)二維隨機(jī)變量具有概率密度為: (1)、求邊緣概率密度，； (2)、求概率． 解： (1)、 ， ； (2)、. 5. 假設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，當(dāng)取到時(shí)，隨機(jī)變量等可能的在的聯(lián)合概率密度函數(shù)，并計(jì)算概率 解： 依題設(shè)，的密度函數(shù)為：， 而隨機(jī)變量在的條件下，在上服從均勻分布，所以的條件概率密度函數(shù)為：， 由此可以求出的聯(lián)合概率密度函數(shù)： ； 因此有： . 6. 設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為： ，， 求隨機(jī)變量的概率密度. 解： 由于和是相互獨(dú)立的，故： 則的概率密度為： 易知僅當(dāng)：， 即：時(shí)，上述積分的被積函數(shù)不為零，所以： 7. 設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且服從同一分布，試證明： 證明： 因?yàn)楹酮?dú)立同分布，故： 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1．設(shè)離散型隨機(jī)變量具有概率分布律： -2 -1 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 試求，，. 解： ， ＝ 2. 將個(gè)球隨機(jī)的丟入編號(hào)為的個(gè)盒子中去，試求沒有球的盒子的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 解： 設(shè)： （）， 則：， 沒有球的盒子個(gè)數(shù)為： 因?yàn)椋? 所以： . 設(shè)球的直徑在上服從均勻分布. (1)、試求球的表面積的數(shù)學(xué)期望（表面積）； (2)、試求球的體積的數(shù)學(xué)期望（體積）. 解： (1)、 (2)、 4. 設(shè)某產(chǎn)品的驗(yàn)收方案是從該產(chǎn)品中任取6只產(chǎn)品，若次品數(shù)小于等于1，則該產(chǎn)品通驗(yàn)收；否則不予通過.若某廠該產(chǎn)品的次品率為0.1，試求在10次抽樣驗(yàn)收中能通過驗(yàn)收的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 解： 設(shè)在一次驗(yàn)收中取到的次品數(shù)為，則， 在10次驗(yàn)收中通過驗(yàn)收的次數(shù)為，則， 其中為一次驗(yàn)收通過的概率，且由題意知： ， 　 5．設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度 . (1)、求常數(shù)； (2)、求的數(shù)學(xué)期望。 解： (1)、由, 得. (2)、. 6．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 . 求 ，,. 解： 因?yàn)椋?, 所以： . . . 7．設(shè)隨機(jī)變量(,)具有聯(lián)合概率密度 , 試求： (1)、的邊緣密度； (2)、的邊緣密度； (3)、,； (4)、E(Y), ； (5)、與是否不相關(guān)？ (6)、與是否相互獨(dú)立？ 解： . (1)、當(dāng)時(shí), , 所以; 當(dāng)時(shí), , 所以：. (2)、同理得. (3)、, . (4)、由對(duì)稱性知，. (5)、, 所以，和不相關(guān). (6)、因?yàn)? 所以與不相互獨(dú)立. 8．設(shè)已知三個(gè)隨機(jī)變量,,中, ,,,, ,,,,. 試求： (1)、； (2)、； (3)、. 解： (1)、； (2)、+ + . (3)、 = =10. 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 1．設(shè)某公路段過往車輛發(fā)生交通事故的概率為0.0001, 車輛間發(fā)生交通事故與否相互獨(dú)立, 若在某個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)恰有10萬輛車輛通過, 試求在該時(shí)間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)不多于15次的概率的近似值. 解: 設(shè)在某時(shí)間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)為，則 ， 由二項(xiàng)分布的性質(zhì)知 ， 由中心極限定理知 . 2．設(shè)某學(xué)校有1000名學(xué)生, 在某一時(shí)間區(qū)間內(nèi)每個(gè)學(xué)生去某閱覽室自修的概率是0.05, 且設(shè)每個(gè)學(xué)生去閱覽室自修與否相互獨(dú)立. 試問該閱覽室至少應(yīng)設(shè)多少座位才能以不低于0.95的概率保證每個(gè)來閱覽室自修的學(xué)生均有座位？ 解： 設(shè)至少應(yīng)設(shè)張座位才能以不低于的概率保證來閱覽室的學(xué)生都有座位, 并設(shè)在同一時(shí)間內(nèi)去閱覽室的學(xué)生人數(shù)為, 則由題意知： ，. 由中心極限定理知 , 查表得 ， 所以，即至少應(yīng)設(shè)62張座位才能達(dá)到要求。 3. 用Chebyshev 不等式確定當(dāng)擲一均勻銅幣時(shí)，需投多少次才能保證使得正面出現(xiàn)的頻率在至之間的概率不少于90%，并用正態(tài)逼近計(jì)算同一問題。 解： 令 , 是的，并且， 從而： 又由正態(tài)逼近： 近似正態(tài)分布， 當(dāng)頻率時(shí)，為使此頻率不小于，需. 4. 一條50千克,標(biāo)準(zhǔn)差為5千克.若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn),試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少,才能保障不超載的概率大于0.977. (, 其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函 數(shù).) 解： ， 所以，每輛車最多可以裝98千克，才能保障不超載的概率大于0.977. 5. 設(shè)某車間有同型號(hào)車床200臺(tái)，獨(dú)立工作，開工率0.8，開工時(shí)每臺(tái)車床耗電1kw (千瓦). 問應(yīng)該至少供多少電，可以99.9%的概率，保證該車間不因供電不足而影響生產(chǎn)？ 解： ， 取等號(hào)并查表＝31， 故 ， 取. 6. 經(jīng)以往檢驗(yàn)已確認(rèn)某公司組裝PC機(jī)的次品率為0.04，現(xiàn)對(duì)該公司所組裝的PC機(jī)100臺(tái)逐個(gè)獨(dú)立的測(cè)試， (1)、試求不少于4臺(tái)次品的概率（寫出精確計(jì)算的表達(dá)式）； (2)、用中心極限定理和Poisson定理給出此概率的兩個(gè)近似值。 解： (1)、 次品數(shù)， (2)、 利用中心極限定理， 再利用Poisson逼近，  7. 設(shè)隨機(jī)變量序列依概率收斂于非零常數(shù), 而且， 證明：依概率收斂于. 證明： (1)、， 只需證， ，當(dāng) 故依概率收斂到 (2)、 當(dāng) 故：依概率收斂于.             第六章 樣本及抽樣分布  1. 設(shè)在總體中抽取樣本，其中已知而未知，指出之中，哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是統(tǒng)計(jì)量，為什么？ 解： 都是統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)樗麄兌疾缓粗獏?shù)； 不是統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)樗形粗獏?shù). 2. 在總體中隨機(jī)抽取一容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率. 解： 由題意知，故： 3. 求總體的容量分別為10，15的兩獨(dú)立樣本均值差的絕對(duì)值大于0.3的概率. 解： 記第一個(gè)容量為10的樣本的均值為， 記第二個(gè)容量為15的樣本的均值為， 則： 故： 4. 在總體中隨機(jī)抽取一容量為5的樣本，求樣本平均值與總體平均值之差的絕對(duì)值大于1的概率. 解： 由題意知，總體均值為12，樣本均值為，則： 5. 記 為的一個(gè)樣本，求 解： 由的構(gòu)造知： 故： 6. 設(shè)在總體中抽取一容量為16的樣本，其中均未知，求： (1)、其中為樣本方差； (2)、. 解： (1)、因?yàn)椋? 所以： (2)、因?yàn)椋? 所以： 7. 設(shè)為來自泊松分布的一個(gè)樣本，分別為樣本均值和樣本方差，求 解： 由題意知 所以： 8. 設(shè)為來自的一個(gè)樣本，記 求證： 解： 由題意知： 所以： 從而： 即： 9. 設(shè)為來自的一個(gè)樣本，為樣本均值和樣本方差，求滿足下式的的值： 解： 由分布的定義知： 故： 所以： 　 第七章 參數(shù)估計(jì) 1. 某種產(chǎn)品被抽樣9個(gè)樣品，測(cè)其重量（單位），計(jì)算得：。設(shè)重量近似服從未知。求總體均值、總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為95%置信區(qū)間。 解： 　的雙側(cè)置信區(qū)間為： 　　， 即：］ 的置信區(qū)間為： 即： 的置信區(qū)間為：[0.3880, 1.1005] 2. 設(shè)總體是泊松分布，， 抽取一樣本，其樣本觀測(cè)值為，求參數(shù)的極大似然估計(jì).    解： 首先，建立似然函數(shù)  取對(duì)數(shù)得： 然后，對(duì)上式求導(dǎo)，并令其等于零 ，   從而解得   可以驗(yàn)證（取0和正整數(shù)）   所以，  是的極大似然估計(jì)。   3. 設(shè)總體是正態(tài)分布，求 和的極大似然估計(jì)量。   解： 抽取樣本，其樣本觀測(cè)值為，      首先，建立似然函數(shù)：    兩邊取對(duì)數(shù)得 然后，建立似然方程，即兩邊求偏導(dǎo)，并令其等于零    即    解方程，得： ，    這兩個(gè)估計(jì)分別是，的極大似然估計(jì)。（可以驗(yàn)證二階偏導(dǎo)小于零，即在此估計(jì)值時(shí)，是極大值） 4. 設(shè)總體的概率分布為： 1 2 3 現(xiàn)在觀察容量為3的樣本：， 求的極大似然估計(jì)值. 解: 令==2, 則：, 再使得, 5. 設(shè)總體(未知)，，是樣本，試從以下的三個(gè)無偏估計(jì)量中選送一個(gè)最有效的： 解： ，獨(dú)立 ， ， ， 比較可知，是的最有效的估計(jì)量. 6.  某車間生產(chǎn)滾珠，從長(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐中知道，可以認(rèn)為滾珠的直徑服從正態(tài)分布，從某日的產(chǎn)品中隨機(jī)取出6件，量得平均直徑為，若已知該日產(chǎn)品直徑的方差為.試求平均直徑的置信區(qū)間. 解： 由于總體方差是已知的，即方差為.均直徑的置信區(qū)間為 樣本均值的觀測(cè)值為,,，, , , 結(jié)論：以的把握認(rèn)為總體均值（平均直徑）落入. 7. 從某年高考隨機(jī)抽取102份作文試卷，算得平均得分為26分，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5，試估計(jì)總體均值95%和99%的置信區(qū)間。 解： 由于是大樣本情形，即，總體均值的置信區(qū)間為： (1)、 結(jié)論：總體均值以95%的可靠性落入, (2)、 , 結(jié)論：總體均值以99%的可靠性落入. 8. 某自動(dòng)車床加工零件，抽查16個(gè)零件，測(cè)得平均長(zhǎng)度為12.075，試問該車床所加工的零件長(zhǎng)度的方差落在什么范圍內(nèi)？ 解： 假設(shè)零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，所問的問題即為求總體方差的置信區(qū)間，即： 總體方差的的置信區(qū)間為： 由于， ，， ， . 結(jié)論：總體方差以95%的概率落入置信區(qū)間. 9. 設(shè)有一批胡椒粉，每袋凈重（單位：g）服從分布，今任取8袋測(cè)得平均凈重為12.15；，試求的置信度為0.99的置信區(qū)間. 解：由于總體方差未知，故的置信度為的置信區(qū)間為 ，  樣本均值的觀測(cè)值為，，，， ， . 結(jié)論：. 第八章 假設(shè)檢驗(yàn)　 。設(shè)包裝機(jī)實(shí)際生產(chǎn)的每袋重量服從正態(tài)分布，且由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知其標(biāo)準(zhǔn)差。某天開工后，為了檢驗(yàn)包裝機(jī)工作是否正常，隨機(jī)抽取了9袋，稱得凈重為，，。問這天的包裝機(jī)工作是否正常？（） 解： 　 設(shè)從包裝機(jī)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一袋其質(zhì)量為，則， 檢驗(yàn)假設(shè)　 , . 由于，故用檢驗(yàn)： 　又 ， 　故不能否定，即認(rèn)為這天的包裝機(jī)工作正常． 2. 一個(gè)工廠制成一種新的釣魚繩，聲稱其折斷平均受力為15公斤，已知標(biāo)準(zhǔn)差為公斤。為檢驗(yàn)15公斤這數(shù)字是否確實(shí)，在該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取50件，測(cè)得其折斷平均受力是，若取顯著性水平 ，問是否應(yīng)該接受廠方聲稱的15公斤這個(gè)數(shù)字？ 解： 假定該廠生產(chǎn)的釣魚繩折斷受力，已知標(biāo)準(zhǔn)差為公斤， 提出假設(shè)： ， 確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布： 在假設(shè)成立之下，有 將代入上式，. 確定顯著性水平  ， 拒絕域?yàn)椋? ， 顯然， ， 所以：在顯著性水平 上，拒絕，即認(rèn)為不應(yīng)該接受廠方這15公斤數(shù)字。 3. 某苗圃采用兩種育苗方案作楊樹的育苗試驗(yàn)，在兩組育苗試驗(yàn)中，已知苗高服從正態(tài)分布，且它們的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，現(xiàn)各取60株作為樣本，求得樣本均值觀測(cè)值分別為，（厘米），試求以95%的可靠性估計(jì)兩種試驗(yàn)方案對(duì)平均苗高的影響。 解： 提出假設(shè)： ， 確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布：在假設(shè)成立之下，有 經(jīng)計(jì)算得： 顯著性水平，，拒絕域?yàn)椋? . 結(jié)論：在顯著性水平下，拒絕假設(shè)，即第一組苗高顯著大于第二組。 4. 為了研究一種新化肥對(duì)種植小麥的效力，選用13塊條件相同面積相等的進(jìn)行試驗(yàn)。在5塊上施肥，在另8塊上不施肥。經(jīng)過基本相同的田間管理，各自平均產(chǎn)量與樣本標(biāo)準(zhǔn)差為： ， ，， ，，. 問這種化肥對(duì)小麥產(chǎn)量是否有顯著影響？（） 解： 假設(shè)兩者皆服從正態(tài)分布，總體方差未知， 提出假設(shè)： ， 確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布：在假設(shè)成立之下，有 ， 經(jīng)計(jì)算得 ， 顯著性水平，， ， 所以：在顯著性水平下，拒絕假設(shè)，即認(rèn)為化肥對(duì)小麥產(chǎn)量有顯著影響. 5. 已知維尼龍纖度在正常情況下服從正態(tài)分布某日抽取5根纖維，測(cè)得平均值為1.414，標(biāo)準(zhǔn)差為0.00778。問這一天纖度的總體標(biāo)準(zhǔn)差是否正常？ 解： 提出假設(shè)： ， 確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布： 在假設(shè)成立之下，有 經(jīng)計(jì)算得 ， 顯著性水平，，， ，落入拒絕域. 結(jié)論：在顯著性水平下，拒絕假設(shè)。認(rèn)為總體標(biāo)準(zhǔn)差有顯著變化. 6. 在甲廠抽9個(gè)產(chǎn)品，算出它的樣本方差在乙廠抽12個(gè)產(chǎn)品，算出它的樣本方差在顯著性水平下，檢驗(yàn)假設(shè) （， 分別是甲廠和乙廠產(chǎn)品的方差，又假定各廠產(chǎn)品質(zhì)量都服從正態(tài)分布） 解： 提出假設(shè)： ， 確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布： 在假設(shè)成立之下，有， 經(jīng)計(jì)算得 ， 顯著性水平，. 結(jié)論：在顯著性水平下，不能拒絕假設(shè)。認(rèn)為兩個(gè)廠產(chǎn)品質(zhì)量方差一致. 7. 有兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)金屬部件，分別在兩臺(tái)機(jī)器所生產(chǎn)的部件中各取一容量的樣本，測(cè)得部件重量的樣本方差分別為下檢驗(yàn)假設(shè)： 解： 按題意，需檢驗(yàn)假設(shè)： 此題屬于未知時(shí)兩方差的右邊檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)椋? 已知從而 因?yàn)椋? 結(jié)論：接受 第九章 方差分析及回歸分析 1. 某地區(qū)1991—1995年個(gè)人消費(fèi)支出和收入資料如下：   年份 1991 1992 1993 1994 1995 個(gè)人收入（萬元）   消費(fèi)支出（萬元）   64     56   70     69   77     66   82     75   92     88   要求：(1)、計(jì)算個(gè)人收入與消費(fèi)支出之間的相關(guān)系數(shù)。 (2)、配合消費(fèi)支出(y)對(duì)個(gè)人收入(x)的直線回歸方程. 解： (1)、 (2)、配合回歸方程 設(shè) 回歸方程為： 2. 為研究產(chǎn)品銷售額與銷售利潤(rùn)之間的關(guān)系。某公司對(duì)所屬六家企業(yè)進(jìn)行了調(diào)查，產(chǎn)品銷售額為（萬元），銷售利潤(rùn)為（萬元），調(diào)查資料斤經(jīng)初步整理計(jì)算，結(jié)果如下： ，，，，. 要求： （1）、計(jì)算銷售額與銷售利潤(rùn)之間的相關(guān)關(guān)系。 （2）、配合銷售利潤(rùn)對(duì)銷售額的直線回歸方程。 解： (1)、 (2)、配合回歸方程 設(shè) 回歸方程為：