2020高中物理 第五章 曲線運動 第五節(jié) 向心加速度學案 新人教版必修2

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1、第五節(jié)　向心加速度 1．理解向心加速度的概念。 2．知道向心加速度和線速度、角速度的關系式。 3．能夠運用向心加速度公式求解有關問題。 1.速度的變化量 速度的變化量是指物體速度的增量，也叫速度變化。 速度的變化量是矢量，有大小，也有方向。其運算規(guī)律遵循平行四邊形定則(或三角形定則)。 2．對圓周運動中加速度的認識 圓周運動的速度方向不斷改變，一定是變速運動。必定有加速度。 3．向心加速度 (1)定義：任何做勻速圓周運動的物體的加速度都指向圓心，這個加速度叫做向心加速度。 (2)方向：向心加速度的方向總是沿著半徑指向圓心，與該點的線速度方向垂直。向心加速度

2、的方向時刻在改變。 (3)大?。篴n＝。根據v＝ωr可得an＝ω2r。 (4)作用效果：向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。 (5)物理意義：向心加速度是描述線速度方向改變快慢的物理量，線速度方向變化的快慢體現(xiàn)了向心加速度的大小。 判一判 (1)做勻速圓周運動物體所受的合力總指向圓心。(　　) (2)做勻速圓周運動物體的加速度總指向圓心。(　　) (3)勻速圓周運動是加速度不變的運動。(　　) 提示：(1)√　做勻速圓周運動物體所受合力總是指向圓心的。 (2)√　做勻速圓周運動物體所受合力總是指向圓心，根據牛頓第二定律，加速度也總指向圓心。 (3)×　做勻速圓周運

3、動物體的加速度總是指向圓心，所以其方向不斷變化。 想一想 勻速圓周運動中，物體的加速度就是向心加速度嗎？加速度一定指向圓心嗎？在變速圓周運動中呢？ 提示：在勻速圓周運動中，物體的加速度就是向心加速度，加速度一定指向圓心；在變速圓周運動中，物體的加速度不是向心加速度，加速度不指向圓心，但向心加速度指向圓心。 課堂任務　向心加速度的理解 仔細觀察下列圖片，認真參與“師生互動”。 活動1：地球和小球的運動狀態(tài)發(fā)生變化嗎？若變化，變化的原因是什么？ 提示：地球和小球的速度方向不斷發(fā)生變化，所以運動狀態(tài)發(fā)生變化。運動狀態(tài)發(fā)生變化的原因是受到力的作用。 活動2：地球受到什么力的

4、作用？這個力可能沿什么方向？地球的加速度沿什么方向？ 提示：地球受太陽引力的作用做勻速圓周運動，這個力只是在改變速度的方向，不改變速度大小，力應與速度垂直，故引力指向圓心，加速度也必然指向圓心。 活動3：水平面上勻速圓周運動的小球受到幾個力的作用？這幾個力的合力沿什么方向？小球的加速度沿什么方向？ 提示：小球受重力、支持力和線的拉力，但重力、支持力合力為零。所以小球受到的合力就是線的拉力，方向指向圓心，故加速度也指向圓心。 活動4：討論、交流、展示，得出結論。 (1)向心加速度的方向：總指向圓心，方向時刻改變。 (2)向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速

5、度的作用只是改變速度的方向，對速度的大小無影響。 (3)圓周運動的性質：不論向心加速度a的大小是否變化，其方向時刻改變，所以圓周運動的加速度時刻發(fā)生變化，圓周運動是變加速曲線運動。 例1　(多選)關于向心加速度，以下說法中正確的是(　　) A．向心加速度的方向始終與線速度方向垂直 B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小 C．物體做圓周運動時的加速度方向始終指向圓心 D．物體做勻速圓周運動時的加速度方向始終指向圓心 (1)向心加速度的物理意義是什么？ 提示：加速度是表示速度變化快慢的物理量，向心加速度僅表示物體線速度方向變化的快慢，不表示物體線速度大小變化的快慢

6、。 (2)向心加速度方向為________。 提示：始終指向圓心 [規(guī)范解答]　向心加速度的方向沿半徑指向圓心，線速度方向則沿圓周的切線方向，所以向心加速度的方向始終與線速度方向垂直，只改變線速度的方向，物體做勻速圓周運動時，只具有向心加速度，加速度方向始終指向圓心；一般情況下，圓周運動的向心加速度與切向加速度的合加速度的方向不指向圓心。故A、B、D正確，C錯誤。 [完美答案]　ABD 對向心加速度的理解 (1)向心加速度只描述線速度方向變化的快慢，沿切線方向的加速度描述線速度大小變化的快慢。 　下列說法中正確的是(　　) A．向心加速度表示做圓周運動的物體速率改變

7、的快慢 B．向心加速度描述線速度方向變化的快慢 C．在勻速圓周運動中，向心加速度是恒定的 D．勻速圓周運動是勻變速曲線運動 答案　B 解析　勻速圓周運動中速率不變，向心加速度只改變線速度的方向，A錯誤，B正確；勻速圓周運動中，向心加速度的大小不變，方向時刻變化，所以勻速圓周運動是變加速曲線運動，故C、D錯誤。 課堂任務　向心加速度的大小和方向 仔細觀察下列圖片，認真參與“師生互動”。 活動1：在直線運動中如何表示速度的變化量？ 提示：在直線運動中速度的變化量如圖甲和圖乙所示。甲表示加速運動，乙表示減速運動。 活動2：如果速度的方向是變化的，如何表示速度的

8、變化量？ 提示：在同一點作出物體在一段時間的始末兩個速度矢量v1和v2，從初速度矢量v1的末端至末速度矢量v2的末端的有向線段Δv就是v1到v2速度的變化量，如圖丙。 活動3：設質點沿半徑為r的圓周做勻速圓周運動，比如從A點運動到B點，極短的一段時間，速度變化量Δv的方向如何？ 提示：由于是勻速圓周運動，A點的速度v1和B點的速度v2大小是一樣的，即長度是一樣的。為了便于比較，將v1的起點移到B，同時保持v1的長度和方向不變，如圖丙。如果我們把時間逐漸縮短，當時間趨于0時，v1、v2的夾角趨于0，此時速度變化量Δv的方向與v1垂直，也就與半徑平行，在A處與半徑重合，指向圓心。 活動4：

9、討論、交流、展示，得出結論。 (1)向心加速度的方向 ①Δv的方向：如圖所示，質點做勻速圓周運動從A點運動到B點，用下圖體現(xiàn)時間逐漸減小到趨于零時Δv與初速度的關系。 　　 結論：Δt趨于零，Δv垂直于此時的線速度。即Δv指向圓心。 ②向心加速度的方向：由于Δv指向圓心，由加速度定義a＝可知，加速度總是與Δv的方向一致，故向心加速度方向指向圓心。 (2)向心加速度的大小 ①公式推導：先作出做勻速圓周運動的物體的速度情況如圖甲所示，再作出速度與速度改變量的關系圖如圖乙所示。 由于A點的速度vA方向垂直于半徑r，B點的速度vB方向垂直于另一條半徑r，所以∠AOB＝∠CBD，故等

10、腰△AOB和△CBD相似，根據對應邊成比例可得：＝，由于時間t很短，故弦長AB近似等于弧長，而弧長＝vA·Δt，所以＝，又an＝，故an＝。由于v＝ωr，代入an＝可得an＝ω2r。 ②向心加速度的幾種表達式：an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r＝ωv。 ③向心加速度與半徑的關系 a．當線速度一定時，向心加速度與運動半徑成反比，如圖甲所示。 b．當角速度一定時，向心加速度與運動半徑成正比，如圖乙所示。 由an-r圖象可以看出：向心加速度an與r是成正比還是反比，要看ω恒定還是v恒定。 ④向心加速度的注意要點 a．向心加速度的公式適用于所有圓周運動的向心加速度的計算，包括非勻速圓周

11、運動，但an與v具有瞬時對應性。 b．向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。向心加速度表示速度方向改變的快慢。 c．無論是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，向心加速度的方向都指向圓心。非勻速圓周運動合加速度不指向圓心，但向心加速度一定指向圓心，是專門改變速度方向的。 例2　如圖所示，壓路機大輪的半徑R是小輪半徑r的2倍。壓路機勻速行駛時，大輪邊緣上A點的向心加速度是12 cm/s2，那么小輪邊緣上B點的向心加速度是多少？大輪上距軸心距離為的C點的向心加速度大小是多少？ (1)怎么比較A、B、C三點的向心加速度大??？ 提示：需要涉及公式an＝、an＝ω2r，通過抓住相同量

12、比較不同量。 (2)A、B兩點有什么物理量相同？A、C兩點有什么物理量相同？ 提示：由于A、B輪在一起朝前運動，都走同樣的路，其線速度大小相等。A、C同軸，角速度、周期、轉速相等。 [規(guī)范解答]　大輪邊緣上A點的線速度大小與小輪邊緣上B點的線速度大小相等。由aA＝和aB＝得aB＝aA＝24 cm/s2＝0.24 m/s2；C點和A點同在大輪上，角速度相等，由aA＝ω2R和aC＝ω2·得aC＝＝4 cm/s2＝0.04 m/s2。 [完美答案]　aB＝0.24 m/s2　aC＝0.04 m/s2 向心加速度公式的應用技巧 (1)皮帶傳動問題，兩輪邊緣線速度大小相等，常選擇公式an

13、＝。 (2)同軸轉動問題，各點角速度相等，常選擇公式an＝ω2r。 所以分析向心加速度時應先確定是線速度大小相等，還是角速度相等，再選擇合適的公式。 　如圖所示，O1為皮帶傳動的主動輪的軸心，主動輪半徑為r1，O2為從動輪的軸心，從動輪半徑為r2，r3為固定在從動輪上的小輪半徑。已知r2＝2r1，r3＝1.5r1。A、B、C分別是三個輪邊緣上的點，則點A、B、C的向心加速度之比是(假設皮帶不打滑)(　　) A．1∶2∶3 B．2∶4∶3 C．8∶4∶3 D．3∶6∶2 答案　C 解析　因為皮帶不打滑，A點與B點的線速度大小相同，都等于皮帶運動的速率。根據向心加速度公式

14、a＝，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1。由于B、C同軸轉動，所以它們的角速度相同。根據向心加速度公式a＝ω2r，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5。由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故選C。 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A組：合格性水平訓練 1．(向心加速度的理解)下列關于向心加速度的說法中正確的是(　　) A．向心加速度的方向始終指向圓心 B．向心加速度的方向保持不變 C．在勻速圓周運動中，向心加速度是恒定的 D．在勻速圓周運動中，向心加速度的大小不斷變化 答案　A 解析　向心加速度的方向時刻指向圓心，A正確，B錯誤；勻速圓周運動中

15、，向心加速度的大小不變，方向時刻變化，故C、D錯誤。 2.(傳動裝置中的向心加速度)如圖所示，兩輪壓緊，通過摩擦傳動(不打滑)，已知大輪半徑是小輪半徑的2倍，E為大輪半徑的中點，C、D分別是大輪和小輪邊緣上的一點，則E、C、D三點向心加速度大小關系正確的是(　　) A．anC＝anD＝2anE B．anC＝2anD＝2anE C．anC＝＝2anE D．anC＝＝anE 答案　C 解析　C、E兩點同軸轉動，角速度相等，由an＝ω2r，有＝2，即anC＝2anE；兩輪邊緣點的線速度大小相等，C、D兩點的線速度大小相等，由an＝，有＝，即anC＝anD，故選C。 3．(向心加速度與

16、半徑的關系)關于質點的勻速圓周運動，下列說法中正確的是(　　) A．由an＝可知，an與r成反比 B．由an＝ω2r可知，an與r成正比 C．由v＝ωr可知，ω與r成反比 D．由ω＝2πf可知，ω與f成正比 答案　D 解析　質點做勻速圓周運動的向心加速度與質點的線速度、角速度、半徑有關，當線速度一定時，向心加速度與半徑成反比；當角速度一定時，向心加速度與半徑成正比，對線速度和角速度與半徑的關系也可以同樣進行討論，而角速度無論何時均與頻率成正比。A、B、C錯誤，D正確。 4.(向心加速度與半徑的關系)(多選)如圖所示為A、B兩物體做勻速圓周運動的向心加速度隨半徑變化的圖象，其中A為

17、雙曲線的一個分支，由圖可知(　　) A．A物體運動的線速度大小不變 B．A物體運動的角速度大小不變 C．B物體運動的角速度大小不變 D．B物體運動的角速度與半徑成正比 答案　AC 解析　因為A為雙曲線的一個分支，說明a與r成反比，由a＝可知，A物體運動的線速度大小不變，故A正確，B錯誤；而OB為過原點的直線，說明a與r成正比，由a＝ω2r可知，B物體運動的角速度大小不變，故C正確，D錯誤。 5．(勻速圓周運動的加速度)(多選)一只質量為m的老鷹，以速率v在水平面內做半徑為r的勻速圓周運動，則關于老鷹的向心加速度的說法正確的是(　　) A．大小為 B．大小為g－ C．方向在

18、水平面內 D．方向在豎直面內 答案　AC 解析　根據an＝可知A正確；由于老鷹在水平面內做勻速圓周運動，向心加速度始終指向圓心，所以向心加速度的方向在水平面內，C正確。 6.(綜合)如圖所示，一圓環(huán)以直徑AB為軸勻速轉動，P、Q、R是環(huán)上的三點，則下列說法正確的是(　　) A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aR B．任意時刻P、Q、R三點向心加速度的方向不同 C．線速度vP＞vQ＞vR D．任意時刻P、Q、R三點的線速度方向均不同 答案　C 解析　圓環(huán)各處的角速度相等，由a＝ω2r知aP＞aQ＞aR，故A錯誤；由v＝ωr知vP＞vQ＞vR，故C正確；由于向心加速度總是指向圓

19、周運動圓心，所以P、R、Q處的向心加速度的方向都垂直于AB軸且指向AB軸，即P、Q、R三點向心加速度的方向相同，B錯誤；線速度方向都垂直于向心加速度，故P、Q、R三點的線速度方向相同，D錯誤。 7.(綜合)如圖所示，一球體繞軸O1O2以角速度ω勻速旋轉，A、B為球體上兩點，下列幾種說法中正確的是(　　) A．A、B兩點具有相同的角速度 B．A、B兩點具有相同的線速度 C．A、B兩點的向心加速度的方向都指向球心 D．A、B兩點的向心加速度之比為 答案　A 解析　A、B為球體上兩點，因此A、B兩點的角速度與球體繞軸O1O2旋轉的角速度相同，A正確；如圖所示，A以P為圓心做圓周

20、運動，B以Q為圓心做圓周運動，因此A、B兩點的向心加速度方向分別指向P、Q，C錯誤；設球的半徑為R，則A運動的半徑rA＝Rsin60°，B運動的半徑rB＝Rsin30°，＝＝＝，B錯誤；＝＝，D錯誤。 8.(向心加速度的計算)滑板運動是深受青少年喜愛的運動，如圖所示，某滑板運動員恰好從B點進入半徑為2.0 m的光滑圓弧軌道，該圓弧軌道在C點與水平光滑軌道相接，運動員滑到C點時的速度大小為10 m/s。求他到達C點前、后瞬間的加速度。(不計各種阻力) 答案　50 m/s2，方向豎直向上　0 解析　運動員到達C點前的瞬間做圓周運動，加速度大小a＝＝ m/s2＝50 m/s2，方向在該位置

21、指向圓心，即豎直向上。運動員到達C點后的瞬間合外力為0，加速度為0。 9. (綜合)如圖所示，甲、乙兩物體自同一水平線上同時開始運動，甲沿順時針方向做勻速圓周運動，圓周半徑為R；乙做自由落體運動，當乙下落至A點時，甲恰好第一次運動到最高點B，求甲物體做勻速圓周運動的向心加速度的大小。(重力加速度為g) 答案　π2g 解析　設乙下落到A點所用時間為t， 則對乙，滿足R＝gt2，得t＝， 這段時間內甲運動了T，即T＝① 又由于an＝ω2R＝R② 由①②得，an＝π2g。 B組：等級性水平訓練 10.(傳動問題)如圖所示，A、B為嚙合傳動的兩齒輪(齒未畫出)，rA＝2r

22、B，則A、B兩輪邊緣上兩點的(　　) A．角速度之比為2∶1 B．向心加速度之比為1∶2 C．周期之比為1∶2 D．轉速之比為2∶1 答案　B 解析　根據兩輪邊緣線速度大小相等，由v＝ωr，得角速度之比為ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶2，故A錯誤；由an＝，得向心加速度之比為aA∶aB＝rB∶rA＝1∶2，故B正確；由T＝，得周期之比為TA∶TB＝rA∶rB＝2∶1，故C錯誤；由n＝，得轉速之比為nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，故D錯誤。 11. (綜合)(多選)小球質量為m，用長L的輕懸線固定于O點，在O點的正下方處釘有一顆釘子P，把懸線沿水平方向拉直，如圖所示。若無初速

23、度釋放小球，當懸線碰到釘子后的瞬間(設線沒有斷)(　　) A．小球的角速度突然增大 B．小球的線速度突然減小到零 C．小球的向心加速度突然增大 D．小球的線速度突然增大 答案　AC 解析　由題意知，當懸線運動到與釘子相碰時，懸線仍然豎直，小球在豎直方向仍然只受重力和懸線的拉力，故其運動方向不受力，線速度大小不變，B、D錯誤；又ω＝，r減小，所以ω增大；a＝，r減小，則a增大，故A、C正確。 12. (傳動問題)如圖所示為兩級皮帶傳動裝置，轉動時皮帶均不打滑，中間兩個輪子是固定在一起的，輪1的半徑和輪2的半徑相同，輪3的半徑和輪4的半徑相同，且為輪1和輪2半徑的一半，則輪1邊緣

24、的a點和輪4邊緣的c點相比(　　) A．線速度之比為1∶4 B．角速度之比為4∶1 C．向心加速度之比為8∶1 D．向心加速度之比為1∶8 答案　D 解析　由題意知va＝v3，v2＝vc，又輪2與輪3同軸轉動，角速度相同，v2＝2v3，所以va∶vc＝1∶2，A錯誤。＝＝，B錯誤。設輪4的半徑為r，則aa＝＝＝＝ac，即aa∶ac＝1∶8，C錯誤，D正確。 13. (綜合)(多選)如圖所示，一小物塊以大小為an＝4 m/s2的向心加速度做勻速圓周運動，半徑R＝1 m，則下列說法正確的是(　　) A．小物塊運動的角速度為2 rad/s B．小物塊做圓周運動的周期為π s

25、 C．小物塊在t＝ s內通過的位移大小為 m D．小物塊在π s內通過的路程為零 答案　AB 解析　因為an＝ω2R，所以小物塊運動的角速度為ω＝＝2 rad/s，周期T＝＝π s，A、B正確；小物塊在 s內轉過弧度，通過的位移大小為 m，在π s內轉過一周，通過的路程為2π m，C、D錯誤。 14. (多解問題)用圖所示的裝置可以測量彈簧槍發(fā)射子彈的速度。在一根水平軸MN上相隔L安裝兩個平行的薄圓盤，兩圓盤可以繞水平軸MN一起勻速轉動。彈簧槍緊貼左盤沿水平方向在水平軸MN的正上方射出一顆子彈，子彈穿過兩個薄圓盤(穿過圓盤時速度不變)，并在圓盤上留下兩個小孔A和B(設子彈穿過B時還沒

26、有運動到轉軸的下方)。若測得兩個小孔距水平軸MN的距離分別為RA和RB，它們所在的半徑按轉動方向由B到A的夾角為φ(φ為銳角)。求： (1)彈簧槍發(fā)射子彈的速度； (2)圓盤繞MN軸勻速轉動的角速度； (3)若用一橡皮泥將A孔堵上，則橡皮泥的向心加速度的大小是多少？ 答案　(1)L (2)(2nπ＋φ)(n＝0,1,2，…) (3)(n＝0,1,2，…) 解析　(1)以子彈為研究對象，在從A運動到B的過程中，由平拋運動的規(guī)律可得RA－RB＝gt2，L＝v0t 聯(lián)立解得v0＝L。 (2)子彈從A運動到B所用的時間為 t＝＝ 。 在此過程中，圓盤轉過的角度為 θ＝2nπ＋φ(n＝0,1,2，…) 所以圓盤轉動的角速度為 ω＝＝(2nπ＋φ)(n＝0,1,2，…)。 (3)橡皮泥的角速度與圓盤轉動的角速度相等，所以橡皮泥的向心加速度為 a＝ω2RA＝(n＝0,1,2，…)。 - 16 -