2017年高中物理 第6章 磁場對電流和運動電荷的作用 第4講 洛倫茲力的應用學案 魯科版選修3-1

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1、 第4講　洛倫茲力的應用 [目標定位]　1.知道洛倫茲力做功的特點.2.掌握帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的規(guī)律和分析方法.3.知道回旋加速器、質譜儀的原理以及基本用途． 一、帶電粒子在磁場中的運動 1．垂直射入勻強磁場中的運動電荷受到的洛倫茲力不僅與磁感應強度方向垂直，而且與速度方向垂直，這表明，洛倫茲力對粒子不做功，它不改變粒子的速率，只改變粒子的運動方向． 2．當運動電荷垂直射入勻強磁場中． (1)洛倫茲力提供向心力．即qvB＝. (2)軌道半徑r＝. (3)運動周期T＝. 二、回旋加速器和質譜儀 1．回旋加速器 回旋加速器的工作原理如圖1所示，D1和D2是

2、兩個中空的半圓金屬盒，它們之間有一定的電勢差U.A處粒子源產生的帶電粒子，在兩盒間被電場加速．勻強磁場B與兩個D形盒面垂直，所以粒子在磁場中做勻速圓周運動．經過半個圓周后再次到達兩盒間的縫隙處，控制兩盒間的電勢差，使其恰好改變正負，于是粒子經過盒縫時再次被加速．如此反復，粒子的速度就能增加到很大． 圖1 想一想　隨著粒子速度的增加，縫隙處電勢差的正負改變是否越來越快，以便能使粒子在縫隙處剛好被加速？ 答案　雖然粒子每經過一次加速，其速度和軌道半徑就增大，但是粒子做圓周運動的周期不變，所以電勢差的改變頻率保持不變就行． 2．質譜儀 (1)原理如圖2所示 圖2 (2)加速：帶

3、電粒子進入質譜儀的加速電場，由動能定理： qU＝mv2① (3)偏轉：帶電粒子進入質譜儀的偏轉磁場，洛倫茲力提供向心力：qvB＝② (4)由①②兩式可以求出粒子的比荷、質量、磁感應強度等． (5)應用：可以測定帶電粒子的質量和分析同位素． 想一想　質譜儀是如何區(qū)分同位素的呢？ 答案　由上述①②兩式可求得r＝，同種同位素電荷量相同，質量不同，在質譜儀熒光屏上顯示的半徑就不同，故能通過半徑大小區(qū)分同位素. 一、帶電粒子在勻強磁場中的運動 1．勻速直線運動：若帶電粒子(不計重力)的速度方向與磁場方向平行(相同或相反)，此時帶電粒子所受洛倫茲力為零，帶電粒子將以入射速度v做勻速直線

4、運動 2．勻速圓周運動：若帶電粒子垂直磁場方向進入勻強磁場，洛倫茲力提供了勻速圓周運動的向心力． 設粒子的速度為v，質量為m，電量為q，由于洛倫茲力提供向心力，則有qvB＝m，得到軌道半徑r＝. 由軌道半徑與周期的關系得周期T＝＝＝. 溫馨提示?、儆晒絩＝知，軌道半徑跟運動速率成正比；②由公式T＝知，周期跟軌道半徑和運動速率均無關，而與比荷成反比． 例1　質子和α粒子由靜止出發(fā)經過同一加速電場加速后，沿垂直磁感線方向進入同一勻強磁場，則它們在磁場中的各運動量間的關系正確的是(　　) A．速度之比為2∶1 B．周期之比為1∶2 C．半徑之比為1∶2 D．角速度之比為1∶1

5、 答案　B 解析　由qU＝mv2?、佟vB＝?、?，得r＝，而mα＝4mH，qα＝2qH，故rH∶rα＝1∶，又T＝，故TH∶Tα＝1∶2.同理可求其他物理量之比． 二、帶電粒子在有界磁場中的運動 1．著重把握“一找圓心，二求半徑，三定時間”的方法． (1)圓心的確定方法：兩線定一“心” ①圓心一定在垂直于速度的直線上． 如圖3甲所示已知入射點P(或出射點M)的速度方向，可通過入射點和出射點作速度的垂線，兩條直線的交點就是圓心. 圖3 ②圓心一定在弦的中垂線上． 如圖3乙所示，作P、M連線的中垂線，與其一速度的垂線的交點為圓心． (2)“求半徑” 方法①　由公式qv

6、B＝m，得半徑r＝ 方法②　由軌跡和約束邊界間的幾何關系求解半徑r (3)“定時間” 方法①　粒子在磁場中運動一周的時間為T，當粒子運動的圓弧所對應的圓心角為α時，其運動時間可由下式表示：t＝T(或t＝T)． 方法②　t＝(其中s為粒子軌跡的長度，即弧長)，在周期T不可知時可考慮上式． 2．圓心角與偏向角、圓周角的關系 兩個重要結論：①帶電粒子射出磁場的速度方向與射入磁場的速度方向之間的夾角φ叫做偏向角，偏向角等于圓弧軌道對應的圓心角α，即α＝φ，如圖4所示． 圖4 ②圓弧軌道所對圓心角α等于PM弦與切線的夾角(弦切角)θ的2倍，即α＝2θ，如圖4所示． 例2　如圖5所示

7、，一束電荷量為e的電子以垂直于磁場方向(磁感應強度為B)并垂直于磁場邊界的速度v射入寬度為d的磁場中，穿出磁場時速度方向和原來射入方向的夾角為θ＝60°.求電子的質量和穿越磁場的時間． 圖5 答案　　 解析　過M、N作入射方向和出射方向的垂線，兩垂線交于O點，O點即電子在磁場中做勻速圓周運動的圓心，連接ON，過N作OM的垂線，垂足為P，如圖所示．由直角三角形OPN知，電子的軌跡半徑r＝＝d① 由圓周運動知evB＝m② 解①②得m＝. 電子在無界磁場中運動周期為T＝·＝. 電子在磁場中的軌跡對應的圓心角為θ＝60°，故電子在磁場中的運動時間為t＝T＝×＝. 三、回旋加速器

8、問題 1．周期：周期T＝，由此看出：帶電粒子的周期與速率、半徑均無關，運動相等的時間(半個周期)后進入電場． 2．帶電粒子的最大能量：由r＝得，當帶電粒子的速度最大時，其運動半徑也最大，若D形盒半徑為R，則帶電粒子的最終動能Em＝.可見，要提高加速粒子的最終能量，應盡可能增大磁感應強度B和D形盒的半徑R. 例3　回旋加速器是用來加速一群帶電粒子使它們獲得很大動能的儀器，其核心部分是兩個D形金屬盒，兩盒分別和一高頻交流電源兩極相接，以便在盒內的窄縫中形成勻強電場，使粒子每次穿過狹縫時都得到加速，兩盒放在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圓心附近，若粒子源射出的

9、粒子電荷量為q，質量為m，粒子最大回旋半徑為Rmax.求： (1)粒子在盒內做何種運動； (2)所加交變電流頻率及粒子角速度； (3)粒子離開加速器時的最大速度及最大動能． 答案　(1)勻速圓周運動　(2)　 (3)　 解析　(1)帶電粒子在盒內做勻速圓周運動，每次加速之后半徑變大． (2)粒子在電場中運動時間極短，因此高頻交變電流頻率要符合粒子回旋頻率，因為T＝，回旋頻率f＝＝，角速度ω＝2πf＝. (3)由牛頓第二定律知＝qBvmax 則Rmax＝，vmax＝ 最大動能Ekmax＝mv＝ 借題發(fā)揮　(1)洛倫茲力永遠不做功，磁場的作用是讓帶電粒子“轉圈圈”，電場的作用

10、是加速帶電粒子． (2)兩D形盒窄縫所加的是與帶電粒子做勻速圓周運動周期相同的交流電，且粒子每次過窄縫時均為加速電壓，每旋轉一周被加速兩次． (3)粒子射出時的最大速度(動能)由磁感應強度和D形盒的半徑決定，與加速電壓無關． 四、質譜儀 原理：利用磁場對帶電粒子的偏轉，由帶電粒子的電荷量、軌道半徑確定其質量，粒子由加速電場加速后進入速度選擇器，勻速運動，電場力和洛倫茲力平衡qE＝qvB1，v＝粒子勻速直線通過進入偏轉磁場B2，偏轉半徑r＝，可得比荷＝. 溫馨提示　①速度選擇器兩極板間距離極小，粒子稍有偏轉，即打到極板上． ②速度選擇器對正負電荷均適用． ③速度選擇器中的E、B1的

11、方向具有確定的關系，僅改變其中一個方向，就不能對速度做出選擇． 例4　質譜儀的構造如圖6所示，離子從離子源出來經過板間電壓為U的加速電場后進入磁感應強度為B的勻強磁場中，沿著半圓周運動到達記錄它的照相底片上，測得圖中PQ的距離為L，則該粒子的比荷為多大？ 圖6 答案　 解析　粒子在電壓為U的電場中加速時，根據動能定理得： qU＝mv2① 粒子進入磁場后做圓周運動，根據牛頓第二定律有： qvB＝m② r＝③ 解①②③得＝. 帶電粒子在磁場中的圓周運動 1．處于勻強磁場中的一個帶電粒子，僅在磁場力作用下做勻速圓周運動．將該粒子的運動等效為環(huán)形電流，那么此電流值(　　)

12、 A．與粒子電荷量成正比 B．與粒子速率成正比 C．與粒子質量成正比 D．與磁感應強度成正比 答案　D 解析　假設帶電粒子的電荷量為q，在磁場中做圓周運動的周期為T＝，則等效電流I＝＝， 故答案選D. 帶電粒子在有界磁場中的運動 2．如圖7所示，在第Ⅰ象限內有垂直紙面向里的勻強磁場，一對正、負電子分別以相同速率沿與x軸成30°角的方向從原點射入磁場，則正、負電子在磁場中運動的時間之比為(　　) 圖7 A．1∶2　　　 B．2∶1 C．1∶　　　 D．1∶1 答案　B 解析　正、負電子在磁場中運動軌跡如圖所示，正電子做勻速圓周運動在磁場中的部分對應圓心角為1

13、20°，負電子圓周部分所對應圓心角為60°，故時間之比為2∶1. 回旋加速器問題 3．回旋加速器是加速帶電粒子的裝置，其核心部分是分別與高頻交流電源相連接的兩個D形金屬盒，兩盒間的狹縫中形成的周期性變化的電場，使粒子在通過狹縫時都能得到加速，兩D形金屬盒處于垂直于盒底面的勻強磁場中，如圖8所示，要增大帶電粒子射出時的動能，下列說法中正確的是(　　) 圖8 A．增加交流電的電壓 B．增大磁感應強度 C．改變磁場方向 D．增大加速器半徑 答案　BD 解析　當帶電粒子的速度最大時，其運動半徑也最大，由牛頓第二定律qvB＝m，得v＝.若D形盒的半徑為R，則R＝r時，帶電粒子

14、的最終動能Ekm＝mv2＝.所以要提高加速粒子射出的動能，應盡可能增大磁感應強度B和加速器的半徑R. 質譜儀問題 4．A、B是兩種同位素的原子核，它們具有相同的電荷量、不同的質量．為測定它們的質量比，使它們從質譜儀的同一加速電場由靜止開始加速，然后沿著與磁場垂直的方向進入同一勻強磁場，打到照相底片上．如果從底片上獲知A、B在磁場中運動軌跡的半徑之比是1.08∶1，求A、B的質量比． 答案　1.17∶1 解析　A、B是兩種同位素的原子核，電荷量相同、質量不同．其運動過程分為兩步：一是在電場中加速，二是在磁場中偏轉． 設A、B的電荷量皆為q，質量分別為mA和mB 則經電壓為U的電場加速

15、時：qU＝mv2 在磁感應強度為B的磁場中偏轉時：r＝ 聯立解得：m＝ 即＝()2＝()2≈1.17∶1. 題組一　帶電粒子在磁場中的圓周運動 1．如圖1所示，ab是一彎管，其中心線是半徑為R的一段圓弧，將它置于一給定的勻強磁場中，方向垂直紙面向里．有一束粒子對準a端射入彎管，粒子的質量、速度不同，但都是一價負粒子，則下列說法正確的是(　　) 圖1 A．只有速度大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管 B．只有質量大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管 C．只有質量和速度乘積大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管 D．只有動能大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管 答案　C 解析

16、　由R＝可知，在相同的磁場，相同的電荷量的情況下，粒子做圓周運動的半徑決定于粒子的質量和速度的乘積． 2．如圖2所示，水平導線中有電流I通過，導線正下方的電子初速度的方向與電流I的方向相同，則電子將(　　) 圖2 A．沿路徑a運動，軌跡是圓 B．沿路徑a運動，軌跡半徑越來越大 C．沿路徑a運動，軌跡半徑越來越小 D．沿路徑b運動，軌跡半徑越來越小 答案　B 解析　由左手定則可判斷電子運動軌跡向下彎曲．又由r＝知，B減小，r越來越大，故電子的徑跡是a.故選B. 3．如圖3所示，一帶電粒子(重力不計)在勻強磁場中沿圖中軌道運動，中央是一薄絕緣板，粒子在穿過絕緣板時有動能損失，

17、由圖可知(　　) 圖3 A．粒子的運動方向是abcde B．粒子帶正電 C．粒子的運動方向是edcba D．粒子在下半周期比上半周期所用時間長 答案　BC 題組二　帶電粒子在有界磁場中運動 4．空間存在方向垂直于紙面向里的勻強磁場，圖4中的正方形為其邊界．一細束由兩種粒子組成的粒子流沿垂直于磁場的方向從O點入射．這兩種粒子帶同種電荷，它們的電荷量、質量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不計重力．下列說法正確的是(　　) 圖4 A．入射速度不同的粒子在磁場中的運動時間一定不同 B．入射速度相同的粒子在磁場中的運動軌跡一定相同 C．在磁場中運動時間相同的

18、粒子，其運動軌跡一定相同 D．在磁場中運動時間越長的粒子，其軌跡所對的圓心角一定越大 答案　BD 解析　由于粒子比荷相同，由R＝可知速度相同的粒子軌跡半徑相同，運動軌跡也必相同，B正確．對于入射速度不同的粒子在磁場中可能的運動軌跡如圖所示，由圖可知，粒子的軌跡直徑不超過磁場邊界一半時轉過的圓心角都相同，運動時間都為半個周期，而由T＝知所有粒子在磁場運動周期都相同，A、C皆錯誤．再由t＝T＝可知D正確，故選B、D. 5．如圖5所示，有界勻強磁場邊界線SP∥MN，速率不同的同種帶電粒子從S點沿SP方向同時射入磁場．其中穿過a點的粒子速度v1與MN垂直；穿過b點的粒子速度v2與MN成60

19、°角，設粒子從S到a、b所需時間分別為t1和t2，則t1∶t2為(重力不計)(　　) 圖5 A．1∶3 B．4∶3 C．1∶1 D．3∶2 答案　D 解析　如圖所示，可求出從a點射出的粒子對應的圓心角為90°.從b點射出的粒子對應的圓心角為60°.由t＝T，T＝，可得：t1∶t2＝3∶2，故選D. 6．如圖6所示，直角三角形ABC中存在一勻強磁場，比荷相同的兩個粒子沿AB方向射入磁場，分別從AC邊上的P、Q兩點射出，則(　　) 圖6 A．從P射出的粒子速度大 B．從Q射出的粒子速度大 C．從P射出的粒子，在磁場中運動的時間長 D．兩粒子在磁場中運動的時間一

20、樣長 答案　BD 解析　作出各自的運動軌跡如圖所示，根據圓周運動特點知，分別從P、Q點射出時，與AC邊夾角相同，故可判定從P、Q點射出時，半徑Rp＜RQ，由R＝，所以，從Q點射出的粒子速度大，B正確；根據圖示，可知兩個圓心角相等，由T＝，所以，從P、Q點射出時，兩粒子在磁場中的運動時間相等．正確選項應是B、D. 題組三　質譜儀和回旋加速器問題 7．如圖7是質譜儀的工作原理示意圖．帶電粒子被加速電場加速后，進入速度選擇器．速度選擇器內相互正交的勻強磁場和勻強電場的強度分別為B和E.平板S上有可讓粒子通過的狹縫P和記錄粒子位置的膠片A1A2.平板S下方有磁感應強度為B0的勻強磁場．下列

21、表述正確的是(　　) 圖7 A．質譜儀是分析同位素的重要工具 B．速度選擇器中的磁場方向垂直紙面向里 C．能通過狹縫P的帶電粒子的速率等于 D．粒子打在膠片上的位置越靠近狹縫P，粒子的荷質比越小 答案　AC 解析　質譜儀是測量帶電粒子的質量和分析同位素的重要工具，故A選項正確；速度選擇器中電場力和洛倫茲力是一對平衡力，即：qvB＝qE，故v＝，根據左手定則可以確定，速度選擇器中的磁場方向垂直紙面向外，故B選項錯誤、C選項正確．粒子在勻強磁場中運動的半徑r＝，即粒子的比荷＝，由此看出粒子的運動半徑越小，粒子打在膠片上的位置越靠近狹縫P，粒子的荷質比越大，故D選項錯誤． 8．一

22、個用于加速質子的回旋加速器，其核心部分如圖8所示，D形盒半徑為R，垂直D形盒底面的勻強磁場的磁感應強度為B，兩盒分別與交流電源相連．下列說法正確的是(　　) 圖8 A．質子被加速后的最大速度隨B、R的增大而增大 B．質子被加速后的最大速度隨加速電壓的增大而增大 C．只要R足夠大，質子的速度可以被加速到任意值 D．不需要改變任何量，這個裝置也能用于加速α粒子 答案　A 解析　由r＝知，當r＝R時，質子有最大速度vm＝，即B、R越大，vm越大，vm與加速電壓無關，A對、B錯．隨著質子速度v的增大、質量m會發(fā)生變化，據T＝知質子做圓周運動的周期也變化，所加交流電與其運動不再同步，即

23、質子不可能一直被加速下去，C錯．由上面周期公式知α粒子與質子做圓周運動的周期不同，故此裝置不能用于加速α粒子，D錯． 題組四　綜合應用 9．如圖9所示，兩個板間存在垂直紙面向里的勻強磁場，一帶正電的質子以速度v0從O點垂直射入．已知兩板之間距離為d.板長為d，O點是NP板的正中點，為使質子能從兩板之間射出，試求磁感應強度B應滿足的條件(已知質子帶電荷量為q，質量為m)． 圖9 答案　≤B≤ 解析　如圖所示，由于質子在O點的速度垂直于板NP，所以粒子在磁場中做圓周運動的圓心O′一定位于NP所在的直線上． (1)如果質子恰好從N點射出，R1＝，qv0B1＝.所以B1＝. (2

24、)如果質子恰好從M點射出 R－d2＝(R2－)2，qv0B2＝m，得B2＝. 為使質子能從兩板之間射出， 所以B應滿足≤B≤. 10．如圖10所示，一個質量為m，電荷量為－q，不計重力的帶電粒子從x軸上的P(a,0)點以速度v，沿與x軸正方向成60°的方向射入第一象限內的勻強磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限，求： 圖10 (1)勻強磁場的磁感應強度B； (2)穿過第一象限的時間． 答案　(1)　(2) 解析　(1)作出帶電粒子做圓周運動的圓心和軌跡，由圖中幾何關系知： Rcos30°＝a，得：R＝ Bqv＝m得：B＝＝. (2)運動時間：t＝·＝. 14