《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

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《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì) 一、 設(shè)計(jì)理念 1. 課標(biāo)解讀： 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）中指出：（1）高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”等學(xué)習(xí)活動(dòng)，為學(xué)生形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。（2）高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程，提高學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷的能力（3）高中數(shù)學(xué)課程實(shí)施應(yīng)重新審視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和能力的內(nèi)涵，刪減繁瑣的計(jì)算、人為技巧化的難題和過(guò)分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容。（3）高中數(shù)學(xué)課程提倡實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與課程內(nèi)容的有機(jī)整合，整合的基本原則是有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)；提倡利用信息技術(shù)來(lái)呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的結(jié)合。（4）高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)建立合理、科學(xué)的評(píng)價(jià)體系；評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程；過(guò)程性評(píng)價(jià)應(yīng)關(guān)注對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想等過(guò)程的評(píng)價(jià)，關(guān)注對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的與人合作的態(tài)度、表達(dá)與交流的意識(shí)的評(píng)價(jià)。 基于課表理念的指導(dǎo)，本節(jié)課教學(xué)方法選擇以問(wèn)題探究、練習(xí)為主、以講授法輔。教學(xué)過(guò)程側(cè)重知識(shí)的自主建構(gòu)和應(yīng)用，重視信息技術(shù)在教學(xué)中的輔助作用。 2. 高考解讀： 解析幾何問(wèn)題著重考查解析幾何的基本思想，利用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題是解析幾何的基本特點(diǎn)和性質(zhì)。因此，在解題的過(guò)程中計(jì)算占了很大的比例，對(duì)運(yùn)算能力有較高的要求，但計(jì)算要根據(jù)題目中曲線的特點(diǎn)和相互之間的關(guān)系進(jìn)行，所以曲線的定義和性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)。解析幾何試題除考查概念與定義、基本元素與基本關(guān)系外，還突出考查函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等思想方法。 3. 教材解讀： 本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是《數(shù)學(xué)選修2-1》第二章《圓錐曲線與方程》3.1“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”，教學(xué)課時(shí)為1課時(shí)。圓錐曲線是一個(gè)重要的幾何模型，有許多幾何性質(zhì)，這些性質(zhì)在日常生活、生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)，圓錐曲線也是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要素材，而雙曲線是三種圓錐曲線中最復(fù)雜的一種，作為最后一種圓錐曲線來(lái)學(xué)習(xí)充分考慮到了知識(shí)學(xué)習(xí)由易到難的教學(xué)要求。雙曲線可以與橢圓類比學(xué)習(xí)，主要內(nèi)容是：①探求軌跡（雙曲線）；②學(xué)習(xí)雙曲線概念；③推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；④學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)方程的簡(jiǎn)單求法，在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)注意雙曲線與橢圓的區(qū)別與聯(lián)系。 二、 教學(xué)目標(biāo)： 1. 知識(shí)與技能： （1） 能理解并掌握雙曲線的定義，了解雙曲線的焦點(diǎn)、焦距； （2） 能掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能夠根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)的位置。 （3） 能根據(jù)已知條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 2. 過(guò)程與方法： （1） 經(jīng)歷雙曲線軌跡的探究，培養(yǎng)觀察能力和探索發(fā)現(xiàn)能力。 （2） 在雙曲線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)過(guò)程中培養(yǎng)類比推理能力、歸納能力，體會(huì)求軌跡方程過(guò)程中數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。 3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀： （1） 經(jīng)歷雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過(guò)程，感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和簡(jiǎn)單美。 （2） 通過(guò)主動(dòng)探索，感受探索的樂(lè)趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹(jǐn)。 （3） 經(jīng)歷雙曲線定義的獲得過(guò)程，養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的積極態(tài)度 三、 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)： 1. 教學(xué)重點(diǎn)： （1） 雙曲線的定義。 （2） 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 2. 教學(xué)難點(diǎn) （1） 由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置。 （2） 根據(jù)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 四、 學(xué)習(xí)者分析 1. 知識(shí)結(jié)構(gòu)：雙曲線是圓錐曲線中最后學(xué)習(xí)的曲線，再此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓曲線，對(duì)學(xué)習(xí)曲線方程已經(jīng)有了一定基礎(chǔ)和方法，運(yùn)用類比的學(xué)習(xí)方法得到雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程不太困難。 2. 認(rèn)知結(jié)構(gòu)：高二學(xué)生已具備一定的類比轉(zhuǎn)化及分析問(wèn)題的能力，但對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題的處理還不夠靈活，因此在課堂上要注意發(fā)揮學(xué)生的主體作用，體現(xiàn)教師的點(diǎn)撥引領(lǐng)效果。 3. 授課班級(jí)學(xué)生特點(diǎn)：本節(jié)課教學(xué)對(duì)象是南校區(qū)文科普通班學(xué)生，學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)較弱，根據(jù)班級(jí)的整體水平以及對(duì)新課標(biāo)的解讀，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程不在課堂完成，而是設(shè)計(jì)為A類學(xué)生的必做作業(yè)及其他學(xué)生的興趣作業(yè)。 五、 內(nèi)容分析： 本節(jié)內(nèi)容主要分為： 1. 復(fù)習(xí)引入： 復(fù)習(xí)橢圓的定義，提出問(wèn)題“將橢圓定義中‘之和’改為‘之差’，軌跡是什么？”。通過(guò)拉鏈動(dòng)畫(huà)演示探究雙曲線的軌跡，引入課題“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”。 2. 課程講解： （1） 雙曲線的定義：在這一環(huán)節(jié)采用啟發(fā)式教學(xué)法探究雙曲線的定義，學(xué)生要理解雙曲線定義中“差的絕對(duì)值”和“常數(shù)大于0小于兩定點(diǎn)距離”的條件。 （2） 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：在這一環(huán)節(jié)進(jìn)一步體會(huì)解析幾何中求曲線方程的一般方法，根據(jù)本班的具體情況，弱化方程的推導(dǎo)過(guò)程，直接給出方程，讓學(xué)生類比橢圓的方程進(jìn)行理解學(xué)習(xí)，特別注意橢圓和雙曲線焦點(diǎn)位置判斷和a、b、c關(guān)系的不同。 3. 知識(shí)應(yīng)用： 在這一環(huán)節(jié)通過(guò)例題向?qū)W生示范規(guī)范解題過(guò)程，通過(guò)練習(xí)檢測(cè)鞏固學(xué)生是否突破難點(diǎn)：即通過(guò)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置和根據(jù)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 4. 課堂小結(jié)： 在這一環(huán)節(jié)要求學(xué)生回顧本節(jié)課主要內(nèi)容，考查學(xué)生對(duì)課堂目標(biāo)的掌握情況，同時(shí)展示學(xué)習(xí)目標(biāo)，幫助每個(gè)學(xué)生反思是否完成學(xué)習(xí)目標(biāo)。 六、 教學(xué)方法和評(píng)價(jià) 本節(jié)課以探究性教學(xué)法和啟發(fā)式教學(xué)法為主、講授法為輔的教學(xué)方法，學(xué)生主要通過(guò)自主探究和小組協(xié)作的方法完成學(xué)習(xí)。 七、 教學(xué)資源： 1. 傳統(tǒng)的排式教室，投影儀和黑板。 2. 課本及配套課件。 八、 教學(xué)過(guò)程 教學(xué)環(huán)節(jié) 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 復(fù)習(xí)引入 【知識(shí)復(fù)習(xí)】 復(fù)習(xí)提問(wèn)“橢圓的定義是什么？” 舉手回答橢圓的定義 復(fù)習(xí)橢圓的定義并引入新課題 【新課引入】 1.設(shè)問(wèn)：“若將橢圓定義中的‘之和’改為‘之差’，結(jié)果如何？ 理解問(wèn)題，產(chǎn)生探究興趣 由和變差，快速引入新課 2.軌跡探究： （1）解釋拉鏈探究軌跡原理：拉鏈在拉開(kāi)和合攏過(guò)程中，兩邊長(zhǎng)度相等，現(xiàn)將拉鏈的一邊的端點(diǎn)固定，另一邊選擇一點(diǎn)固定。 引發(fā)學(xué)生思考：拉鏈咬合處到固定的兩點(diǎn)的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？拉鏈在拉開(kāi)和合攏過(guò)程中咬合處到兩個(gè)固定點(diǎn)的距離如何變化？ 說(shuō)明現(xiàn)在拉鏈的咬合處放一支筆，那么在拉鏈拉開(kāi)或合攏過(guò)程中筆尖留下的軌跡上的點(diǎn)滿足到定點(diǎn)距離之差為定值。 思考發(fā)現(xiàn)：到一個(gè)定點(diǎn)距離比另一個(gè)定點(diǎn)距離長(zhǎng)多余的那一部分；距離在變大或者變小，但距離之差不變。理解拉鏈畫(huà)雙曲線的原理。 設(shè)計(jì)的需要學(xué)生思考的兩個(gè)問(wèn)題是拉鏈畫(huà)雙曲線軌跡中兩個(gè)很關(guān)鍵的點(diǎn)， 通過(guò)這兩個(gè)思考問(wèn)題，理解借助拉鏈畫(huà)出來(lái)的軌跡上的點(diǎn)滿足到定點(diǎn)的距離之差是常數(shù)，從而能夠順利的理解后面的雙曲線的定義。 （2）動(dòng)畫(huà)演示雙曲線軌跡，說(shuō)明點(diǎn)的軌跡是左右兩支曲線，取名雙曲線 觀看軌跡的形成過(guò)程及結(jié)果 使用動(dòng)畫(huà)既能形象直觀的展示軌跡形成過(guò)程，幫助學(xué)生順利理解雙曲線上點(diǎn)的特點(diǎn)，同時(shí)節(jié)省了時(shí)間。 3.引入課題并板書(shū)“雙曲線及標(biāo)準(zhǔn)方程” 目標(biāo)展示 課件展示學(xué)習(xí)目標(biāo) 了解學(xué)習(xí)目標(biāo) 學(xué)生了解學(xué)習(xí)目標(biāo)，目標(biāo)做指引，學(xué)習(xí)更高效 新課講解 【雙曲線的定義探究】 1.提問(wèn)：你能否給雙曲線下個(gè)定義？ 雙曲線下定義 學(xué)生在下定義時(shí)會(huì)錯(cuò)誤的給出“距離之差是常數(shù)”，設(shè)計(jì)讓學(xué)生先試誤，對(duì)知識(shí)記憶深刻。 2.分析：右支是到定點(diǎn)F1、F2距離之差為2a的點(diǎn)的集合，左支是距離之差為-2a的點(diǎn)的集合，兩支則為距離之差的絕對(duì)值為2a定值的點(diǎn)的集合。 理解雙曲線定義中常數(shù)是“差的絕對(duì)值”。 通過(guò)對(duì)錯(cuò)誤的更正，學(xué)生對(duì)定義中“差的絕對(duì)值”理解更深刻。 3.雙曲線定義 （1）給出雙曲線的初步定義“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2距離之差的絕對(duì)值是常數(shù)的點(diǎn)的集合叫雙曲線”。 （2）提問(wèn)：類比橢圓定義，橢圓中要求常數(shù)大于F1F2之間距離，雙曲線定義中的常數(shù)有沒(méi)有條件限制？ （3）提問(wèn)：等于F1F2的軌跡是什么？ （4）思考：若常數(shù)為0，軌跡是什么？ （5）課件展示雙曲線的完整定義，同時(shí)給出焦點(diǎn)和焦距的定義。 思考并回答：常數(shù)要小于F1F2；并解釋原因：三角形中兩邊之差小于第三邊。 思考回答：兩條射線 思考回答線段F1F2的中垂線 理解掌握：雙曲線定義及焦點(diǎn)焦距概念 根據(jù)建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀，學(xué)生對(duì)知識(shí)理解后才能自主建構(gòu)為自己的知識(shí)。設(shè)計(jì)的這幾個(gè)思考問(wèn)題能幫助學(xué)生理解雙曲線定義中常數(shù)的條件。對(duì)于條件限制，由學(xué)生先猜想，再分析不滿足條件時(shí)點(diǎn)的軌跡，證明猜想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。 【雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程探究】 1. 回憶求曲線方程的一般步驟 2.雙曲線焦點(diǎn)在x軸的標(biāo)準(zhǔn)方程的探究 （1）建系：提問(wèn)：雙曲線如何建系？分析F1、F2點(diǎn)的坐標(biāo)（-c，0）（c，0） （2）設(shè)點(diǎn)：設(shè)M（x，y）為雙曲線上任意一點(diǎn) （3）列式：首先給出定義式 ，由定義帶入點(diǎn)坐標(biāo)列式。 （4） 化簡(jiǎn)：分析和橢圓列式的異同點(diǎn)，點(diǎn)撥化簡(jiǎn)思，給出化簡(jiǎn)結(jié)果。 3. 雙曲線方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的比較：提出問(wèn)題：比較雙曲線與橢圓A.標(biāo)準(zhǔn)方程有何異同點(diǎn)；B.a，b，c的關(guān)系有何異同點(diǎn)？ 4. 雙曲線焦點(diǎn)在y軸的標(biāo)準(zhǔn)方程：給出方程，要求Ａ類學(xué)生和其他感興趣的同學(xué)課下證明。 5. 焦點(diǎn)在x軸和在y軸的兩類雙曲線方程比較：課件給出雙曲線的兩類方程，板書(shū)同時(shí)提問(wèn)：如何通過(guò)雙曲線的方程判斷焦點(diǎn)的位置。 6. 鞏固練習(xí) 課件展示練習(xí)1：求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo) 回答：一般步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn) 回答：“以F1F2所在直線為x軸，以F1F2中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系”的建系過(guò)程。 和橢圓列式比較，發(fā)現(xiàn)異同點(diǎn)，回憶橢圓方程的化簡(jiǎn)思路，感興趣的同學(xué)課后推導(dǎo)。 回答標(biāo)準(zhǔn)方程的：相同點(diǎn)：形式一樣 不同點(diǎn)：兩式運(yùn)算一減一加，a2始終對(duì)應(yīng)系數(shù)為正的一式 a,b,c關(guān)系： 相同點(diǎn)：都有一數(shù)平方等于另兩數(shù)平方和關(guān)系 不同點(diǎn)：雙曲線中c2=a2+b2，c值最大，a、b大小關(guān)系不確定；橢圓中a2=b2+c2，a值最大，b、c大小關(guān)系不確定 通過(guò)雙曲線的建系說(shuō)明進(jìn)一步體會(huì)對(duì)稱建系的原則 根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀，采用先行組織者策略，將新知識(shí)與所學(xué)知識(shí)建立聯(lián)系，學(xué)生能夠更順利的學(xué)習(xí)新知識(shí)，同時(shí)建立清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)關(guān)系。 通過(guò)練習(xí)檢測(cè)是否突破難點(diǎn)：由雙曲線方程判斷焦點(diǎn)位置 習(xí)題練習(xí) 【例題講解】 例1．已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-2,0)、F2(2,0),雙曲線過(guò)點(diǎn)(3,)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。分析解題過(guò)程并板書(shū)示范規(guī)范解答過(guò)程。 思考并分析解題過(guò)程。觀看規(guī)范書(shū)寫(xiě)。 通過(guò)規(guī)范書(shū)寫(xiě)示范，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的規(guī)范解題習(xí)慣。 【習(xí)題練習(xí)】 1.練習(xí)2： 已知雙曲線的焦點(diǎn)為(0,-4),(0,4),雙曲線上任意一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 2.高考鏈接： 已知雙曲線與橢圓 的焦點(diǎn)相同，雙曲線任意一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 一學(xué)生上黑板完成，其他學(xué)生練習(xí)本上完成 練習(xí)高考題 1. 檢測(cè)學(xué)生是否掌握用定義求雙曲線方程的方法。 2. 通過(guò)練習(xí)加深學(xué)生對(duì)雙曲線定義的理解。 3. 黑板演示具有將問(wèn)題暴露或者良好示范性的效果。 將課堂練習(xí)提升到高考高度 課堂小結(jié) 1. 本節(jié)課你收獲了什么？ 2. 學(xué)習(xí)目標(biāo)照應(yīng) 學(xué)生回顧本節(jié)所學(xué)知識(shí) 學(xué)生對(duì)照學(xué)習(xí)目標(biāo)，反思達(dá)成程度 反思收獲能夠幫助學(xué)生梳理總結(jié)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容 對(duì)照學(xué)習(xí)目標(biāo)，反思完成度，以便查漏補(bǔ)缺。 作業(yè)布置 1. 個(gè)人作業(yè)：課本P43習(xí)題2-3 A組第1,2,3題。 2. 合作作業(yè)：從定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)及abc之間關(guān)系四個(gè)方面比較雙曲線與橢圓的區(qū)別和聯(lián)系 3. 興趣作業(yè)（A類必做）：推導(dǎo)雙曲線的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)生課下完成作業(yè) 1. 通過(guò)個(gè)人作業(yè)鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容。 2.合作作業(yè)能夠幫助學(xué)生深刻理解橢圓和雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系。 3.興趣作業(yè)能夠提高學(xué)生的運(yùn)算能力。 承上啟下 播放《雙曲線》歌曲，指出雙曲線不僅美，而且有內(nèi)涵，下節(jié)課通過(guò)雙曲線的性質(zhì)來(lái)解讀。 欣賞歌曲 為下節(jié)課做鋪墊，讓學(xué)生對(duì)下節(jié)課雙曲線的性質(zhì)抱有興趣和期待。 九、 板書(shū)設(shè)計(jì)