高二數(shù)學(xué)：第一章7《線性回歸方程》學(xué)案北師大

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1、線性回歸方程 【目標(biāo)引領(lǐng)】 1． 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 了解非確定性關(guān)系中兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)方法；掌握散點(diǎn)圖的畫(huà)法及在統(tǒng)計(jì)中的作用，掌握 回歸直線方程的求解方法。 2． 學(xué)法指導(dǎo)： ①求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)標(biāo)意義．否則，求出的回歸直線方程毫無(wú)意義．因此，對(duì)一組數(shù)據(jù)作線性回歸分析時(shí)，應(yīng)先看其散點(diǎn)圖是否成線性． ②求回歸直線方程，關(guān)鍵在于正確地求出系數(shù)a、b，由于求a、b的計(jì)算量較大，計(jì)算時(shí)仔細(xì)謹(jǐn)慎、分層進(jìn)行，避免因計(jì)算產(chǎn)生失誤． ③回歸直線方程在現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用．應(yīng)用回歸直線方程可以把非確定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定性問(wèn)題，把“無(wú)序”

2、變?yōu)椤坝行颉?，并?duì)情況進(jìn)行估測(cè)、補(bǔ)充．因此，學(xué)過(guò)回歸直線方程以后，應(yīng)增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用回歸直線方程解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)． 【教師在線】 1． 解析視屏： 1．相關(guān)關(guān)系的概念 在實(shí)際問(wèn)題中，變量之間的常見(jiàn)關(guān)系有兩類(lèi)： 一類(lèi)是確定性函數(shù)關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示。例如正方形的面積S與其邊長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系（確定關(guān)系）； 一類(lèi)是相關(guān)關(guān)系，變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來(lái)表達(dá)。例如一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系（非確定關(guān)系） 相關(guān)關(guān)系：自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。 相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)： 相同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)系

3、。 不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系。 2．求回歸直線方程的思想方法 觀察散點(diǎn)圖的特征，發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，思考：類(lèi)似圖中的直線可畫(huà)幾條？ 引導(dǎo)學(xué)生分析，最能代表變量x與y之間關(guān)系的直線的特征：即n個(gè)偏差的平方和最小，其過(guò)程簡(jiǎn)要分析如下： 設(shè)所求的直線方程為，其中a、b是待定系數(shù)。 則，于是得到各個(gè)偏差。 顯見(jiàn)，偏差的符號(hào)有正負(fù)，若將它們相加會(huì)造成相互抵消，所以它們的和不能代表幾個(gè)點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近程度，故采用n個(gè)偏差的平

4、方和 表示n個(gè)點(diǎn)與相應(yīng)直線在整體上的接近程度。 記。 上述式子展開(kāi)后，是一個(gè)關(guān)于a，b的二次多項(xiàng)式，應(yīng)用配方法，可求出使Q為最小值時(shí)的a，b的值，即 其中 以上方法稱(chēng)為最小二乘法。 2． 經(jīng)典回放： 例1：下列各組變量哪個(gè)是函數(shù)關(guān)系，哪個(gè)是相關(guān)關(guān)系？ （1）電壓U與電流I （2）圓面積S與半徑R （3）自由落體運(yùn)動(dòng)中位移s與時(shí)間t （4）糧食產(chǎn)量與施肥量 （5）人的身高與體重 （6）廣告費(fèi)支出與商品銷(xiāo)售額 分析：函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)

5、變量的關(guān)系。 解：前三小題中一個(gè)變量的變化可以確定另一個(gè)變量的變化，兩者之間是函數(shù)關(guān)系。 對(duì)于糧食與施肥量，兩者確實(shí)有非常密切的關(guān)系，實(shí)踐證明，在一定的范圍內(nèi)，施肥量越多，糧食產(chǎn)量就越高，但是，施肥量并不能完全確定糧食產(chǎn)量，因?yàn)榧Z食產(chǎn)量還與其他因素的影響有關(guān)，如降雨量、田間管理水平等。因此，糧食與施肥量之間不存在確定的函數(shù)關(guān)系。 人的身高與人的體重也密切相關(guān)，一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)人的身高越高，體重也越重，但同樣身高的人，其體重不一定相同，身高和體重這兩個(gè)變量之間并不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系。 廣告費(fèi)支出與商品銷(xiāo)售額有密切的關(guān)系，但廣告費(fèi)的支出不能完全決定商品的銷(xiāo)售額。由此可見(jiàn)，后三小題各對(duì)變量之間

6、的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系。 點(diǎn)評(píng)：不要認(rèn)為兩個(gè)變量間除了函數(shù)關(guān)系，就是相關(guān)關(guān)系，事實(shí)是上，兩個(gè)變量間可能毫無(wú)關(guān)系。比如地球運(yùn)行的速度與某個(gè)人的行走速度就可認(rèn)為沒(méi)有關(guān)系。 例2：已知10只狗的血球體積及紅血球的測(cè)量值如下： ｘ 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50 y 6.53 6.30 9.25 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 7.72 ｘ（血球體積，ｍｍ），ｙ（血紅球數(shù)，百萬(wàn)） (1)畫(huà)出上表的散點(diǎn)圖;(2)求出回歸直線并且畫(huà)出圖形。 解：（１）見(jiàn)下圖 （２） 設(shè)回歸直線為， 則，

7、 所以所求回歸直線的方程為，圖形如下: 點(diǎn)評(píng)：對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，應(yīng)先畫(huà)出其散點(diǎn)圖，看其是否呈直線形，再依系數(shù)a、b的計(jì)算公式，算出a、b．由于計(jì)算量較大，所以在計(jì)算時(shí)應(yīng)借助技術(shù)手段，認(rèn)真細(xì)致，謹(jǐn)防計(jì)算中產(chǎn)生錯(cuò)誤．求線性回歸方程的步驟：計(jì)算平均數(shù)；計(jì)算的積，求；計(jì)算；將結(jié)果代入公式求ａ；用 求ｂ；寫(xiě)出回歸方程。 【同步訓(xùn)練】 1 . 下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系哪個(gè)不是函數(shù)關(guān)系（　　?。? A．角度和它的余弦值 B.正方形邊長(zhǎng)和面積 C．正ｎ邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和 D.人的年齡和身高 2．某市紡織工人的月工資（元）依勞動(dòng)生產(chǎn)率（千元）變化的回歸方程為y=50+80x，則

8、下列說(shuō)法中正確的是 （ ） A．勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，月工資為130元 B．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，月工資提高約為130元 C．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，月工資提高約為80元 D．月工資為210元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2000元 3．設(shè)有一個(gè)回歸方程為y=2-1.5x，則變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，y平均 （ ） A．增加1.5單位 B．增加2單位 C．減少1.5單位 D．減少2單位 4．正常情況下，年齡在18歲到38歲的人們，體重y（kg）依身高x（c

9、m）的回歸方程為y=0.72x-58.5。張紅紅同學(xué)不胖不瘦，身高1米78，他的體重應(yīng)在 kg左右。 5.給出施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù)： 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455 (1)畫(huà)出上表的散點(diǎn)圖;(2)求出回歸直線并且畫(huà)出圖形 【拓展嘗新】 6．在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕線試驗(yàn)，得到腐蝕深度y與腐蝕時(shí)間x之間對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)： 時(shí)間t(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度y(μm)

10、6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)畫(huà)出散點(diǎn)圖； (2)試求腐蝕深度y對(duì)時(shí)間t的回歸直線方程。 【解答】 1． D 2．C 3．C 4．69.66 5．解：(1)散點(diǎn)圖（略）． (2)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計(jì)算，列成以下表格 i 1 2 3 4 5 6 7 xi 15 20 25 30 35 40 45 yi 330 345 365 405 445 450 455 xiyi 4950 6900 9125 12150 15575 18000 20475 , 故可得到。 6．解：(1)散點(diǎn)圖略，呈直線形. (2)經(jīng)計(jì)算可得： 故所求的回歸直線方程為。