7、用
題點(diǎn) 有限制條件的組合問題
答案 C
解析 若從正面考慮，需分當(dāng)a3＝9時(shí)，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6類；當(dāng)a3＝8時(shí)，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6類；…分類較多，而其對(duì)立面a3－a2>6包含的情況較少，當(dāng)a3＝9時(shí)，a2取2，a1取1，只有這一種情況，利用正難則反思想解決．
集合S的含有三個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為C＝84.在這些含有三個(gè)元素的子集中能滿足a16的集合只有{1,2,9}，故滿足題意的集合A的個(gè)數(shù)為84－1＝83.
反思與感悟 對(duì)于正面處理較復(fù)雜或不易求解的問題，常常從問題的對(duì)立面去思考．
跟蹤訓(xùn)練2 由甲、乙、丙、丁4
8、名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、寫作、英語(yǔ)三科競(jìng)賽，每科至少1人(且每人僅報(bào)一科)，若學(xué)生甲、乙不能同時(shí)參加同一競(jìng)賽，則不同的參賽方案共有________種．
考點(diǎn) 排列組合綜合問題
題點(diǎn) 排列與組合的綜合應(yīng)用
答案 30
解析 從4人中選出兩個(gè)人作為一個(gè)元素有C種方法，
同其他兩個(gè)元素在三個(gè)位置上排列有CA＝36(種)方案，其中有不符合條件的，
即學(xué)生甲、乙同時(shí)參加同一競(jìng)賽有A種方法，
∴不同的參賽方案共有36－6＝30(種)．
類型二 排列與組合的綜合應(yīng)用
例3 在高三一班元旦晚會(huì)上，有6個(gè)演唱節(jié)目，4個(gè)舞蹈節(jié)目．
(1)當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？
(2
9、)當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？
(3)若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩(shī)朗誦和快板2個(gè)節(jié)目，但不能改變?cè)瓉砉?jié)目的相對(duì)順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？
考點(diǎn) 排列組合綜合問題
題點(diǎn) 分組分配問題
解 (1)第一步先將4個(gè)舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成1個(gè)節(jié)目，與6個(gè)演唱節(jié)目一起排，有A＝5 040(種)方法；第二步再松綁，給4個(gè)節(jié)目排序，有A＝24(種)方法．
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有5 040×24＝120 960(種)安排順序．
(2)第一步將6個(gè)演唱節(jié)目排成一列(如圖中的“□”)，一共有A＝720(種)方法．
×□×□×□×□
10、×□×□×
第二步再將4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個(gè)節(jié)目中間(即圖中“×”的位置)這樣相當(dāng)于7個(gè)“×”選4個(gè)來排，一共有A＝840(種)方法．
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有720×840＝ 604 800(種)安排順序．
(3)若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有A種排法，但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除，所以節(jié)目演出的方式有＝A＝132(種)排列．
反思與感悟 排列與組合的綜合問題，首先要分清何時(shí)為排列，何時(shí)為組合．對(duì)含有特殊元素的排列、組合問題，一般先進(jìn)行組合，再進(jìn)行排列．對(duì)特殊元素的位置有要求時(shí)，在組合選取時(shí)，就要進(jìn)行分類討論，分類的原則是不重、不漏．在用間接法計(jì)數(shù)時(shí)，要注意考
11、慮全面，排除干凈．
跟蹤訓(xùn)練3 在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位數(shù)字，稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”，比如：“102”“546”為駝峰數(shù)，由數(shù)字1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”的十位上的數(shù)字之和為________．
考點(diǎn) 排列的應(yīng)用
題點(diǎn) 數(shù)字的排列問題
答案 30
解析 三位“駝峰數(shù)”中1在十位的有A個(gè)，2在十位上的有A個(gè)，3在十位上的有A個(gè)，所以所有的三位“駝峰數(shù)”的十位上的數(shù)字之和為12×1＋6×2＋2×3＝30.
類型三 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用
例4 已知在n的展開式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是56∶3.
(1)求展開式中的所有有理項(xiàng)；
(
12、2)求展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；
(3)求n＋9C＋81C＋…＋9n－1C的值．
考點(diǎn) 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
題點(diǎn) 二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用
解 (1)由C(－2)4∶C(－2)2＝56∶3，解得n＝10(負(fù)值舍去)，
通項(xiàng)為Tk＋1＝C()10－kk＝(－2)kC，
當(dāng)5－為整數(shù)時(shí)，k可取0,6，
于是有理項(xiàng)為T1＝x5和T7＝13 440.
(2)設(shè)第k＋1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，則
解得
又因?yàn)閗∈{1,2,3，…，9}，
所以k＝7，當(dāng)k＝7時(shí)，T8＝－15 360，
又因?yàn)楫?dāng)k＝0時(shí)，T1＝x5，
當(dāng)k＝10時(shí)，T11＝(－2)10＝1 024，
所以系數(shù)的絕對(duì)值最
13、大的項(xiàng)為T8＝－15 360.
(3)原式＝10＋9C＋81C＋…＋910－1C
＝
＝
＝＝.
反思與感悟 (1)確定二項(xiàng)式中的有關(guān)元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項(xiàng)式中的有關(guān)元素．
(2)確定二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)：先寫出其通項(xiàng)公式，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項(xiàng)數(shù)，然后代入通項(xiàng)公式，即可確定常數(shù)項(xiàng)．
(3)求二項(xiàng)展開式中條件項(xiàng)的系數(shù)：先寫出其通項(xiàng)公式，再由條件確定項(xiàng)數(shù)，然后代入通項(xiàng)公式求出此項(xiàng)的系數(shù)．
(4)求二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和差：賦值代入．
(5)確定二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大或最小項(xiàng)：利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．
跟蹤訓(xùn)練4 已知二項(xiàng)式n展開式中
14、各項(xiàng)系數(shù)之和是各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和的16倍．
(1)求n；
(2)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
(3)求展開式中所有有理項(xiàng)．
考點(diǎn) 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
題點(diǎn) 二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用
解 (1)令x＝1得二項(xiàng)式n展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(5－1)n＝4n，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n，
由題意得，4n＝16·2n，所以2n＝16，n＝4.
(2)通項(xiàng)Tk＋1＝C(5x)4－kk
＝(－1)kC54－k·，
展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)：
T3＝(－1)2C52x＝150x.
(3)由(2)得4－k∈Z(k＝0,1,2,3,4)，即k＝0,2,4，
所以展開式中所有有理項(xiàng)為
15、
T1＝(－1)0C54x4＝625x4，
T3＝(－1)2C52x＝150x，
T5＝(－1)4C50x－2＝x－2.
例5 若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a2；
(2)求a1＋a2＋…＋a10；
(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.
考點(diǎn) 展開式中系數(shù)的和問題
題點(diǎn) 多項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題
解 (1)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，
a2是展開式中x2的系數(shù)，
∴a2＝C(－1)5C(－2)3＋C(－1)4C(－2)4＋C(－1)3·C(－2)5＝800.
16、(2)令x＝1，代入已知式可得，
a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
而令x＝0，得a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.
(3)令x＝－1可得，
(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，
再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，
把這兩個(gè)等式相乘可得，
(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0.
反思與感悟 與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)、各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和，主要方法是賦
17、值法，通過觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和所求式子的關(guān)系，確定給字母所賦的值，有時(shí)賦值后得到的式子比所求式子多一項(xiàng)或少一項(xiàng)，此時(shí)要專門求出這一項(xiàng)，而在求奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和時(shí)，往往要兩次賦值，再由方程組求出結(jié)果．
跟蹤訓(xùn)練5 若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，則a1＋a2＋a3＋…＋a11的值為________．
考點(diǎn) 展開式中系數(shù)的和問題
題點(diǎn) 多項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題
答案 5
解析 令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，
令x＝3，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32
18、＋1)(3－3)9＝0，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.
1．設(shè)4名學(xué)生報(bào)名參加同一時(shí)間安排的3項(xiàng)課外活動(dòng)方案有a種，這4名學(xué)生在運(yùn)動(dòng)會(huì)上共同爭(zhēng)奪100米、跳遠(yuǎn)、鉛球3項(xiàng)比賽的冠軍的可能結(jié)果有b種，則(a，b)為( )
A．(34，34) B．(43，34)
C．(34，43) D．(A，A)
考點(diǎn) 分步乘法計(jì)數(shù)原理
題點(diǎn) 分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
答案 C
解析 由題意知本題是一個(gè)分步乘法問題，首先每名學(xué)生報(bào)名有3種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知4名學(xué)生共有34種選擇，每項(xiàng)冠軍有4種可能結(jié)果，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知3項(xiàng)冠軍共有43種可能結(jié)果．故選C.
19、
2．5名大人帶兩個(gè)小孩排隊(duì)上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數(shù)有( )
A．A·A種 B．A·A種
C．A·A種 D．A－4A種
考點(diǎn) 排列的應(yīng)用
題點(diǎn) 元素“在”與“不在”問題
答案 A
解析 先排大人，有A種排法，去掉頭尾后，有4個(gè)空位，再分析小孩，用插空法，將2個(gè)小孩插在4個(gè)空位中，有A種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，有A·A種不同的排法，故選A.
3．我省高中學(xué)校自實(shí)施素質(zhì)教育以來，學(xué)生社團(tuán)得到迅猛發(fā)展．某校高一新生中的五名同學(xué)打算參加“春暉文學(xué)社”、“舞者輪滑俱樂部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個(gè)社團(tuán)．若每個(gè)社團(tuán)至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至
20、少參加一個(gè)社團(tuán)且只能參加一個(gè)社團(tuán)，且同學(xué)甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數(shù)為( )
A．72 B．108 C．180 D．216
考點(diǎn) 排列組合綜合問題
題點(diǎn) 排列與組合的綜合應(yīng)用
答案 C
解析 根據(jù)題意，分析可得，必有2人參加同一社團(tuán)，首先分析甲，甲不參加“圍棋苑”，則其有3種情況，再分析其他4人，若甲與另外1人參加同一個(gè)社團(tuán)，則有A＝24(種)情況，若甲是1個(gè)人參加一個(gè)社團(tuán)，則有C·A＝36(種)情況，則除甲外的4人有24＋36＝60(種)情況，故不同的參加方法的種數(shù)為3×60＝180(種)，故選C.
4．(x－2y)6的展開式中，x4y2的系數(shù)為( )
21、A．15 B．－15 C．60 D．－60
考點(diǎn) 二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題
題點(diǎn) 求二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的系數(shù)
答案 C
解析 (x－2y)6展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C·x6－k·(－2y)k，令k＝2，得T3＝C·x4·(－2y)2＝60x4y2，所以x4y2的系數(shù)為60，故選C.
5．若n的展開式的系數(shù)和為1，二項(xiàng)式系數(shù)和為128，則展開式中x2的系數(shù)為________．
考點(diǎn) 展開式中系數(shù)的和問題
題點(diǎn) 二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題
答案?。?48
解析 由題意得
所以n＝7，a＝－1，
所以7展開式的通項(xiàng)為Tk＋1
＝C(2)7－kk＝C27－k(－1)k，
令
22、＝2，得k＝1.
所以x2的系數(shù)為C26(－1)1＝－448.
1．排列與組合
(1)排列與組合的區(qū)別在于排列是有序的，而組合是無序的．
(2)排列問題通常分為無限制條件和有限制條件，對(duì)于有限制條件的排列問題，通常從以下兩種途徑考慮：
①元素分析法：先考慮特殊元素的要求，再考慮其他元素．
②位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置．
(3)排列與組合綜合應(yīng)用是本章內(nèi)容的重點(diǎn)與難點(diǎn)，一般方法是先分組，后分配．
2．二項(xiàng)式定理
(1)與二項(xiàng)式定理有關(guān)，包括定理的正向應(yīng)用、逆向應(yīng)用，題型如證明整除性、近似計(jì)算、證明一些簡(jiǎn)單的組合恒等式等，此時(shí)主要是要構(gòu)造二項(xiàng)式，合理應(yīng)用
23、展開式．
(2)與通項(xiàng)公式有關(guān)，主要是求特定項(xiàng)，比如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、x的某次冪等，此時(shí)要特別注意二項(xiàng)展開式中第k＋1項(xiàng)的通項(xiàng)公式是Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1，…，n)，其中二項(xiàng)式系數(shù)是C，而不是C，這是一個(gè)極易錯(cuò)點(diǎn)．
(3)與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)、各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和等主要方法是賦值法．
一、選擇題
1．5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有( )
A．10種 B．20種
C．25種 D．32種
考點(diǎn) 分步乘法計(jì)數(shù)原
24、理
題點(diǎn) 分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
答案 D
解析 5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有25＝32(種)，故選D.
2．某城市的街道如圖，某人要從A地前往B地，則路程最短的走法有( )
A．8種 B．10種
C．12種 D．32種
考點(diǎn) 組合的應(yīng)用
題點(diǎn) 有限制條件的組合問題
答案 B
解析 根據(jù)題意，要求從A地到B地路程最短，必須只向下或向右行走即可．分別可得，需要向下走2次，向右走3次，共5次，從5次中選3次向右，剩下2次向下即可，則有C＝10(種)不同走法．
3．4名男歌手和2名女歌手聯(lián)合舉行一場(chǎng)音樂會(huì)，出場(chǎng)
25、順序要求兩名女歌手之間恰有一名男歌手，則出場(chǎng)方案的種數(shù)是( )
A．6A B．3A
C．2A D．AAA
考點(diǎn) 排列的應(yīng)用
題點(diǎn) 元素“相鄰”與“不相鄰”問題
答案 D
解析 先從4名男歌手中選一名放在兩名女歌手之間，并把他們捆綁在一起，看做一個(gè)元素和另外的3名男歌手進(jìn)行全排列，故有AAA種不同的出場(chǎng)方案．
4．在6的展開式中，含x7的項(xiàng)的系數(shù)是( )
A．180 B．160
C．240 D．60
考點(diǎn) 二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題
題點(diǎn) 求二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)的系數(shù)
答案 C
解析 6的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1
＝C(2x2)6－kk＝(－1)k26－k
26、C，
令12－k＝7，得k＝2，即含x7項(xiàng)的系數(shù)為(－1)224C＝240.
5．已知8的展開式中常數(shù)項(xiàng)為1 120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是( )
A．28 B．38
C．1或38 D．1或28
考點(diǎn) 展開式中系數(shù)的和問題
題點(diǎn) 二項(xiàng)展開式中系數(shù)的和問題
答案 C
解析 由題意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2.令x＝1，得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1或38.
6．(1－x)13的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)為( )
A．第6項(xiàng) B．第8項(xiàng)
C．第9項(xiàng) D．第7項(xiàng)
考點(diǎn) 展開式中系數(shù)最大(小)的項(xiàng)問題
題點(diǎn) 求展開式中系數(shù)最大(小)
27、的項(xiàng)
答案 B
解析 依據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的關(guān)系來解決．展開式中共有14項(xiàng)，中間兩項(xiàng)(第7,8項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大．由于二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)滿足奇數(shù)項(xiàng)相等，偶數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)，所以系數(shù)最小的項(xiàng)為第8項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)．故選B.
7．航天員在進(jìn)行一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)時(shí)，先后要實(shí)施6個(gè)程序，其中程序B和C都與程序D不相鄰，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有( )
A．216種 B．180種
C．288種 D．144種
考點(diǎn) 排列的應(yīng)用
題點(diǎn) 元素“相鄰”與“不相鄰”問題
答案 C
解析 當(dāng)B，C相鄰，且與D不相鄰時(shí)，有AAA＝144(種)方法；當(dāng)B，C不相鄰，且都與D
28、不相鄰時(shí)，有AA＝144(種)方法．故共有288種編排方法．
8．某校高二年級(jí)共有6個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的2個(gè)班級(jí)中且每班安排2名，則不同的安排方法種數(shù)為( )
A．AC B.AC
C．AA D．2A
考點(diǎn) 排列組合綜合問題
題點(diǎn) 排列與組合的綜合應(yīng)用
答案 B
解析 將4人平均分成兩組有C種方法，將這兩組分配到6個(gè)班級(jí)中的2個(gè)班有A種方法．所以不同的安排方法有CA種．
二、填空題
9．設(shè)二項(xiàng)式6的展開式中x2的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B，若B＝4A，則a＝________.
考點(diǎn) 二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題
題點(diǎn) 由特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)
29、
答案 －3
解析 因?yàn)槎?xiàng)式6的展開式中x2的系數(shù)為A＝Ca2＝15a2；
常數(shù)項(xiàng)為B＝－Ca3＝－20a3.
因?yàn)锽＝4A，所以－20a3＝4×15a2，所以a＝－3.
10．某運(yùn)動(dòng)隊(duì)有5對(duì)老搭檔運(yùn)動(dòng)員，現(xiàn)抽派4名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，則這4人都不是老搭檔的抽派方法數(shù)為________．
考點(diǎn) 組合的應(yīng)用
題點(diǎn) 有限制條件的組合問題
答案 80
解析 先抽派4對(duì)老搭檔運(yùn)動(dòng)員，再?gòu)拿繉?duì)老搭檔運(yùn)動(dòng)員中各抽派1人，故有CCCCC＝80(種)抽派方法．
11．高三(三)班學(xué)生要安排畢業(yè)晚會(huì)的3個(gè)音樂節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求2個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，3個(gè)音樂節(jié)目恰有2個(gè)
30、節(jié)目連排，則不同排法的種數(shù)是________．
考點(diǎn) 排列的應(yīng)用
題點(diǎn) 元素“相鄰”與“不相鄰”問題
答案 288
解析 先從3個(gè)音樂節(jié)目中選取2個(gè)排好后作為1個(gè)節(jié)目，有A種排法，這樣共有5個(gè)節(jié)目，其中2個(gè)音樂節(jié)目不連排，2個(gè)舞蹈節(jié)目不連排．如圖，若曲藝節(jié)目排在5號(hào)(或1號(hào))位置，則有4AA＝16(種)排法；若曲藝節(jié)目排在2號(hào)(或4號(hào))位置，則有4AA＝16(種)排法；若曲藝節(jié)目排在3號(hào)位置，則有2×2AA＝16(種)排法．故共有不同排法A×(16×3)＝288(種).
1
2
3
4
5
三、解答題
12．現(xiàn)有5名教師要帶3個(gè)不同的興趣小組外出學(xué)習(xí)考察，要求每個(gè)興趣
31、小組的帶隊(duì)教師至多2人，但其中甲教師和乙教師均不能單獨(dú)帶隊(duì)，求不同的帶隊(duì)方案有多少種？
考點(diǎn) 排列組合綜合問題
題點(diǎn) 排列與組合的綜合應(yīng)用
解 第一類，把甲、乙看做一個(gè)復(fù)合元素，和另外的3人分配到3個(gè)小組中，有CA＝18(種)，
第二類，先把另外的3人分配到3個(gè)小組，再把甲、乙分配到其中2個(gè)小組，有AA＝36(種)，
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有18＋36＝54(種)．
13．已知n(n∈N*)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，求n的展開式中含a－1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．
考點(diǎn) 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
題點(diǎn) 二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用
解 5的展開式的通項(xiàng)為
Tk＋1＝C(4
32、)5－kk
＝C·(－1)k·45－k··，
令10－5k＝0，得k＝2，
此時(shí)得常數(shù)項(xiàng)為T3＝C·(－1)2·43·5－1＝27.
令a＝1，得n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2n，
由題意知2n＝27，所以n＝7，
所以7的展開式的通項(xiàng)為
Tk＋1＝C7－k·(－)k
＝C·(－1)k·37－k·.
令＝－1，得k＝3，
所以n的展開式中含a－1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C＝35.
四、探究與拓展
14.n展開式中的第7項(xiàng)與倒數(shù)第7項(xiàng)的系數(shù)比是1∶6，則展開式中的第7項(xiàng)為______．
考點(diǎn) 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
題點(diǎn) 二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用
答案
解析 第7項(xiàng)為T7＝C()n
33、－66，
倒數(shù)第7項(xiàng)為Tn－5＝C()6n－6，
由＝，得n＝9，
故T7＝C()9－66＝C·2·＝.
15．用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．
(1)可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？
(2)可組成多少個(gè)四位偶數(shù)？
(3)將(1)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第85項(xiàng)是什么？
考點(diǎn) 排列的應(yīng)用
題點(diǎn) 數(shù)字的排列問題
解 (1)用間接法，從6個(gè)數(shù)中，任取4個(gè)組成4位數(shù)，有A種情況，
但其中包含0在首位的有A種情況，
依題意可得，有A－A＝300(個(gè))．
(2)根據(jù)題意，分0在末尾與不在末尾兩種情況討論，
0在末尾時(shí)，有A種情況，
0不在末尾時(shí)，有AAA種情況，
由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有A＋AAA＝156(個(gè))．
(3)千位是1的四位數(shù)有A＝60(個(gè))，
千位是2，百位是0或1的四位數(shù)有2A＝24(個(gè))，
∴第85項(xiàng)是2 301.
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2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修2-3
