2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 統(tǒng)計案例章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修1-2

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1、第1章 統(tǒng)計案例 回歸分析問題 建立回歸模型的步驟： (1)確定研究對象，明確變量x，y. (2)畫出變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性相關(guān)關(guān)系等)． (3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系，則選用回歸直線方程＝bx＋a)． (4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法)． (5)得出回歸方程． 另外，回歸直線方程只適用于我們所研究的樣本的總體，而且一般都有時間性．樣本的取值范圍一般不能超過回歸直線方程的適用范圍，否則沒有實用價值． 【例1】　假設(shè)一個人從出生到死亡，在每個生日那天都測量身高，并作出這些數(shù)據(jù)散點圖

2、，則這些點將不會落在一條直線上，但在一段時間內(nèi)的增長數(shù)據(jù)有時可以用線性回歸來分析．下表是一位母親給兒子作的成長記錄： 年齡/周歲 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 90.8 97.6 104.2 110.9 115.7 122.0 128.5 年齡/周歲 10 11 12 13 14 15 16 身高/cm 134.2 140.8 147.6 154.2 160.9 167.6 173.0 (1)作出這些數(shù)據(jù)的散點圖； (2)求出這些數(shù)據(jù)的線性回歸方程； (3)對于這個例子，你如何解釋回歸系數(shù)的含義？ (4)解釋

3、一下回歸系數(shù)與每年平均增長的身高之間的聯(lián)系． [思路探究]　(1)作出散點圖，確定兩個變量是否線性相關(guān)； (2)求出，，寫出線性回歸方程； (3)回歸系數(shù)即的值，是一個單位變化量； (4)根據(jù)線性回歸方程可找出其規(guī)律． [解]　(1)數(shù)據(jù)的散點圖如下： (2)用y表示身高，x表示年齡， 因為＝×(3＋4＋5＋…＋16)＝9.5， ＝×(90.8＋97.6＋…＋173.0)≈132， ＝≈≈6.316， ＝－b＝71.998， 所以數(shù)據(jù)的線性回歸方程為y＝6.316x＋71.998. (3)在該例中，回歸系數(shù)6.316表示該人在一年中增加的高度． (4)回歸系數(shù)與每

4、年平均增長的身高之間近似相等． 1．假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系，今測得5組數(shù)據(jù)如下： x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 (1)以x為解釋變量，y為預(yù)報變量，作出散點圖； (2)求y與x之間的回歸方程，對于基本苗數(shù)56.7預(yù)報有效穗． [解]　(1)散點圖如下． (2)由圖看出，樣本點呈條狀分布，有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系． 設(shè)回歸方程為＝bx＋a，＝30.36，＝43.5， ＝5 101.56，＝9 511.43.

5、 ＝1 320.66，2＝1 892.25，2＝921.729 6， iyi＝6 746.76. 由＝≈0.29， ＝－＝43.5－0.29×30.36≈34.70. 故所求的線性回歸方程為＝34.70＋0.29x. 當x＝56.7時，＝34.70＋0.29×56.7＝51.143. 估計成熟期有效穗約為51.143. 獨立性檢驗 獨立性檢驗的基本思想類似于反證法，要確認兩個分類變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下，我們構(gòu)造的隨機變量χ2應(yīng)該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2的觀測值很大，則在一定程度上說

6、明假設(shè)不合理，根據(jù)隨機變量χ2的含義，可以通過P(χ2>6.635)≈0.01來評價假設(shè)不合理的程度，由實際計算出χ2>6.635說明假設(shè)不合理的程度約為99%，即兩個分類變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度為99%. 獨立性檢驗的一般步驟： (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表． (2)根據(jù)公式χ2＝計算χ2的值． (3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系并作統(tǒng)計推斷． 【例2】　在某校高三年級一次全年級的大型考試中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中，物理、化學(xué)、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分也優(yōu)秀哪個關(guān)系較大？ 物理 化學(xué) 總分 數(shù)學(xué)優(yōu)秀 228 22

7、5 267 數(shù)學(xué)非優(yōu)秀 143 156 99 注：該年級此次考試中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人． [思路探究]　分別列出數(shù)學(xué)與物理，數(shù)學(xué)與化學(xué)，數(shù)學(xué)與總分優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表，求k的值．由觀測值分析，得出結(jié)論． [解]　(1)列出數(shù)學(xué)與物理優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下： 物理優(yōu)秀 物理非優(yōu)秀 合計 數(shù)學(xué)優(yōu)秀 228 132 360 數(shù)學(xué)非優(yōu)秀 143 737 880 合計 371 869 1 240 n11＝228，n12＝132，n21＝143，n22＝737， n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝371，n＋2＝869，n＝

8、1 240. 代入公式χ2＝ 得χ21＝≈270.114 3. (2)列出數(shù)學(xué)與化學(xué)優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下： 化學(xué)優(yōu)秀 化學(xué)非優(yōu)秀 合計 數(shù)學(xué)優(yōu)秀 225 135 360 數(shù)學(xué)非優(yōu)秀 156 724 880 合計 381 859 1 240 n11＝225，n12＝135，n21＝156，n22＝724， n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝381，n＋2＝859，n＝1 240. 代入公式，得χ22＝≈240.611 2. (3)列出數(shù)學(xué)與總分優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下： 總分優(yōu)秀 總分非優(yōu)秀 合計 數(shù)學(xué)優(yōu)秀 267 93 3

9、60 數(shù)學(xué)非優(yōu)秀 99 781 880 合計 366 874 1 240 n11＝267，n12＝93，n21＝99，n22＝781， n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝366，n＋2＝874，n＝1 240. 代入公式，得χ23＝≈486.122 5. 由上面計算可知數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分優(yōu)秀都有關(guān)系，由計算分別得到χ2的統(tǒng)計量都大于臨界值6.635，由此說明有99%的把握認為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分優(yōu)秀都有關(guān)系，但與總分優(yōu)秀關(guān)系最大，與物理次之． 2．某推銷商為某保健藥品做廣告，在廣告中宣傳：“在服用該藥品的105人中有100人未患A疾病”．經(jīng)

10、調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在不服用該藥品的418人中僅有18人患A疾病．請用所學(xué)知識分析該藥品對預(yù)防A疾病是否有效． [解]　將問題中的數(shù)據(jù)寫成如下2×2列聯(lián)表： 患A疾病 不患A疾病 合計 服用該藥品 5 100 105 不服用該藥品 18 400 418 合計 23 500 523 將上述數(shù)據(jù)代入公式χ2＝中，計算可得χ2≈0.041 4，因為0.041 4<3.841，故沒有充分理由認為該保健藥品對預(yù)防A疾病有效. 轉(zhuǎn)化與化歸思想在回歸分析中的應(yīng)用 回歸分析是對抽取的樣本進行分析，確定兩個變量的相關(guān)關(guān)系，并用一個變量的變化去推測另一個變量的變化．如果兩個變量

11、非線性相關(guān)，我們可以通過對變量進行變換，轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)問題． 【例3】　某商店各個時期的商品流通率y(%)的商品零售額x(萬元)資料如下： x 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 y 6 4.6 4 3.2 2.8 x 19.5 21.5 23.5 25.5 27.5 y 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 散點圖顯示出x與y的變動關(guān)系為一條遞減的曲線．經(jīng)濟理論和實際經(jīng)驗都證明，流通率y決定于商品的零售額x，體現(xiàn)著經(jīng)營規(guī)模效益，假定它們之間存在關(guān)系式：y＝a＋.試根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出a與b的估計值，并估計商品零售額為30萬元

12、的商品流通率． [解]　設(shè)u＝，則y＝a＋bu，得下表數(shù)據(jù)： u 0.105 3 0.087 0 0.074 1 0.064 5 0.057 1 y 6 4.6 4 3.2 2.8 u 0.051 3 0.046 5 0.042 6 0.039 2 0.036 4 y 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 由表中數(shù)據(jù)可得y與u之間的回歸直線方程為 ＝－0.187 5＋56.25 u. 所以所求的回歸方程為＝－0.187 5＋.當x＝30時，y＝1.687 5，即商品零售額為30萬元時，商品流通率為1.687 5%. 3．在某化

13、學(xué)實驗中，測得如下表所示的6對數(shù)據(jù)，其中x(單位：min)表示化學(xué)反應(yīng)進行的時間，y(單位：mg)表示未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量． x/min 1 2 3 4 5 6 y/mg 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3 (1)設(shè)y與x之間具有關(guān)系y＝cdx，試根據(jù)測量數(shù)據(jù)估計c和d的值(精確到0.001)； (2)估計化學(xué)反應(yīng)進行到10 min時未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量(精確到0.1)． [解]　(1)在y＝cdx兩邊取自然對數(shù)，令ln y＝z，ln c＝a，ln ＝b，則z＝a＋bx.由已知數(shù)據(jù)，得 x 1 2 3 4 5 6 y 39.8

14、 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3 z 3.684 3.472 3.235 3.011 2.785 2.588 由公式得≈3.905 5，≈－0.221 9，則線性回歸方程為＝3.905 5－0.221 9x.而ln c≈3.905 5，ln d≈－0.221 9， 故c≈49.675，d≈0.801， 所以c，d的估計值分別為49.675,0.801. (2)當x＝10時，由(1)所得公式可得y≈5.4(mg)． 所以化學(xué)反應(yīng)進行到10 min時未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量約為5.4 mg. 1．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查

15、了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表： 收入x(萬元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(萬元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程＝bx＋a，其中＝0.76，＝－.據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為(　　) A．11.4萬元　　　　 B．11.8萬元 C．12.0萬元 D．12.2萬元 [解析]　由題意知，＝＝10， ＝＝8， ∴＝8－0.76×10＝0.4， ∴當x＝15時，＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬元)． [答案]　B 2．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù) x 3 4 5

16、6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 得到的回歸方程為＝bx＋a，則(　　) A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0 C．a(chǎn)＜0，b＞0 D．a(chǎn)＜0，b＜0 [解析]　作出散點圖如下： 觀察圖象可知，回歸直線＝bx＋a的斜率b＜0，當x＝0時，＝a＞0.故a＞0，b＜0. [答案]　B 3．下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖． 為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…

17、，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t. (1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值； (2)你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由． [解]　(1)利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)． 利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 ＝99＋17.5×9＝256.5(億元)． (2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 理由如下： (ⅰ)從折線圖可以看出，

18、2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． (ⅱ)從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①

19、得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． (以上給出了2種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可) 4．某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如圖所示的莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由； (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任

20、務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：χ2＝. [解]　(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 理由如下： (i)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完

21、成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少．因此第

22、二種生產(chǎn)方式的效率更高． (以上給出了4種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可) (2)由莖葉圖知m＝＝80. 列聯(lián)表如下： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)由于χ2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． 5．如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖． (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； (2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量． 附注： 參考數(shù)據(jù)：

23、yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝，回歸方程＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為＝，＝－. [解]　(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得 ＝4， (ti－)2＝28，＝0.55， (ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－4×9.32＝2.89， ∴r≈≈0.99. 因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系． (2)由＝≈1.331及(1)得 ＝＝≈0.103. ＝－≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y關(guān)于t的回歸方程為＝0.92＋0.10t. 將2016年對應(yīng)的t＝9代入回歸方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸． - 11 -