2019屆高考數(shù)學二輪復習 第三部分 回顧教材 以點帶面 3 回顧3 三角函數(shù)與平面向量學案

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1、回顧3　三角函數(shù)與平面向量 [必記知識] 誘導公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口訣 函數(shù)名不變，符號看象限 函數(shù)名改變，符號看象限 [提醒]　奇變偶不變，符號看象限 “奇、偶”指的是的倍數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)，“變與不

2、變”指的是三角函數(shù)名稱的變化，“變”是指正弦變余弦（或余弦變正弦）.“符號看象限”的含義是：把角α看作銳角，看n·±α（n∈Z）是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號還是負號. 三種三角函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 單 調(diào) 性 在(k∈Z)上單調(diào)遞增； 在 (k∈Z)上單調(diào)遞減 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在(k∈Z)上單調(diào)遞增 對稱性 對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝＋kπ(k∈Z) 對稱中心：(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ(k

3、∈Z) 對稱中心：(k∈Z) [提醒])　求函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ）的單調(diào)區(qū)間時，要注意A與ω的符號，當ω＜0時，需把ω的符號化為正值后求解. 三角函數(shù)圖象的變換 由函數(shù)y＝sin x的圖象變換得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的兩種方法 [提醒]　圖象變換的實質(zhì)是點的坐標的變換，所以三角函數(shù)圖象的伸縮、平移變換可以利用兩個函數(shù)圖象上的特征點之間的對應(yīng)確定變換的方式，一般選取離y軸最近的最高點或最低點，當然也可以選取在原點左側(cè)或右側(cè)的第一個對稱中心點，根據(jù)這些點的坐標即可確定變換的方式、平移的單位與方向等. 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 si

4、n(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. tan(α±β)＝. sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)． cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β. 二倍角、輔助角及半角公式 (1)二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝. ①1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2. ②1－sin 2α＝(sin α－cos α)2. (2)輔助

5、角公式 y＝asin x＋bcos x＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝sin(x＋φ)，其中角φ的終邊所在象限由a，b的符號確定，角φ的值由tan φ＝(a≠0)確定． 正、余弦定理及其變形 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 變形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)asin B

6、＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A； (5)＝＝2R cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ [提醒])　在已知兩邊和其中一邊的對角時，要注意檢驗解是否滿足“大邊對大角”，避免增解. 平面向量數(shù)量積的坐標表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角． 結(jié)論 幾何表示 坐標表示 模 |a|＝ |a|＝ 數(shù)量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ 續(xù)　表 結(jié)論 幾何表示 坐標表示 a⊥b的充要條件

7、a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與|a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立) |x1x2＋y1y2|≤ · [提醒]?。?）要特別注意零向量帶來的問題：0的模是0，方向任意，并不是沒有方向；0與任意非零向量平行.,（2）a·b＞0是〈a，b〉為銳角的必要不充分條件；,a·b＜0是〈a，b〉為鈍角的必要不充分條件. [必會結(jié)論] 降冪、升冪公式 (1)降冪公式 ①sin2α＝；②cos2α＝；③sin αcos α＝sin 2α. (2)升冪公式 ①1＋cos α＝2cos2；②1－cos α＝2sin2；③1＋sin α＝；

8、④1－sin α＝. 常見的輔助角結(jié)論 (1)sin x±cos x＝sin. (2)cos x±sin x＝cos. (3)sin x±cos x＝2sin. (4)cos x±sin x＝2cos. (5)sin x±cos x＝2sin. (6)cos x±sin x＝2cos. [必練習題] 1．已知tan α＝3，則的值為(　　) A．－　　　　　　　　 B．－3 C. D．3 解析：選A.＝＝－＝－. 2．已知x∈(0，π)，且cos＝sin2x，則tan等于(　　) A. B．－ C．3 D．－3 解析：選A.由cos＝sin2x得sin 2x＝

9、sin2x，因為x∈(0，π)，所以tan x＝2，所以tan＝＝. 3．函數(shù)y＝cos 2x＋2sin x的最大值為(　　) A. B．1 C. D．2 解析：選C.y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1. 設(shè)t＝sin x(－1≤t≤1)，則原函數(shù)可以化為y＝－2t2＋2t＋1＝－2＋，所以當t＝時，函數(shù)取得最大值. 4．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，其導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則f的值為(　　) A．2 B. C．－ D．－ 解析：選D.依題意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，結(jié)合函數(shù)y＝f

10、′(x)的圖象可知，T＝＝4＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A＝.因為0＜φ＜π，＜＋φ＜，且f′＝cos＝－1，所以＋φ＝π，所以φ＝，f(x)＝sin，f＝sin＝－×＝－，故選D. 5．已知x＝是函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0＜φ＜x)圖象的一條對稱軸，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)在上的最小值為(　　) A．－2 B．－1 C．－ D．－ 解析：選B.因為x＝是f(x)＝2sin圖象的一條對稱軸，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，因為0＜φ＜π，所以φ＝，則f(x)＝2sin，所以g(x)＝－2sin在上的最小值

11、為g＝－1. 6．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，則△ABC的外接圓面積為(　　) A．4π B．8π C．9π D．36π 解析：選C.由題意知c＝bcos A＋acos B＝2，由cos C＝得sin C＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，所以△ABC的外接圓面積為πR2＝9π，故選C. 7．已知非零單位向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則a與b－a的夾角可能是(　　) A. B. C. D. 解析：選D.由|a＋b|＝|a－b|可得(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，而a·(b－a)＝a·b－a2＝

12、－|a|2＜0，即a與b－a的夾角為鈍角，故選D. 8．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，則實數(shù)k＝________． 解析：a＋2b＝(－3，3＋2k)，3a－b＝(5，9－k)，由題意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6. 答案：－6 9．已知向量a＝(1，0)，|b|＝，a與b的夾角為45°，若c＝a＋b，d＝a－b，則c在d方向上的投影為________． 解析：依題意得|a|＝1，a·b＝1××cos 45°＝1，|d|＝＝＝1，c·d＝a2－b2＝－1，因此c在d方向上的投影等于＝－1. 答案：－1 10．已知函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)，A，B是函數(shù)y＝f(x)圖象上相鄰的最高點和最低點，若|AB|＝2，則f(1)＝________． 解析：設(shè)f(x)的最小正周期為T，則由題意，得＝2，解得T＝4，所以ω＝＝＝，所以f(x)＝sin，所以f(1)＝sin＝sin ＝. 答案： 11．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，則＝______． 解析：依題意得，bcsin A＝c＝，則c＝4.由余弦定理得a＝＝，因此＝＝.由正弦定理得＝. 答案： 7