2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）教學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一） (教師獨具內(nèi)容) 課程標準：1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.2.在實際情境中，能夠運用已經(jīng)學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)及冪函數(shù)建立模型，解決簡單的實際問題，體會這些函數(shù)在解決實際問題中的作用． 教學(xué)重點：用函數(shù)模型來解決實際問題． 教學(xué)難點：建立函數(shù)模型. 【知識導(dǎo)學(xué)】 知識點　用函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟 (1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫實際問題，初步選擇模型． (2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型． (3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)

2、結(jié)論． (4)還原：利用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論還原到實際問題中． 可將這些步驟用框圖表示如下： 【新知拓展】 常見的函數(shù)模型 (1)一次函數(shù)模型：即直線模型，其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值勻速增大或減小．現(xiàn)實生活中很多事例可以用該模型來表示，例如：勻速直線運動的時間和位移的關(guān)系，彈簧的伸長量與拉力的關(guān)系等． (2)二次函數(shù)模型：二次函數(shù)為生活中最常見的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等問題常常是二次函數(shù)的模型． (3)分段函數(shù)模型：由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化的實際問題，或者在某一特定條件下的實際問題

3、中具有廣泛的應(yīng)用． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)在用函數(shù)模型解決實際問題時，得到的數(shù)學(xué)問題的解就是實際問題的解．(　　) (2)現(xiàn)實生活中有很多問題都可以用分段函數(shù)來描述，如出租車計費，個人所得稅等．(　　) (3)一根蠟燭長20 cm，點燃后每小時燃燒5 cm，燃燒時剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(h)的函數(shù)關(guān)系可以用一次函數(shù)模型來刻畫．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)某人從A地出發(fā)，開汽車以80千米/小時的速度經(jīng)2小時到達B地，在B地停留2小時，則汽車離開A地的距離y(單位：千米)是時間

4、t(單位：小時)的函數(shù)，該函數(shù)的解析式是________． (2)有200 m長的籬笆材料，如果利用已有的一面墻(假設(shè)長度夠用)作為一邊，圍成一塊矩形菜地，那么矩形的長為________ m，寬為________ m時，這塊菜地的面積最大． 答案　(1)y＝　(2)100　50 題型一 一次函數(shù)模型解決實際問題 例1　某服裝廠每天生產(chǎn)童裝200套或西服50套，已知每生產(chǎn)一套童裝需成本40元，可獲得利潤22元，每生產(chǎn)一套西服需成本150元，可獲得利潤80元．由于資金有限，該廠每月成本支出不超過23萬元，為使贏利最大，若按每月30天計算，應(yīng)安排生產(chǎn)童裝和西服各多少天(天數(shù)為整數(shù))

5、？并求出最大利潤． [解]　設(shè)生產(chǎn)童裝的天數(shù)為x，則生產(chǎn)西服的天數(shù)為(30－x)，每月生產(chǎn)童裝和西服的套數(shù)分別為200x和50(30－x)，每月生產(chǎn)童裝和西服的成本分別為40×200x元和150×50×(30－x)元，每月生產(chǎn)童裝和西服的利潤分別為22×200x元和80×50×(30－x)元，則總利潤為y＝22×200x＋80×50×(30－x)，化簡得y＝400x＋120000. 注意到每月成本不超過23萬元，則40×200x＋150×50×(30－x)≤230000，從而求出x的取值范圍是0≤x≤10，且x為整數(shù)．顯然當(dāng)x＝10時，贏利最大，最大利潤是124000元． 金版點睛

6、 用一次函數(shù)模型解決實際問題的解題方法 (1)建立一次函數(shù)模型時應(yīng)先求出自變量的取值范圍； (2)根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系建立一次函數(shù)模型； (3)利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行求解、檢驗． 　某列火車從北京西站開往石家莊，全程277 km.火車出發(fā)10 min開出13 km后，以120 km/h勻速行駛．試寫出火車行駛的總路程s與勻速行駛的時間t之間的關(guān)系，并求離開北京2 h時火車行駛的路程． 解　因為火車勻速運動的時間為(277－13)÷120＝(h)，所以0≤t≤.因為火車勻速行駛t h所行駛路程為120t，所以，火車行駛總路程s與勻速行駛時間t之間的關(guān)系是s＝13＋12

7、0t.離開北京2 h時火車行駛的路程s＝13＋120×＝233(km). 題型二 二次函數(shù)模型解決實際問題 例2　某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝－48x＋8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？ [解]　設(shè)可獲得總利潤為R(x)萬元， 則R(x)＝40x－y ＝40x－＋48x－8000 ＝－＋88x－8000 ＝－(x－220)2＋1680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上單調(diào)

8、遞增， ∴x＝210時， R(x)max＝－(210－220)2＋1680＝1660(萬元)． ∴年產(chǎn)量為210噸時，可獲得最大利潤1660萬元． 金版點睛 用二次函數(shù)模型解題的策略 (1)根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式(即二次函數(shù)關(guān)系式)． (2)利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法求函數(shù)的最值，從而解決實際問題中的最值問題． (3)解答二次函數(shù)最值問題最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象． 　有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所獲得的利潤依次為Q1萬元和Q2萬元，它們與投入的資金x萬元的關(guān)系是Q1＝x，Q2＝.現(xiàn)有3萬元資金投入使用，則對甲、乙兩種商品如何

9、投資才能獲得最大利潤？ 解　設(shè)對甲種商品投資x萬元，則對乙種商品投資(3－x)萬元，總利潤為y萬元． 所以Q1＝x，Q2＝. 所以y＝x＋(0≤x≤3)， 令t＝(0≤t≤)，則x＝3－t2. 所以y＝(3－t2)＋t＝－2＋. 當(dāng)t＝時，ymax＝＝1.05(萬元)， 即x＝＝0.75(萬元)，所以3－x＝2.25(萬元)． 由此可知，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別為0.75萬元和2.25萬元，共獲得利潤1.05萬元. 題型三 分段函數(shù)模型解決實際問題 例3　某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂

10、購量超過100個時，每多訂購1個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不能低于51元． (1)當(dāng)一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？ (2)設(shè)一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數(shù)P＝f(x)的表達式； (3)當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個，利潤又是多少元？ (工廠售出一個零件的利潤＝實際出廠單價－成本) [解]　(1)設(shè)每個零件的實際出廠價恰好降為51元時，一次訂購量為x0個，則x0＝100＋＝550(個)．因此，當(dāng)一次訂購量為550個時，每個零件的實際出廠價恰好降為51元． (2)當(dāng)

11、0550時，P＝51. ∴P＝f(x)＝(x∈N)． (3)設(shè)銷售商一次訂購量為x個時，工廠獲得的利潤為L元， 則L＝(P－40)x＝(x∈N)． 當(dāng)x＝500時，L＝6000；當(dāng)x＝1000時，L＝11000. 因此，當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是6000元；如果訂購1000個，利潤是11000元． 金版點睛 用分段函數(shù)模型解決實際問題的解法 分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一

12、起，要注意各段變量的范圍，特別是端點值． 　有一新款服裝在4月份(共30天)投放某專賣店銷售，日銷售量y(單位：件)關(guān)于時間n(1≤n≤30，n∈N*)(單位：天)的函數(shù)圖象如圖所示，其中函數(shù)y＝f(n)的圖象中的點位于斜率為5和－3的兩條直線上，兩直線的交點的橫坐標為m，且第m天日銷售量最大． (1)求f(n)的表達式，及前m天的銷售總量； (2)按規(guī)律，當(dāng)該服裝的銷售總量超過400件時，社會上流行該服裝，而日銷售量連續(xù)下降并低于30件時，該服裝的流行會消失．試問該服裝在社會上流行的天數(shù)是否會超過10天？并說明理由． 解　(1)由圖象知，當(dāng)1≤n≤m且n∈N*時，設(shè)f

13、(n)＝5n＋b，將點(1,2)代入，得5＋b＝2， 解得b＝－3，則f(n)＝5n－3. 由f(m)＝57，即5m－3＝57，得m＝12. 當(dāng)12400， ∴從第14天開始銷售總量超過400件，即該服裝開始流行． 設(shè)第n天的日銷售量開始低于30件(12

14、，即f(n)＝－3n＋93<30，解得n>21. ∴從第22天開始日銷售量低于30件，即流行時間為14號至21號． ∴該服裝在社會上流行的天數(shù)不超過10天. 題型四 綜合運用所學(xué)知識解決實際問題 例4　某商品每件成本價為80元，售價為100元，每天售出100件．若售價降低x成(1成＝10%)，售出商品數(shù)量就增加x成．要求售價不能低于成本價． (1)設(shè)該商店一天的營業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)，并寫出定義域； (2)若要求該商品一天營業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍． [解]　(1)由題意得y＝100·100. 因為售價不能低于成本價，所以100－80

15、≥0，得x≤2.所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定義域為[0,2]． (2)由題意得20(10－x)(50＋8x)≥10260，化簡得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.所以x的取值范圍是. 金版點睛 對于此類實際應(yīng)用問題，應(yīng)先根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式，再解決數(shù)學(xué)問題，最后結(jié)合問題的實際意義作出回答.建立函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵. 　甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每小時可獲得的利潤是100元． (1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍； (2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問

16、：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤． 解　(1)根據(jù)題意，得 200≥3000， 整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0， 又1≤x≤10，可解得3≤x≤10. 即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，x的取值范圍是[3,10]． (2)設(shè)利潤為y元，則 y＝·100＝9×104 ＝9×104， 故當(dāng)x＝6時，ymax＝457500元． 即甲廠以6千克/小時的生產(chǎn)速度生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品時獲得的利潤最大，最大利潤為457500元． 1．設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)米，小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又

17、勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所走過的路程y(米)和其所用的時間x(分)的函數(shù)圖象為(如下圖所示)(　　) 答案　D 解析　注意到y(tǒng)表示“小王從出發(fā)到返回原地所走過的路程”，而不是位移．故選D. 2．某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表．那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 答案　B 解析　根據(jù)規(guī)定可知，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)分別為7,8,9時可以

18、增選一名代表，所以最小應(yīng)該加3，因此利用取整函數(shù)可表示為y＝. 3．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元).1萬件售價是20萬元，若該企業(yè)生產(chǎn)的這種商品能夠全部售出，那么為獲取最大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品的數(shù)量為(　　) A．18萬件 B．20萬件 C．16萬件 D．8萬件 答案　A 解析　利潤L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18時，L(x)有最大值．故選A. 4．某同學(xué)將父母給的零用錢按每月相等的數(shù)額存放在儲蓄盒內(nèi)，準備捐給希望工程，盒內(nèi)原有60元，2個月后盒內(nèi)

19、有80元．則盒內(nèi)錢數(shù)y(元)與存錢月數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為________． 答案　y＝10x＋60(x≥0) 解析　設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b.因為當(dāng)x＝0時，y＝60；當(dāng)x＝2時，y＝80，所以解得所以y＝10x＋60(x≥0)． 5．心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位：分)之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越強． (1)x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低？ (2)第10分鐘時，學(xué)生的接受能力是多少？ (3)第幾分鐘時，學(xué)生的接受能力最強？ 解　(1)因為y＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9. 所以，當(dāng)0≤x≤13時，學(xué)生的接受能力逐步增強； 當(dāng)13≤x≤30時，學(xué)生的接受能力逐步下降． (2)當(dāng)x＝10時，y＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59， 即第10分鐘時，學(xué)生的接受能力為59. (3)當(dāng)x＝13時，y取最大值． 所以，在第13分鐘時，學(xué)生的接受能力最強． - 9 -