2019-2020學年新教材高中數學 第三章 函數 3.1 函數的概念與性質 3.1.1 函數及其表示方法 第1課時 函數的概念學案 新人教B版必修第一冊

《2019-2020學年新教材高中數學 第三章 函數 3.1 函數的概念與性質 3.1.1 函數及其表示方法 第1課時 函數的概念學案 新人教B版必修第一冊》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020學年新教材高中數學 第三章 函數 3.1 函數的概念與性質 3.1.1 函數及其表示方法 第1課時 函數的概念學案 新人教B版必修第一冊（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第1課時　函數的概念 (教師獨具內容) 課程標準：1.在初中用變量之間的依賴關系描述函數的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數，建立完整的函數概念，體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念中的作用.2.了解構成函數的要素，能求簡單函數的定義域． 教學重點：函數的概念；符號“y＝f(x)”的含義；函數的定義域和值域的求法． 教學難點：符號“y＝f(x)”的含義及已知函數解析式求函數定義域的方法. 【情境導學】(教師獨具內容) 夏天，大家都喜歡吃西瓜，而西瓜的價格往往與西瓜的重量相關．某人到一個水果店去買西瓜，價格表上寫的是：6斤以下，每斤0.4元；6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤

2、以上，每斤0.6元．此人挑了一個西瓜，稱重后店主說5元1角，1角就不要了，給5元吧．可這位聰明的顧客馬上說，你不僅沒少要，反而多收了我的錢．當顧客講出理由，店主只好承認了錯誤，照實收了錢． 同學們，你知道顧客是怎么曉得店主坑人的嗎？ 【知識導學】 知識點一　函數的概念 (1)函數的傳統(tǒng)定義 在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么就稱y是x的函數． (2)函數的近代定義 一般地，給定兩個非空實數集A與B，以及對應關系f，如果對于集合A中的每一個實數x，在集合B中都有唯一確定的實數y與x對應，則稱f為定義在集合A上的一個函

3、數，記作y＝f(x)，x∈A. 知識點二 函數的定義域和值域 在函數y＝f(x)，x∈A中，x稱為自變量，y稱為因變量，自變量取值的范圍(即數集A)稱為這個函數的定義域，所有函數值組成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}稱為函數的值域． 知識點三 確定函數的兩個要素 (1)定義域； (2)對應關系． 知識點四 兩個函數相同的條件 (1)定義域相同； (2)對應關系相同． 知識點五 求函數定義域常用的依據 (1)分式中分母不能為零； (2)二次根式中的被開方數要大于等于零． 【新知拓展】 對函數概念的理解 (1)A，B都是非空實數集，因此定義域或值域為空集的函數不

4、存在，如y＝就不是函數． (2)集合A就是定義域，因為給定A中的每一個x值都有唯一的y值與之對應． (3)集合B不一定是函數的值域，即B中的元素可以沒有與之對應者，若將函數的值域記為C，容易得到C?B. (4)符號“y＝f(x)”表示“x對應的函數值”，f表示對應關系． (5)“f(x)”是一個整體，不可分開，也不能理解成“f·x”． (6)f(a)(a∈A)與f(x)的區(qū)別與聯系：f(a)表示當x＝a時的函數值，是值域內的一個數值，是常量；f(x)表示自變量為x的函數，表示的是變量．例如，f(x)＝2x表示函數；當x＝3時，f(3)＝6，是一個常量． (7)函數的概念中強調“三性

5、”：任意性、存在性、唯一性，這是因為函數定義中明確要求是對于非空實數集A中的任意一個(任意性)數x，在非空實數集B中都有(存在性)唯一確定(唯一性)的實數y和它對應，這“三性”只要有一個不滿足，便不能構成函數． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數值域中的每一個實數都有定義域中的實數與之對應．(　　) (2)函數的定義域和值域一定是無限集合．(　　) (3)定義域和對應關系確定后，函數值域也就確定了．(　　) (4)若函數的定義域只有一個元素，則值域也只有一個元素．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　

6、　　 2．做一做 (1)對于函數f：A→B，若a∈A，則下列說法錯誤的是(　　) A．f(a)∈B B．f(a)有且只有一個 C．若f(a)＝f(b)，則a＝b D．若a＝b，則f(a)＝f(b) (2)已知f(x)＝x2＋1，則f[f(－1)]＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (3)求下列函數的定義域： ①f(x)＝； ②f(x)＝＋. 答案　(1)C　(2)D　(3)①{x|x≠－8}?、? 題型一 求函數的定義域 例1　求下列函數的定義域： (1)y＝2x＋3；(2)y＝＋；(3)y＝. [解]　(1)函數y＝2x＋3的定義域

7、為R. (2)要使函數有意義，則即所以函數y＝＋的定義域是[－1,2)∪(2，＋∞)． (3)要使函數有意義，則即即x≥1，所以函數y＝的定義域為[1，＋∞)． 金版點睛 求函數定義域的步驟與方法 (1)求函數定義域的一般步驟 ①列出使函數解析式有意義的自變量的不等式(組)； ②解不等式(組)； ③把解集表示成集合或區(qū)間的形式． (2)列不等式(組)的依據 ①分母不為零； ②偶次根式中被開方數大于或等于零； ③零指數冪的底數不為零． ④幾部分組成：若y＝f(x)是由幾部分數學式子的和、差、積、商組成的形式，定義域是使各部分都有意義的集合的交集． (3)定義域是一個集

8、合，要用集合或區(qū)間表示．若用區(qū)間表示，不同區(qū)間應該用“∪”連接． 　求下列函數的定義域： (1)y＝；(2)y＝＋； (3)y＝；(4)y＝(1－2x)0. 解　(1)要使函數式有意義，即分式有意義，則x＋1≠0，x≠－1.故函數的定義域為{x|x≠－1}． (2)要使函數式有意義，則即所以x＝1，從而函數的定義域為{x|x＝1}． (3)因為當x2－1≠0，即x≠±1時，有意義，所以函數的定義域是{x|x≠±1}． (4)∵1－2x≠0，即x≠， ∴函數的定義域為. 題型二 求函數值或求函數的值域 例2　(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝

9、x2＋2(x∈R)． ①求f(2)，g(2)的值； ②求f[g(3)]的值； (2)求下列函數的值域： ①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； ③y＝； ④y＝2x－. [解]　(1)①∵f(x)＝，∴f(2)＝＝. ∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. ②∵g(3)＝32＋2＝11， ∴f[g(3)]＝f(11)＝＝. (2)①(觀察法)因為x∈{1,2,3,4,5}，分別代入求值，可得函數的值域為{2,3,4,5,6}． ②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再結合函數的圖像(如

10、圖)，可得函數的值域為[2,6)． ③(分離常數法)y＝ ＝＝2＋， 顯然≠0，所以y≠2. 故函數的值域為(－∞，2)∪(2，＋∞)． ④(換元法)設t＝，則x＝t2＋1，且t≥0， 所以y＝2(t2＋1)－t＝22＋， 由t≥0，再結合函數的圖像(如右圖)，可得函數的值域為. 金版點睛 求函數值域的原則及常用方法 (1)原則：①先確定相應的定義域；②再根據函數的具體形式通過運算確定其值域． (2)常用方法 ①觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察法得到． ②配方法：是求“二次函數”類值域的基本方法． ③換元法：運用新元代換，將所給函數化成值域易

11、確定的函數，從而求得原函數的值域．對于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d為常數，且ac≠0)型的函數常用換元法． ④分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數”類的形式，便于求值域． 　求下列函數的值域： (1)y＝； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)． 解　(1)∵y＝＝＝1－，且≠0， ∴函數y＝的值域為{y|y≠1}． (2)配方，得y＝(x－2)2＋2. 由x∈[1,5)， 結合函數的圖像可知，函數的值域為{y|2≤y<11}． 題型三 相同函數的判斷 例3　下列各組函數表示同一函數的是(　　) A．f(x)

12、＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1 C．f(x)＝1，g(x)＝ D．f(x)＝x，g(x)＝|x| [解析]　A中，由于f(x)＝x的定義域為R，g(x)＝()2的定義域為{x|x≥0}，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數． B中，函數的定義域、值域和對應關系都相同，所以它們是同一函數． C中，由于f(x)＝1的定義域為R，g(x)＝的定義域為{x|x≠0}，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數． D中，兩個函數的定義域相同，但對應關系不同，所以它們不是同一函數． [答案]　B 金版點睛 判斷兩個函數為同一函數的條件 (1)判斷

13、兩個函數是同一函數的準則是兩個函數的定義域和對應關系分別相同．定義域、對應關系兩者中只要有一個不相同就不是同一函數，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一函數． (2)函數是兩個非空實數集之間的對應關系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的．另外，在化簡解析式時，必須是等價變形． 　下列函數中哪個與函數y＝x相同？ (1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝. 解　(1)y＝()2＝x(x≥0)，y≥0，與函數y＝x定義域不同且值域不同，所以不相同． (2)y＝＝x(x∈R)，y∈R，與函數y＝x對應關系相同，定義域和值域也都相同，所以相同． (3)y＝＝

14、|x|＝y(tǒng)≥0；與函數y＝x值域不同，且當x<0時，它的對應關系與函數y＝x不相同，所以不相同． (4)y＝的定義域為{x|x≠0}，與函數y＝x的定義域不相同，所以不相同. 題型四 求抽象函數的定義域 例4　(1)已知函數f(x)的定義域為[－1,1]，求函數f(2x－1)的定義域； (2)已知函數f(x－1)的定義域為(1,4]，求函數f(x)的定義域． [解]　(1)∵函數f(x)的定義域為[－1,1]， ∴函數f(2x－1)中自變量x的取值應滿足－1≤2x－1≤1，即0≤x≤1. ∴函數f(2x－1)的定義域為[0,1]． (2)因為函數f(x－1)的定義域為(1

15、,4]，即x∈(1,4]， ∴0

16、，應將左、右兩端統(tǒng)一，也可以用“換元法”，將較難配湊的式子化簡． (2)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則函數f[g(x)]的定義域應由不等式a≤g(x)≤b解出即得．若已知函數f[g(x)]的定義域為[a，b]，則函數g(x)在x∈[a，b]時的值域即為所求函數f(x)的定義域． 　若函數f(x)的定義域為[－3,5]，求函數φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定義域． 解　由函數f(x)的定義域為[－3,5]，得 即 解得－3≤x≤3. 所以函數φ(x)的定義域為[－3,3]． 1．函數f(x)＝＋(x－2)0的定義域為(　　) A．[1，＋∞)

17、 B．[1,2)∪(2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(1,2)∪(2，＋∞) 答案　D 解析　由題意，知解得x>1，且x≠2. 所以函數f(x)的定義域為(1,2)∪(2，＋∞)． 2．如果函數y＝x2－2x的定義域為{0,1,2,3}，那么其值域為(　　) A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3} C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3} 答案　A 解析　當x取0,1,2,3時，y的值分別為0，－1,0,3，則其值域為{－1,0,3}．故選A. 3．下列各組函數表示同一函數的是(　　) A．y＝2x＋1與y＝2m＋1 B．y＝與y＝2

18、x＋1 C．y＝1與y＝x0 D．y＝與y＝()2 答案　A 解析　B中兩函數解析式不同，值域不同．C，D中的兩個函數的定義域不相同不表示同一函數，A中的兩個函數的定義域與對應關系都相同，表示同一函數．故選A. 4．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤4}，則下列對應關系，能夠構成以A為定義域，B為值域的函數的是________(填寫滿足條件的所有函數的序號)． ①y＝2x；②y＝x2；③y＝|4－2x|；④y＝x＋5；⑤y＝(x－2)2. 答案　①②③⑤ 解析　判斷能否構成以A為定義域，B為值域的函數，就是看是否符合函數的定義．對于①y＝2x，當定義域為A＝{x

19、|0≤x≤2}時，顯然其值域為B＝{y|0≤y≤4}，故①滿足條件；顯然②③⑤同樣也滿足條件；對于④y＝x＋5，若其定義域為A＝{x|0≤x≤2}，則其值域為{y|5≤y≤7}，因此④不滿足條件．故填①②③⑤. 5．已知函數f(x)＝x2＋x－1. (1)求f(2)，f，f(a＋1)； (2)若f(x)＝5，求x. 解　(1)f(2)＝22＋2－1＝5， f＝＋－1＝， f(a＋1)＝(a＋1)2＋(a＋1)－1＝a2＋3a＋1. (2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0， ∴x＝2或x＝－3. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10