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1、
2022年高一上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題（含答案）
一．填空題：（共12小題，每小題3分）
1．已知集合，，則A∩B=________。
2．寫出的一個(gè)必要非充分條件__________。
3．不等式的解集為_____________。（用區(qū)間表示）
4．命題“已知，如果，那么或?！笔莀____命題。
（填“真”或“假”）
5．函數(shù)的定義域是____________（用區(qū)間表示）
6．若集合有且僅有兩個(gè)子集，則=_________。
7．若不等式的解集為（-1，2），則實(shí)數(shù)_________。
8．已知=，則
2、 。
9．Δ和各代表一個(gè)自然數(shù)，且滿足+=1，則當(dāng)這兩個(gè)自然數(shù)的和取最小
值時(shí)，Δ= , = 。
10．已知集合，，若A∪B=B，則實(shí)數(shù)的取值范圍
是_________。
11．規(guī)定與是兩個(gè)運(yùn)算符號(hào)，其運(yùn)算法則如下：對(duì)任意實(shí)數(shù)有：
，若用列舉法表示集合
。則= 。
12．如果關(guān)于的三個(gè)方程，，中，
有且只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________ _。
二． 選擇題：（共4小題，每題3分）
13．與函數(shù)有相同的圖象的
3、函數(shù)是……………………………………………………（ ）
（A） （B） （C） （D）
14．下列命題中的真命題是……………………………………………………………………（ ）
（A）若則 （B）若則
（C）若則 （D）若則
15．直線，當(dāng)時(shí)，的值有正有負(fù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
(A) (B) (C) (D)
16．設(shè)實(shí)數(shù)集為全集，集合，
則方程的解集是……………………………………………………（ ）
(A) (B)
4、(C) (D)
三．解答題：（共5小題，本大題要有必要的過程）
17．（本題8分）已知集合，，且，
求實(shí)數(shù)的取值范圍。
18．（本題8分）已知為非負(fù)實(shí)數(shù)，解關(guān)于的不等式。
19．（本題10分）已知直角梯形如圖所示，
線段上有一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，記，
P
D
C
B
A
截直角梯形的左邊部分面積為。
（1）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）作出函數(shù)的草圖。
20．（本題14分）已知是二次函數(shù)，對(duì)任意都滿足，且。
（1）求的解析式；
（2）如果函數(shù)的圖像恒在的圖像下方，
5、求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）如果時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
21．（本題12分）先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：
已知，求證：。
證明：構(gòu)造函數(shù),即
因?yàn)閷?duì)一切,恒有成立，所以,
從而證得。
（1）若……,，……+=1，請(qǐng)寫出上述結(jié)論的推廣形式；
（2）參考上述證法，對(duì)你推廣的結(jié)論加以證明。
參考答案
（滿分100分，90分鐘完成）
一．填空題：（共12小題，每小題3分）
1．已知集合A={(x,y)|y=x+3}，B={(x,y)|y=3x-1}，則A∩B=________。{（2，5）}
2．寫
6、出x>1的一個(gè)必要非充分條件__________。x>0（答案不唯一）
4．命題“已知x、y∈R，如果x+y≠2，那么x≠0或y≠2.”是_____命題。（填
“真”或“假”）真
5． 函數(shù)的定義域是____________（用區(qū)間表示）
6． 集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}有且僅有兩個(gè)子集，則a=_________。0或
7． 若不等式|ax+2|<6的解集為（-1，2），則實(shí)數(shù)a等于_________。
8． 已知=，則 。
9． Δ和各代表一個(gè)自然數(shù)，且滿足+=1，則當(dāng)這兩個(gè)自然數(shù)的和取最小
值時(shí)，Δ=_______,=_______. 4
7、和12
10．已知集合A={-1，2}，B={x|mx+1>0}，若A∪B=B，則實(shí)數(shù)m的取值范圍
是_________。(,1)
11．規(guī)定與是兩個(gè)運(yùn)算符號(hào)，其運(yùn)算法則如下：對(duì)任意實(shí)數(shù)有：
，用列舉法表示集合
。則= 。
12．如果關(guān)于x的三個(gè)方程x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中，
有且只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________。
(-2,]∪[-1,0)∪(,)
二．選擇題：（共4小題，每題3分）
13．與函數(shù)有相同的圖象的函
8、數(shù)是……………………………………………………（ D ）
（A） （B） （C） （D）
14．下列命題中的真命題是……………………………………………………………………（ B ）
（A）若則 （B）若則
（C）若則 （D）若則
15．直線，當(dāng)時(shí)，的值有正有負(fù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ D ）
(A) (B) (C) (D)
16．設(shè)實(shí)數(shù)集為全集，集合，
則方程的解集是……………………………………………………（ A ）
9、 (A) (B) (C) (D)
三．解答題：（共5小題，本大題要有必要的過程）
17.（本題8分）已知集合，，且，
求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解：A=[a-1,a+1] ……3分
B=(-∞,1)∪(4,+∞) ……3分
∵，∴ a-1≥1且a+1≤4, ∴ a∈[2,3] ……2分
18.（本題8分）已知a為非負(fù)實(shí)數(shù)，解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
解：（1）a=0時(shí)，原不等式即為-x+1<0，∴原不等式解集為（1，+∞）；…2分
（2）a≠0時(shí)，不等式對(duì)應(yīng)方程的兩根為1和。
當(dāng)01，原不等式解集
10、為(1, )；……2分
當(dāng)a=1時(shí)，=1，，原不等式解集為Ф； ……2分
當(dāng)a>1時(shí)， <1原不等式解集為(,1) ……2分
19．（本題滿分10分）已知直角梯形如圖所示，
線段上有一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，記，
P
D
C
B
A
截直角梯形的左邊部分面積為。
（1）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）作出函數(shù)的草圖。
解：（1）設(shè)，則
（對(duì)端點(diǎn)0，4是否取到不作嚴(yán)格要求）
當(dāng)時(shí)，………………………….2分
當(dāng)時(shí)，……………..2分
……………2分
（2）圖略（關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)不標(biāo)注，酌情扣分。）……………………………….4 分
20．（本題1
11、4分）已知是二次函數(shù)，對(duì)任意都滿足，且。
（1）求的解析式；
（2）如果函數(shù)的圖像恒在的圖像下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）如果時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解：（1）設(shè)，……………………………………………..1 分
，………………………………………………………….2分
又，，…………….2分
故………………………………………………………….1分
（2）由題意在上恒成立，即在上恒成立。
令易知，所以。………4分
說明：此題若直接用做同樣得滿分。
（3）因?yàn)闀r(shí)，不等式恒成立，即在上恒成立。
12、
令，由………………………….4分
21．（本題12分）先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題：
已知a1、a2∈R，a1+a2=1，求證：a12+a22≥.
證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,
f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a12+a22
因?yàn)閷?duì)一切x∈R,恒有f(x)≥0成立，所以Δ=4-8(a12+a22)≤0,
從而證得a12+a22≥.
（1）若 a1、a2、…、an∈R，a1+a2+…+an=1，請(qǐng)寫出上述結(jié)論的推廣形式；
（2）參考上述解法，對(duì)你推廣的結(jié)論加以證明。
解：（1）若 a1、a2、…、an∈R，a1+a2+…+an=1，
求證：a12+a22+…+an2≥。 ……4分
（2）證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+ (x-an)2, ……………2分
f(x)=nx2-2(a1+a2+…+an)x+a12+a22+…+an2
因?yàn)閷?duì)一切x∈R,恒有f(x)≥0成立，所以Δ=4-4n(a12+a22+…+an2)≤0,
從而證得a12+a22+…+an2≥. ……6分
2022年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）
