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1、2022年高三數(shù)學(xué) 第55課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系教案
教學(xué)目標(biāo):直線與圓錐曲線公共點問題、相交弦問題以及它們的綜合應(yīng)用.
(一) 主要知識及主要方法:
對相交弦長問題及中點弦問題要正確運用“設(shè)而不求”,常結(jié)合韋達定理 .
解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題時,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為它們所對應(yīng)的方程構(gòu)成的方程組是否
有解或解的個數(shù)問題.對于消元后的一元二次方程,必須討論二次項的系數(shù)和判別式,注意直線與圓錐曲線相切必有一個公共點,對圓與橢圓來說反之亦對,但對雙曲線和拋物線來說直線與其有一公共點,可能是相交的位置關(guān)系.有時借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便.
涉及弦的中點問題,除利用韋達定理外,也可
2、以運用“點差法”,但必須以直線與圓錐曲線相交為前提,否則不宜用此法.
直線與圓錐曲線相交的弦長計算:連結(jié)圓錐曲線上兩點的線段稱為圓錐曲線的弦;易求出弦端點坐標(biāo)時用距離公式求弦長;一般情況下,解由直線方程和圓錐曲線方程組成的方程組,得到關(guān)于 (或)的一元二次方程,利用方程組的解與端點坐標(biāo)的關(guān)系,結(jié)合韋達定理得到弦長公式:
=.
焦點弦的長也可以直接利用焦半徑公式處理,可以使運算簡化.焦點弦長:
(點是圓錐曲線上的任意一點,是焦點,是到相應(yīng)于焦點的
準(zhǔn)線的距離,是離心率)
涉及垂直關(guān)系問題,一般是利用斜率公式及韋達定理求解,設(shè)、,是直線與圓錐曲線的兩個交點,為坐標(biāo)原點,則,
解
3、析幾何解題的基本方法:數(shù)形結(jié)合法,以形助數(shù),用數(shù)定形.常用此法簡化運算.
(二)典例分析:
問題1.設(shè)直線過雙曲線的一個焦點,交雙曲線于、兩點,為坐標(biāo)原點,若,求的值.
問題2.過拋物線()的焦點作一條直線交拋物線于、,
兩點,設(shè)直線的傾斜角為.求證:;
問題3.(湖北)直線:與雙曲線:的右支交于不同的兩點、.(Ⅰ)求實數(shù)的取值范圍;(Ⅱ)是否存在實數(shù),使得以線段為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
問
4、題4. (天津質(zhì)檢)已知中心在原點,焦點在軸上的一個橢圓與圓
交于、兩點,恰是該圓的直徑,且的斜率為,
求此橢圓的方程.
(三)課后作業(yè):
(南通九校聯(lián)考)過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于、兩點,
若,則滿足條件的直線有 條 條 條 無數(shù)條
已知雙曲線: ,過點作直線,使與有且只有一個公共點,
則滿足上述條件的直線共有 條 條 條 條
(北京海淀區(qū))若不論為何值,直線與直線總有公共點,則的取值范圍是
直線
5、與橢圓公共點的個數(shù)是
隨變化而改變
橢圓與直線交于兩點,的中點為,且的斜率
為,則的值為
已知橢圓,則以為中點的弦的長度是
若直線和橢圓恒有公共點,則實數(shù)的取值范圍為
過橢圓的一個焦點的直線交橢圓于、兩點,求面積的最大值
中心在原點,焦點在軸上的橢圓的左焦點為,離心率為,過作直線交
橢圓于兩點,已知線段的中點到
6、橢圓左準(zhǔn)線的距離是,則
已知雙曲線的方程為.求以點為中點的弦所在的直線方程;
以點為中點的弦是否存在?若存在,求出弦所在的直線方程;若不存在,
請說明理由.
(四)走向高考:
(福建)已知雙曲線(,)的右焦點為,若過點且
傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是
(全國Ⅰ)已知橢圓的左、右焦點分別為,.過的直線交橢圓于兩點,過的直線交橢圓于兩點,且,垂足為.
(Ⅰ)設(shè)點的坐標(biāo)為,證明:;
(Ⅱ)求四邊形的面積的最小值.