2022年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次模擬考試試題 理

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1、2022年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次模擬考試試題 理 一、 選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分） 1．已知集合，則 (A) (B) (C) (D) 2．復(fù)數(shù)的實部與虛部的和為 (A) (B) (C) (D) 3．在等差數(shù)列中，已知則此數(shù)列的公差為 (A) (B)3 (C) (D) 4. 如果雙曲線經(jīng)過點，且它的一條漸近線方程為，那么該雙曲線的方程是 (A) (B) (C

2、) (D) 5．利用計算機在區(qū)間 (0,1)上產(chǎn)生隨機數(shù)，則不等式成立的概率是 (A) (B) (C) (D) 6．設(shè)是兩個非零向量,則“”是“”的 (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分又不必要條件 7．已知奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且， 則的值為 (A) (B) (C) (D) 8．函數(shù)的最大值和最小正周期分別為 (A) (B

3、) (C) (D) 9．某人以15萬元買了一輛汽車，此汽車將以每年20%的速度 折舊，圖1是描述汽車價值變化的算法流程圖，則當時， 最后輸出的S為 (A) (B) (C) (D) 10．如圖2，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是一正方體被截去一部分后所得幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為 (A) 54 (B)162 (C) (D) 11．7人站成兩排隊列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為（ ） （

4、A）120 （B）240 （C）360 （D）480 12．已知函數(shù)，，若方程在有三個實根，則實數(shù)的取值范圍為（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分） 13. 已知實數(shù)x，y滿足，則目標函數(shù)的最大值為 ． 14.在的展開式中，項的系數(shù)是 ． 15．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的一個面A1B1C1 D1在半徑為的半球底面上，A、B、C、D四個頂點都在此半球面上，則正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為

5、 ． 16．設(shè)是數(shù)列的前項和，且，，則數(shù)列的通項公式 ． 三、 解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．） 17．（本小題滿分12分） 設(shè)數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足． （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）求數(shù)列的前項和． 18．（本小題滿分12分） 某中學(xué)隨機抽取50名高一學(xué)生調(diào)查其每天運動的時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖2.5），其中運動的時間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為 . （Ⅰ）求直方圖中的值； （Ⅱ）定義運動的時間不少于1小時的學(xué)生稱為“熱愛運動”，

6、若該校有高一學(xué)生1200人，請估計有多少學(xué)生“熱愛運動”； （Ⅲ）設(shè)表示在抽取的50人中某兩位同學(xué)每天運動的 時間，且已知，求事件“”的概率. 19．（本小題滿分12分） 圖2.5 如圖3，在三棱柱ABC -A1B1C1中，底面△ABC是邊長為2的 等邊三角形，D為AB中點． （I）求證：BC1∥平面A1CD； (II) 若四邊形BCC1B1是正方形，且求直線A1D與 平面CBB1C1所成角的正弦值． 20．（本小題滿分12分） 已知橢圓C的中心在原點，焦點

7、在x軸上，且短軸的長為2，離心率等于． （I）求橢圓C的方程； （II）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若，，求證：為定值． 21．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為． （I）求、的值； （II）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 請考生在第（22），（23），（24）題中任選一題做答．注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按所做的第一個題目計分。做答時請用2B鉛筆在答卡上將所選題號后的方框涂黑． 22．（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講 如圖4，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過點A作⊙O的

8、切線EP 交CB的延長線于P，已知． （I）若BC是⊙O的直徑，求的大?。? (II）若，求證：． 23．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系xOy中，已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是． （I）寫出直線的普通方程與曲線C的直角坐標系方程； （II）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點，求的值． 24．（本小題滿分10分）選修4-5不等式選講 已知函數(shù). （I）解不等式； （II）若,求證： 數(shù)學(xué)試卷（理科）（

9、本試卷滿分150分） 二、 選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分） 1—4 D D A B 5—8 A C C B 9—12 C D C D 三、 填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分） 13. 9； 14. 20； 15.； 16. 三、解答題： 17、【解】 （Ⅰ）當時， ………………………………………（2分） 由，得， ∴ ∴ ………………………（6分） （Ⅱ）當時，，∴ ………………………………（7分） 當時，

10、 ……………………………（8分） +…+… +…+… ……………………………………………………（11分） 上式對于也成立，所以． ………………（12分） 18.解： （1）由得；-------------------2分 （Ⅱ）運動時間不少于1小時的頻率為，-------------3分 不少于1小時的頻數(shù)為1200，所以該校估計“熱愛運動”的學(xué)生有120人；--5分 （Ⅲ）由直方圖知，成績在的人數(shù)為人，設(shè)為；--6分 成績在 的人數(shù)為人，設(shè)為.-------------------7分 若時，有三種情況； 若時，只有一種情況；----------------

11、------------------8分 若分別在內(nèi)時，則有共有6種情況.所以基本事件總數(shù)為10種，---------------------------------------------------10分 事件“”所包含的基本事件個數(shù)有6種. ∴P（）=-------------------------------------------12分 19.解 （I)證法1：連結(jié)AC1，設(shè)AC1與A1C相交于點E，連接DE， 則E為AC1中點，-------------------------------2分 ∵D為AB的中點，∴DE∥BC1，------------------4

12、分 ∵BC1平面A1CD，DE平面A1CD，-------------5分 ∴BC1∥平面A1CD. ------------------------------6分 【證法2：取中點，連結(jié)和，------1分 ∵平行且等于 ∴四邊形為平行四邊形 ∴ ---------------------------------------------------2分 ∵平面，平面 ∴平面,------------------------------3分 同理可得平面------------------------4分 ∵ ∴平面平面 又∵平面 ∴BC1∥平面A1CD. --

13、------------------------6分】 (II) --------------------------7分 又 ， 又 面----------------------------------8分 法一：設(shè)BC的中點為O，的中點為，以O(shè)為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系.----------------9分 則，. ∴--------------------10分 平面的一個法向量 所以直線A1D與平面CBB1C1所成角的正弦值為-----------------------12分 【法二：取的中點，連

14、結(jié)，則-----------------------7分 ∵面，故, ,面------9分 延長、相交于點，連結(jié)， 則為直線與平面所成的角. --------------------------10分 因為為的中點，故，又 即直線與平面所成的角的正弦值為.---------------------12分】 【法三：取的中點，連結(jié)，則-----------------------7分 ∵面，故, ,平面-------------------------------9分 取中點M，連結(jié)BM，過點M作，則平面， 連結(jié)BN，∵, ∴為直線與平面所成的角，---10分 ∵,

15、 即直線與平面所成的角的正弦值為.---------------------12分】 20.解： （I）設(shè)橢圓C的方程為， 由題意知----------------------------------------2分 解得，--------------------------------------------------4分 ∴橢圓C的方程為 ---------------------------------------5分 （II）證法1：設(shè)A、B、M點的坐標分別為， 易知F點的坐標為（2，0）. ------------------------------------

16、----------6分 顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，則直線l的方程是，------7分 將直線的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得 ----------------------------------------9分 --------------------------------10分 又 -------12分 【證法二：設(shè)點A、B、M的坐標分別為 易知F點的坐標為（2，0）. ---------------------------------------------6分 ∴------------7分 將A點坐標代入到橢圓方程中，得去分母整理得

17、 ---------------------------------------------9分 同理，由可得------------------------10分 0 5 5 10 2 0 2 = - + + y l l 即 是方程 的兩個根，-------------12分】 21．解： （I）∵且直線的斜率為0，又過點， ∴------------------------------------------------------2分 即解得------------------------------

18、---------3分 （II）當時，不等式 ----------5分 令，-----------7分 令， ①當即時，在單調(diào)遞增且，所以當時，，在單調(diào)遞增，即恒成立．----------9分 ②當即時，在上上單調(diào)遞減，且，故當時，即 所以函數(shù)在單調(diào)遞減，-----------------------------------10分 當時，與題設(shè)矛盾, 綜上可得的取值范圍為----------------------------------------12分 22.解： （I）EP與⊙O相切于點A，，----------------------1分 又BC是⊙O的直徑，-

19、-----------------------------------3分 四邊形ABCD內(nèi)接一于⊙O， --------------------------------------------------------5分 （II） ------------------------------------------------------7分 -----------------------------------------------------------8分 又-------------------------------------------10分 23.解： （I

20、）直線的普通方程為，---------------------------2分 曲線C的直角坐標系方程為-----------------------------------4分 （II）⊙C的圓心（0，0）到直線的距離 ---------------------------------------------------6分 ∴ ----------------------------------------------8分 ∵ 故．------------------------------------10分 24.解： （I）由題意，得， 因此只須解不等式 ------

21、-------------------------------1分 當x≤1時，原不式等價于-2x+3≤2，即；-----------------------------2分 當時，原不式等價于1≤2，即；---------------------------3分 當x>2時，原不式等價于2x-3≤2，即.-----------------------------4分 綜上,原不等式的解集為. ----------------------------------5 分 （II）由題意得----------------------------6分 =-------------------------------------8分 ------------------------------------------------------9分 所以成立．----------------------------------------10分