2022年高二數(shù)學 1、2-2-2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)同步練習 新人教A版選修1-1

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1、2022年高二數(shù)學 1、2-2-2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)同步練習 新人教A版選修1-1 一、選擇題 1.已知雙曲線與橢圓+=1共焦點,它們的離心率之和為,雙曲線的方程應(yīng)是 (  ) A.-=1       B.-=1 C.-+=1 D.-+=1 [答案] C [解析] ∵橢圓+=1的焦點為(0,±4),離心率e=, ∴雙曲線的焦點為(0,±4),離心率為-==2, ∴雙曲線方程為:-=1. 2.焦點為(0,±6)且與雙曲線-y2=1有相同漸近線的雙曲線方程是(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 [答案] B [解析]

2、 與雙曲線-y2=1有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為-y2=λ(λ≠0), 又因為雙曲線的焦點在y軸上, ∴方程可寫為-=1. 又∵雙曲線方程的焦點為(0,±6), ∴-λ-2λ=36.∴λ=-12. ∴雙曲線方程為-=1. 3.若00. ∴c2=(a2-k2)+(b2+k2)=a2+b2. 4.中心在坐標原點,離心率為的雙曲線的焦點在y軸上,則它的漸近線方程為(  ) A.y=±x

3、 B.y=±x C.y=±x D.y=±x [答案] D [解析] ∵=,∴==,∴=, ∴=,∴=. 又∵雙曲線的焦點在y軸上, ∴雙曲線的漸近線方程為y=±x, ∴所求雙曲線的漸近線方程為y=±x. 5.(xx·四川文,8)已知雙曲線-=1(b>0)的左右焦點分別為F1、F2,其一條漸近線方程為y=x,點P(,y0)在該雙曲線上,則·=(  ) A.-12 B.-2 C.0 D.4 [答案] C [解析] 本小題主要考查雙曲線的方程及雙曲線的性質(zhì). 由題意得b2=2,∴F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0), 又點P(,y0)

4、在雙曲線上,∴y=1, ∴·=(-2-,-y0)·(2-,-y0)=-1+y=0,故選C. 6.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦點到漸近線的距離是其頂點到漸近線距離的3倍,則雙曲線的漸近線方程為(  ) A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=±3x [答案] B [解析] 如圖, 分別過雙曲線的右頂點A,右焦點F作它的漸近線的垂線,B、C分別為垂足,則△OBA∽△OCF, ∴==, ∴=,∴=2, 故漸近線方程為:y=±2x. 7.雙曲線-=1的兩條漸近線互相垂直,那么該雙曲線的離心率為(  ) A.2 B.

5、C. D. [答案] C [解析] 雙曲線的兩條漸近線互相垂直,則漸近線方程為:y=±x, ∴=1,∴==1, ∴c2=2a2,e==. 8.雙曲線-=1的一個焦點到一條漸近線的距離等于(  ) A. B.3 C.4 D.2 [答案] C [解析] ∵焦點坐標為(±5,0),漸近線方程為y=±x,∴一個焦點(5,0)到漸近線y=x的距離為4. 9.過雙曲線-=1(a>0,b>0)上任意一點P引與實軸平行的直線,交兩漸近線于M、N兩點,則·的值為(  ) A.a(chǎn)2 B.b2 C.2ab D.a(chǎn)2+b2

6、[答案] A [解析] 特值法:當點P在雙曲線的一個頂點時,·=a2. 10.(xx·浙江理,8)設(shè)F1,F(xiàn)2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點P,滿足|PF2|=|F1F2|,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長,則該雙曲線的漸近方程為(  ) A.3x±4y=0 B.3x±5y=0 C.4x±3y=0 D.5x±4y=0 [答案] C [解析] 如圖:由條件|F2A|=2a,|F1F2|=2c 又知|PF2|=|F1F2|,知A為PF1中點,由a2+b2=c2,有|PF1|=4b由雙曲線定義: |PF1|-

7、|PF2|=2a,則4b-2c=2a ∴2b=c+a,又有c2=a2+b2,(2b-a)2=a2+b2, ∴4b2-4ab+a2=a2+b2 3b2=4ab,∴=, ∴漸近線方程:y=±x.故選C. 二、填空題 11.雙曲線+=1的離心率e∈(1,2),則b的取值范圍是________. [答案] -12

8、是橢圓離心率的2倍,求該雙曲線的方程為________. [答案]?。? [解析] 橢圓+=1中,a=5,b=3,c2=16, 焦點為(0,±4),離心率e==, ∴雙曲線的離心率e1=2e=, ∴==,∴a1=, ∴b=c-a=16-=, ∴雙曲線的方程為-=1. 14.(xx·全國Ⅱ文,8改編)雙曲線-=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,則r=________. [答案]  [解析] 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系以及點到直線的距離公式. 雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x=±x, ∴x±2y=0,由題意,得r==. 三、解答題

9、 15.已知動圓與⊙C1:(x+3)2+y2=9外切,且與⊙C2:(x-3)2+y2=1內(nèi)切,求動圓圓心M的軌跡方程. [解析] 設(shè)動圓圓心M的坐標為(x,y),半徑為r, 則|MC1|=r+3,|MC2|=r-1, ∴|MC1|-|MC2|=r+3-r+1=4<|C1C2|=6, 由雙曲線的定義知,點M的軌跡是以C1、C2為焦點的雙曲線的右支,且2a=4,a=2, 雙曲線的方程為:-=1(x≥2). 16.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)過點A(,),且點A到雙曲線的兩條漸近線的距離的積為.求此雙曲線方程. [解析] 雙曲線-=1的兩漸近線的方程為bx±ay=0. 點A到

10、兩漸近線的距離分別為 d1=,d2= 已知d1d2=,故=(ⅰ) 又A在雙曲線上,則 14b2-5a2=a2b2(ⅱ) (ⅱ)代入(ⅰ),得3a2b2=4a2+4b2(ⅲ) 聯(lián)立(ⅱ)、(ⅲ)解得b2=2,a2=4. 故所求雙曲線方程為-=1. 17.如下圖,已知F1,F(xiàn)2是雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩焦點,以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2,若邊MF1的中點在雙曲線上,求雙曲線的離心率. [解析] 設(shè)MF1的中點為P,在Rt△PMF2中,|PF2|=|MF2|·sin60°=2c·=c.又由雙曲線的定義得|PF2|-|PF1|=2a,所以a=c,e===+1.

11、 18.是否存在同時滿足下列條件的雙曲線,若存在,求出其方程;若不存在,說明理由. (1)漸近線方程為x+2y=0及x-2y=0; (2)點A(5,0)到雙曲線上動點P的距離的最小值為. [解析] 假設(shè)存在同時滿足題中的兩條件的雙曲線. (1)若雙曲線的焦點在x軸上,因為漸近線方程為 y=±x,所以由條件(1),設(shè)雙曲線方程為-=1, 設(shè)動點P的坐標為(x,y),則|AP|==,由條件(2),若2b≤4,即b≤2,則當x=4時,|AP|最?。剑剑琤2=-1,這不可能,無解;若2b>4,則當x=2b時,|AP|最?。絴2b-5|=,解得b=,此時存在雙曲線方程為-=1. (2)若雙曲線的焦點在y軸上,則可設(shè)雙曲線方程為-=1(x∈R), 所以|AP|=, 因為x∈R, 所以當x=4時,|AP|最?。剑? 所以a2=1,此時存在雙曲線方程為y2-=1.

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