2022年高二數(shù)學 第一章第3－4節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結詞和量詞（理） 新人教A版選修2—1

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1、2022年高二數(shù)學 第一章第3－4節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結詞和量詞（理） 新人教A版選修2—1 一、學習目標： 1. 通過數(shù)學實例，了解簡單的邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的含義； 2. 能正確地利用“或”、“且”、“非”表述相關的數(shù)學內(nèi)容； 3. 知道命題的否定與否命題的區(qū)別； 4. 了解量詞在日常生活中和數(shù)學命題中的作用，正確區(qū)分全稱量詞和存在量詞的概念，并能準確理解和使用這兩類量詞。 二、重點、難點： 重點： 1. 掌握真值表的表示方法； 2. 理解邏輯聯(lián)結詞的含義； 3. 理解全稱量詞、存在量詞的概念與區(qū)別。 難點：理解邏輯聯(lián)結詞的含義，會正確使用全稱命題、

2、存在性命題。 三、考點分析： 本部分內(nèi)容在高考中經(jīng)常滲透到一些試題中來考查，基本上單獨命題的可能性比較小，有時在小題中出現(xiàn)。解題的關鍵是理解三種邏輯聯(lián)結詞的概念以及運用，這部分內(nèi)容在我們以后學習概率的時候也會用到。我們除了要掌握邏輯聯(lián)結詞這部分知識外，還要理解全稱量詞和存在量詞的相互轉化。 一、邏輯聯(lián)結詞的基本概念 1. 邏輯聯(lián)結詞與復合命題的表示形式 我們把“或”、“且”、“非”稱為邏輯聯(lián)結詞，它們分別對應于集合中的并、交、補的運算。 我們常用小寫拉丁字母p，q，r，…表示命題，復合命題的構成形式有三種： p或q； p且q； 非p。 非p也叫做命題p的否定

3、。非p記作“”，“”讀作“非”（或“并非”），表示“否定”。 2. 復合命題的真值判定 當p、q兩個命題都是真命題時，是真命題；當p、q中有一個是假命題時，是假命題。全真為真，有假即假 當p、q兩個命題中有一個是真命題時，是真命題；當p、q都是假命題時，是假命題。全假為假，有真即真 一般地，對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作：“p”，讀作“非p”或“p的否定”。 若p是真命題，則必是假命題；若p是假命題，則必是真命題。 “非”命題最常見的幾個正面詞語的否定： 正面 ＝ ＞ 是 都是 至多有一個 至少有一個 任意的 所有的 否定 ≠ ≤ 不是 不

4、都是 至少有兩個 一個也沒有 某個 某些 二、全稱量詞與存在量詞 全稱量詞：如“所有的”、“任何”、“一切”、“任意一個”等。其表達的邏輯為：“對宇宙間的所有事物x來說，x都是F?！崩洌骸八械聂~都會游泳。”記作“、”等，表示個體域里的所有個體。 存在量詞：如“有”、“有的”、“有些”、“存在一個”、“至少有一個”等。其表達的邏輯為：“宇宙間至少有一個事物x，x是F?！崩洌骸坝械墓こ處熓枪と顺錾??！庇涀鳌?，”等，表示個體域里有的個體。 全稱命題：其公式為“所有S是P”。例句：“所有產(chǎn)品都是一等品”。全稱命題，可以用全稱量詞，也可以用“都”等副詞、“人人”等主語重復的形式來

5、表達，甚至有時可以沒有任何的量詞標志，如“人類是有智慧的”。含有全稱量詞的命題也稱全稱命題。 全稱命題的格式：“對M中的所有x，p（x）”的命題，記為： 特稱命題：其公式為“有的S是P”。例句：“大多數(shù)學生星期天休息”。特稱命題使用存在量詞，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量詞的命題也稱存在性命題。 存在性命題的格式：“存在于集合M中的元素x，q（x）”的命題，記為： 注意：存在量詞的“否”就是全稱量詞。 知識點一：簡單的邏輯聯(lián)結詞的運用 例1. 對于下述命題，寫出“”形式的命題，并判斷“”與“”的真假： （1）（其中

6、全集，，）。 （2）2＜x≤3。 （3）平方和為的兩個實數(shù)都為。 （4）100既能被4整除，又能被5整除。 （5）若。 （6）若，則中至少有一個為。 （7）一元二次方程至多有兩個解。 【思路分析】 題意分析：本題是對邏輯連結詞“或”“且”“非”的否定形式的考查。 解題思路：先分析題中涉及到哪個聯(lián)結詞，然后從意思上進行否定。 【解答過程】 （1）；真，假； （2）x≤2或x＞3。 （3）平方和為的兩個實數(shù)不都為； （4）100不能被4整除，或不能被5整除； （5）若。 （6）若，則中都不為； （7）一元二次方程至少有三個解。 【題后思考】掌握復合命題的否定形式

7、以及一些常用詞語的否定。 p∨q的否定是∧q p∧q的否定是∨q 例2. 命題方程有兩個不相等的正實數(shù)根， 命題方程無實數(shù)根。若“且”“或”為真命題，求的取值范圍。 【思路分析】 題意分析：考查復合命題真值的運用。 解題思路：先理解“或”為真命題，一真即真，再運用集合中并集的思想解決該題。 【解答過程】 “或”為真命題，則為真命題，或為真命題，或和都是真命題 當為真命題時，則，得； 當為真命題時，則 當和都是真命題時，取其交集，得 當和至少有一個是真命題時取其并集，得 【題后思考】對于復合命題真值的判定，要能靈活地把邏輯聯(lián)結詞與集合中的三種運算對應起來，再運用

8、集合的思想解題。 例3. 已知命題若非是的充分不必要條件，求的取值范圍。 【思路分析】 題意分析：考查了運用邏輯聯(lián)結詞來解決不等式的求解與條件判定的綜合問題。 解題思路：先求非表示的不等式的解集，然后利用集合間的包含關系來解決。 【解答過程】 而，即 【題后思考】對于邏輯條件的運用，我們要能熟練地結合集合的思想來解決。 【小結】對于這部分內(nèi)容的解題方法，就是將命題轉換為集合，然后運用集合的思想進行求解運算。一般以小題的形式進行考查。 知識點二：全稱量詞和存在量詞的運用 例4. 指出下述推理過程中邏輯上的錯誤： 第一步：設a＝b，則有a2＝ab

9、第二步：等式兩邊都減去b2，得a2－b2＝ab－b2 第三步：因式分解得 （a＋b）（a－b）＝b（a－b） 第四步：等式兩邊都除以（a－b），得a＋b＝b 第五步：由a＝b代入，得2b＝b 第六步：兩邊都除以b，得2＝1 【思路分析】 題意分析：體會特稱命題與全稱命題的運用。 解題思路：運用綜合法從已知分析結論，注意對命題的準確理解。 【解答過程】 第四步錯：因a－b＝0，等式兩邊不能除以（a－b） 第六步錯：因b可能為0，兩邊不能立即除以b，需分情況進行討論。 【題后思考】（a＋b）（a－b）＝b（a－b） a＋b＝b是存在性命題，不是全稱命題，由此得到的結論不可靠

10、。同理，由2b＝b2＝1亦是存在性命題，不是全稱命題。 例5. 判斷下列語句是不是全稱命題或存在性命題，如果是，用量詞符號表達出來。 （1）中國的所有江河都注入太平洋； （2）0不能作除數(shù)； （3）任何一個實數(shù)除以1，仍等于這個實數(shù)； （4）每一個向量都有方向。 【思路分析】 題意分析：對于特稱命題、全稱命題的準確理解。 解題思路：從句子的意思上進行分析判定，注意一些字眼：所有、任何，句子中存在的這些詞語是解決問題的突破點。分析后用量詞符號表示出來。 【解答過程】（1）全稱命題，河流x∈{中國的河流}，河流x注入太平洋； （2）存在性命題，0∈R，0不能作除數(shù)； （3

11、）全稱命題，x∈R，； （4）全稱命題，，有方向。 【題后思考】判定語句屬于哪類命題，主要是找語句中的量詞，然后判定解決。 例6. 寫出命題的否定形式 （1）p：$ x∈R，x2＋2x＋2≤0； （2）p：有的三角形是等邊三角形； （3）p：有些函數(shù)沒有反函數(shù)； （4）p：存在一個四邊形，它的對角線互相垂直且平分； （5）p：所有的矩形都是平行四邊形； （6）p：每一個素數(shù)都是奇數(shù)； （7）p："x?R，x2－2x＋1≥0。 【思路分析】 題意分析：對于全稱命題與特稱命題的否定的考查。 解題思路：掌握符號的表示，以及全稱命題與特稱命題的相互轉化。 【解答過程】

12、 （1）" x?R，x2＋2x＋2＞0； （2）任何三角形都不是等邊三角形； （3）任何函數(shù)都有反函數(shù)； （4）對于所有的四邊形，它的對角線不可能互相垂直或平分； （5）存在一個矩形不是平行四邊形； （6）否定：存在一個素數(shù)不是奇數(shù)； （7）否定：$x?R，x2－2x＋1＜0。 【題后思考】從集合的運算觀點剖析：， "的否定：；的否定：" 例7. 已知命題：方程在[－1，1]上有解；命題：只有一個實數(shù)滿足不等式，若命題“p或q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍。 【思路分析】 題意分析：本題考查函數(shù)與方程以及不等式的解集和特稱命題的綜合運用。 解題思路：先分析命題

13、、的含義，再將其轉換為運用集合的思想進行解決。 【解答過程】 【題后思考】我們在學習中要充分體會全稱命題與特稱命題的運用，準確進行命題的轉化和運用。 【小結】對于本節(jié)內(nèi)容的學習，我們不僅要理解兩種量詞的概念，同時要深刻體會它們在解決實際問題中的運用。 對于這部分內(nèi)容的學習，我們主要要理解三種邏輯聯(lián)結詞的概念，并能結合集合的思想解決有關復合命題的運用。同時要關注存在性命題和全稱命題的轉換問題。 一、預習新知 我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線是一個圓。如何改變平面與圓錐曲線的夾角，會得到什么圖形呢？ 二、預習點撥 探究與反思：

14、 探究任務一：曲線的方程 【反思】 （1）什么是曲線的方程？ （2）什么是方程的曲線？ 探究任務二：求曲線的方程 【反思】 （1）求曲線方程的步驟 （2）如何合理的建系，使建立的方程最簡單？ （答題時間：45分鐘） 一、選擇題 1. 若命題“p或q”為真，“非p”為真，則 （ ） A. p真q真 B. p假q真 C. p真q假 D. p假q假 2. “至多有三個”的否定為 （ ） A. 至少有三個 B. 至少有四個 C. 有三個 D. 有四個 3. 有金盒、銀盒、鉛盒各一個，只有一個盒子里有肖像。金盒上寫有命題p：肖像

15、在這個盒子里；銀盒上寫有命題q：肖像不在這個盒子里；鉛盒上寫有命題r：肖像不在金盒里。p、q、r中有且只有一個是真命題，則肖像在 （ ） A. 金盒里 B. 銀盒里 C. 鉛盒里 D. 不能確定在哪個盒子里 4. 不等式 對于恒成立，那么的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 5. “a和b都不是偶數(shù)”的否定形式是 （ ） A. a和b至少有一個是偶數(shù) B. a和b至多有一個是偶數(shù) C. a是偶數(shù)，b不是偶數(shù) D. a和b都是偶數(shù) 二、填空題：

16、6. 若關于的方程有一正一負兩個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是_____________ 7. 已知命題，，則是_____________________ 8. 下列四個命題 ①， ②，是有理數(shù)。 ③，使 ④，使 所有真命題的序號是_____________________。 三、解答題：（解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 9. 已知；，若－p是－q的必要非充分條件，求實數(shù)的取值范圍。 10. 已知下列三個方程：中至少有一個方程有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍。 1. B 解析：根據(jù)復合命題真值的判定得到。 2. B 解析：這是一個含有量詞的命

17、題的否定。 3. B 本題考查復合命題及真值表. 解析：∵p＝非r，∴p與r一真一假，而p、q、r中有且只有一個真命題，∴q必為假命題，∴非q：“肖像在這個盒子里”為真命題，即：肖像在銀盒里. 評述：本題考查充要條件的基本知識，難點在于對周期概念的準確把握。 4. B 解析：注意二次項系數(shù)為零也可以這一情況。 5. A 解析：“a和b都不是偶數(shù)”的否定為“a和b不都不是偶數(shù)”，等價于“a和b中至少有一個是偶數(shù)”。 6. 解析：結合一元二次方程的判別式以及韋達定理解決。 7. ，使 8. ①，②，③，④ 9. 解： ∵－p是－q的必要非充分條件，，即，又，得。 10. 解：假設三個方程：都沒有實數(shù)根，則，即，得