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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題突破訓(xùn)練 數(shù)列 文
一、選擇、填空題
1、（虹口區(qū)xx高三二模）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)的和為若則
2、（黃浦區(qū)xx高三二模）在等差數(shù)列中，若，，
則正整數(shù)
3、（靜安、青浦、寶山區(qū)xx高三二模）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，且，則數(shù)列的公比
4、（浦東新區(qū)xx高三二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，
則該數(shù)列的通項(xiàng)公式
5、（普陀區(qū)xx高三一模）若無窮等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)和等于公比q，則首項(xiàng)a1的取值范圍是 ﹣2＜a1≤且a1≠0 ．
6、（徐匯、松江、金山區(qū)xx高三二模）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若
2、，則的值為
7、（閘北區(qū)xx高三一模）已知等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，則下列一定成立的是（ ）
A．若a3＞0，則axx＜0 B． 若a4＞0，則axx＜0
C．若a3＞0，則Sxx＞0 D． 若a4＞0，則Sxx＞0
8、（長(zhǎng)寧、嘉定區(qū)xx高三二模）設(shè)等差數(shù)列滿足，，的前項(xiàng)和的最大值為，則=__________
9、（崇明縣xx高三一模）現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是
10、等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為,則_____.
11、數(shù)列的
3、通項(xiàng),前項(xiàng)和為,則____________.
12、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和是,若和{}都是等差數(shù)列,且公差相等,則________
13、(文)設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,,若自然數(shù)滿足,且是等比數(shù)列,則=_______________.
二、解答題
1、（xx高考）已知數(shù)列與滿足，.
（1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)的第項(xiàng)是最大項(xiàng)，即，求證：數(shù)列的第項(xiàng)是最大項(xiàng)；
（3）設(shè)，，求的取值范圍，使得對(duì)任意，，，且.
2、（xx高考）已知數(shù)列滿足，，．
（1）若，求的取值范圍；
（2）設(shè)是等比數(shù)列，且，求正整數(shù)的最小值，以及取最小值時(shí)相應(yīng)的公比；
4、
（3）若成等差數(shù)列，求數(shù)列的公差的取值范圍．
3、（xx高考）已知函數(shù)，無窮數(shù)列滿足an+1=f(an),n∈N*
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比數(shù)列，求a1的值.
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由.
4、（奉賢區(qū)xx高三二模）設(shè)個(gè)不全相等的正數(shù)依次圍成一個(gè)圓圈．
（1）設(shè)，且是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（6分）
（2）設(shè)，若數(shù)列每項(xiàng)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng)，求；（4分）
（3）在（2）的條
5、件下，，求符合條件的的個(gè)數(shù)．（6分）
5、（虹口區(qū)xx高三二模）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足：
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)
（3）是否存在大于2的正整數(shù)使得若存在，求出所有符合條件的；若不存在，請(qǐng)說明理由.
6、（黃浦區(qū)xx高三二模） 已知數(shù)列滿足，對(duì)任意都有．
(1)求數(shù)列()的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足()，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)設(shè)，求數(shù)列()中最小項(xiàng)的值．
7、（靜安、青浦、寶山區(qū)xx高三二模）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，若中任意兩項(xiàng)之積仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，那么稱是封閉數(shù)列.
（1）若，判斷是否為封閉數(shù)列，并說明理由；
（2）證明
6、為封閉數(shù)列的充要條件是：存在整數(shù)，使；
（3）記是數(shù)列的前項(xiàng)之積，，若首項(xiàng)為正整數(shù)，公比，試問：是否存在這樣的封閉數(shù)列，使，若存在，求的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由．
8、（浦東新區(qū)xx高三二模）記無窮數(shù)列的前項(xiàng)的最大項(xiàng)為，第項(xiàng)之后的各項(xiàng)的最小項(xiàng)為，令．
（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列遞增，且是等差數(shù)列，求證：為等差數(shù)列；
（3）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，判斷是否等差數(shù)列，若是，求出公差；若不是，請(qǐng)說明理由．
9、（普陀區(qū)xx高三一模）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+an=4，n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公
7、式；
（2）已知cn=2n+3（n∈N*），記dn=cn+logCan（C＞0且C≠1），是否存在這樣的常數(shù)C，使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列，若存在，求出C的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）若數(shù)列{bn}，對(duì)于任意的正整數(shù)n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（）n﹣成立，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．
10、（閘北區(qū)xx高三一模）設(shè)數(shù)列{an}滿足：①a1=1；②所有項(xiàng)an∈N*；③1=a1＜a2＜…＜an＜an+1＜…設(shè)集合Am={n|an≤m，m∈N*}，將集合Am中的元素的最大值記為bm．換句話說，bm是數(shù)列{an}中滿足不等式an≤m的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的
8、最大值．我們稱數(shù)列{bn}為數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3．
（1）請(qǐng)寫出數(shù)列1，4，7的伴隨數(shù)列；
（2）設(shè)an=3n﹣1，求數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列{bn}的前20之和；
（3）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+c（其中c常數(shù)），求數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Tm．
11、（長(zhǎng)寧、嘉定區(qū)xx高三二模）已知函數(shù)，其中．定義數(shù)列如下：，,．
（1）當(dāng)時(shí)，求，，的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使，，構(gòu)成公差不為的等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）求證：當(dāng)時(shí)，總能找到，使得．
12、（崇明縣x
9、x高三一模） 已知等差數(shù)列滿足，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列滿足關(guān)系式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)（2）中的數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意的正整數(shù)，
恒成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．
13、已知復(fù)數(shù),其中,,,是虛數(shù)單位,且,.
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(2)求和:①;②.
14、已知數(shù)列對(duì)任意的滿足:,則稱為“Z數(shù)列”.
(1)求證:任何的等差數(shù)列不可能是“Z數(shù)列”;
(2)若正數(shù)列,數(shù)列是“Z數(shù)列”,數(shù)列是否可能是等比數(shù)列,說明理由,構(gòu)造一個(gè)數(shù)列,使得是“Z數(shù)列”;
(3)若數(shù)列是“Z數(shù)列”,設(shè)求證
15、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對(duì)于任意
10、,總有.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)在與之間插入個(gè)數(shù),使這個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列,當(dāng)公差滿足時(shí),求的值并求這個(gè)等差數(shù)列所有項(xiàng)的和;
(3)記,如果(),問是否存在正實(shí)數(shù),使得數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
參考答案
一、選擇、填空題
1、 2、 3、 4、
5、解：∵無窮等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)和等于公比q，
∴|q|＜1，且=q，
∴a1=q（1﹣q）=﹣q2+q=﹣（q﹣）2+，
由二次函數(shù)可知a1=﹣（q﹣）2+≤，
又等比數(shù)列的項(xiàng)和公比均不為0，
∴由二次函數(shù)區(qū)間的值域可得：
首項(xiàng)a1的取值范圍為：
11、﹣2＜a1≤且a1≠0
故答案為：﹣2＜a1≤且a1≠0
6、1
7、解答： 解：對(duì)于選項(xiàng)A，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列1，﹣1，1，﹣1，…，顯然滿足a3＞0，但axx=1＞0，故錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列﹣1，1，﹣1，1…，顯然滿足a4＞0，但axx=0，故錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列﹣1，1，﹣1，1…，顯然滿足a2＞0，但Sxx=0，故錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閍3=a1?q2＞0，所以 a1＞0．
當(dāng)公比q＞0時(shí)，任意an＞0，故有Sxx＞0；當(dāng)公比q＜0時(shí)，qxx＜0，故1﹣q＞0，1﹣qxx＞0，仍然有Sxx =＞0，故C
12、正確，
故選C．
8、2
9、
10、 12;
11、 7;
12、
13、
二、解答題
1、【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.
（3）因?yàn)?，所以?
當(dāng)時(shí)，
，
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，的最大值為，最小值為，
由題意，的最大值及最小值分別是及，
由及，解得，
綜上所述，的取值范圍是.
2、解答：
（1）由條件得且，解得．所以的取值范圍是．
（2）設(shè)的公比為．由，且，得．
因?yàn)?，所以．從而，，解得?
時(shí)，．所以，的最小值為，時(shí)，的公比為．
（3）設(shè)數(shù)列的公差為．
13、由，得，．
①當(dāng)時(shí)，，所以，即．
②當(dāng)時(shí)，，符合條件．
③ 當(dāng)時(shí)，，所以，，又，所以．
綜上，的公差的取值范圍為．
3、【答案】 （1）
（2）
（3）
【解析】 （1）
（2）
分情況討論如何：
（3）
討論如下:
4、解：（1）因是公比為的等比數(shù)列，
從而 1分
由， 2分
故解得或（舍去）
14、 3分
因此，又 ，解得 4分
從而當(dāng)時(shí)， 5分
當(dāng)時(shí)，由是公比為的等比數(shù)列得
6分
因此 6分
（2）由題意
7分
得,
15、 8分
9分
依此類推 10分
（3）猜想：
，一共有335 11分
得
又，④故有 12分
.⑤
16、 13分
若不然，設(shè)
若取即，則由此得，
而由③得 得 14分
由②得
而此推得（）與題設(shè)矛盾 15分
同理若P=2，3，4，5均可得（）與題設(shè)矛盾,
因此為6的倍數(shù). 16分
5、解：（1）由及 兩式相減，得
……3分
由于各項(xiàng)均為
17、正數(shù)，故由上式，可得
于是數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為：
……6分
（2）因?yàn)? ……8分
故……10分
于是 ……12分
（3）假設(shè)存在大于2的正整數(shù)使得
由（1），可得
從而 ……14分
由于正整數(shù)均大于2，知 ……16分
故由得
因此，存在大于2的正整數(shù)使得
……18分
6、解(1) 對(duì)任意都有成立，，
∴令，得．
∴數(shù)列()是首項(xiàng)
18、和公比都為的等比數(shù)列．
∴．
(2) 由()，得
()．
故．
當(dāng)時(shí)，．
于是，
當(dāng)時(shí)，；
19、
當(dāng)時(shí)，
又時(shí)，，
綜上，有
(3)，，
∴，．
∴數(shù)列()是單調(diào)遞增數(shù)列，即數(shù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)是，其值為3．
20、
7、解：（1）不是封閉數(shù)列，因?yàn)?，…………………………………?1分
對(duì)任意的，有，…………………………………… 2分
若存在，使得，即，，該式左邊為整數(shù)，右邊是無理數(shù)，矛盾．所以該數(shù)列不是封閉數(shù)列…………………………………… 4分
（2）證明：（必要性）任取等比數(shù)列的兩項(xiàng)，若存在使，則，解得.故存在，使，…… 6分
下面證明整數(shù)．
對(duì)，若，則取，對(duì)，存在使，
即，，所以，矛盾，
故存在整數(shù)，使．…………………………………… 8分
（充分性）若存在整數(shù)，使，則，
對(duì)任意，因?yàn)椋?
所以是封閉數(shù)列. …………………………………… 10分
（3）由于，所以，……………11分
21、
因?yàn)槭欠忾]數(shù)列且為正整數(shù),所以，存在整數(shù)，使，
若，則，此時(shí)不存在．所以沒有意義…12分
若，則，所以，………………… 13分
若，則，于是，
所以，…………………………………… 16分
若，則，于是，
所以，…………………………………… 17分
綜上討論可知：，，該數(shù)列是封閉數(shù)列．……… 18分
8、解：因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，，
所以；；……………………………………2分
當(dāng)時(shí)，
數(shù)列的通項(xiàng)公式 ………………………………4分
（2）數(shù)列遞增，即，令數(shù)列公差為
…………………………………6分
所以為等差數(shù)列.……………………
22、…………………………………10分
（3）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，遞減且.…………12分
由定義知，………………………………………………14分
，數(shù)列遞增，即…………16分
………………18分
9、解答： （1）解：∵且Sn+an=4，n∈N*．∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1+an﹣1=4，∴an+an﹣an﹣1=0，即．
當(dāng)n=1時(shí)，2a1=4，解得a1=2．
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，an==22﹣n．
（2）解：dn=cn+logCan=2n+3+=2n+3+（2﹣n）logC2=（2﹣logC2）n+3+2logC2，
假設(shè)存在這樣的常數(shù)C，使得
23、數(shù)列{dn}是常數(shù)列，
則2﹣logC2=0，解得C=．
∴存在這樣的常數(shù)C=，使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列，dn=3+=7．
（3）證明：∵對(duì)于任意的正整數(shù)n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（）n﹣成立（*），
∴b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1=．①
（*）兩邊同乘以可得：b1an+1+b2an+…+bna2=﹣．②．
①﹣②可得bn+1a1==，
∴，∴，（n≥3）．
又2b1=，解得b1=．
b1a2+b2a1=，
∴+b2×2=﹣，解得b2=．
當(dāng)n=1，2時(shí)，，也適合．
∴，（n∈N*）是等差數(shù)列．
10、解答： 解
24、：（1）數(shù)列1，4，7的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，（后面加3算對(duì)），
（2）由，得
∴當(dāng)1≤m≤2，m∈N*時(shí)，b1=b2=1，
當(dāng)3≤m≤8，m∈N*時(shí)，b3=b4=…=b8=2，
當(dāng)9≤m≤20，m∈N*時(shí)，b9=b28=…=b20=3，
∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50，
（3）∵a1=S1=1+c=1，∴c=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1，
∴，
由an=2n﹣1≤m得：
因?yàn)槭沟胊n≤m成立的n的最大值為bm，
所以，
當(dāng)m=2t﹣1（t∈N*）時(shí)：，
當(dāng)m=2t（t∈N*）時(shí)：，
所以．
11、（1
25、）因?yàn)椋剩? ………………………………（1分）
因?yàn)?，所以，…………?分）
， …………（3分）
． …………（4分）
（2）解法一：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，，構(gòu)成公差不為的等差數(shù)列．
則得到，，．…（2分）
因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以， …………3分
所以，，化簡(jiǎn)得，
解得（舍）,． …………………………………（5分）
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)的公差不為0，
所以存在，使得，，構(gòu)成公差不為的等差數(shù)列． …………（6分）
方法二：因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，
即， …………………………
26、………………（2分）
所以，即．
因?yàn)楣?，故，所以解得?………（5分）
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，，的公差不為0．
所以存在，使得，，構(gòu)成公差不為的等差數(shù)列． …………（6分）
（3）因?yàn)? …………（2分）
又 , 所以令 …………………………（3分）
由，，……，，
將上述不等式全部相加得，即， …………………（5分）
因此要使成立，只需，
所以，只要取正整數(shù)，就有．
綜上，當(dāng)時(shí)，總能找到，使得．
12、解：（1）等差數(shù)列滿足
得
所以，
（2）
由上時(shí)，
由于當(dāng)時(shí)，，所以
（3）由
得對(duì)一
27、切恒成立，
由于為減函數(shù)，所以，取值范圍是。
13、解:(1),,.
由得,
數(shù)列是以1為首項(xiàng)公比為3的等比數(shù)列,數(shù)列是以1為首項(xiàng)公差為2的等差數(shù)列,,
(2)由(1)知,.
①
②令, (Ⅰ)
將(Ⅰ)式兩邊乘以3得 (Ⅱ)
將(Ⅰ)減(Ⅱ)得.
,
14、解:(1)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng),公差,
所以任何的等差數(shù)列不可能是“Z數(shù)列”
或者根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì):
所以任何的等差數(shù)列不可能是“Z數(shù)列”
(2)假設(shè)是等比數(shù)列,則
是“Z數(shù)列”,所以
,所以不可能是等比數(shù)列,
等比數(shù)列只要首項(xiàng)公比
28、其他的也可以:
等比數(shù)列的首項(xiàng),公比,通項(xiàng)公式
恒成立,
補(bǔ)充說明:分析:,
根據(jù)幾何意義只要的一階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞減就可以
(3)因?yàn)?
,,,,
同理:
因?yàn)閿?shù)列滿足對(duì)任意的
所以
15、(1)當(dāng)時(shí),由已知,得.
當(dāng)時(shí),由,,兩式相減得,
即,所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.
所以,()
(2)由題意,,故,即,
因?yàn)?所以,即,解得,
所以.所以所得等差數(shù)列首項(xiàng)為,公差為,共有項(xiàng)
所以這個(gè)等差數(shù)列所有項(xiàng)的和
所以,,
(3)由(1)知,所以
由題意,,即對(duì)任意成立,
所以對(duì)任意成立
因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增的,所以的最小值為.
所以.由得的取值范圍是.
所以,當(dāng)時(shí),數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列
2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題突破訓(xùn)練 數(shù)列 文
