2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第4講 平面向量的應(yīng)用習(xí)題 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第4講 平面向量的應(yīng)用習(xí)題 理 新人教A版 一、選擇題 1.已知點(diǎn)A(－2，0)，B(3，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足·＝x2，則點(diǎn)P的軌跡是(　　) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 解析　＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)， ∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6. 答案　D 2.在△ABC中，(＋)·＝||2，則△ABC的形狀一定是(　　) A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析　由(＋)·＝||2， 得·(＋－)＝0， 即·(＋＋

2、)＝0，2·＝0， ∴⊥，∴A＝90°. 又根據(jù)已知條件不能得到||＝||， 故△ABC一定是直角三角形. 答案　C 3.(xx·深圳調(diào)研)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，則·＝(　　) A.2 B.2 C.－2 D.－2 解析　由余弦定理得cos A＝＝＝－， 所以·＝||·||cos A＝2×2×＝－2，故選D. 答案　D 4.已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有兩相等實(shí)根，則向量a與b的夾角是(　　) A.－ B.－ C. D. 解析　由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2

3、cos θ＝0， ∴cos θ＝－，又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 答案　D 5.(xx·杭州質(zhì)量檢測(cè))設(shè)O是△ABC的外心(三角形外接圓的圓心).若＝＋，則∠BAC的度數(shù)等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　取BC的中點(diǎn)D，連接AD，則＋＝2 .由題意得3＝2，∴AD為BC的中線且O為重心.又O為外心，∴△ABC為正三角形，∴∠BAC＝60°，故選C. 答案　C 二、填空題 6.(xx·廣州綜合測(cè)試)在△ABC中，若·＝·＝2，則邊AB的長(zhǎng)等于________. 解析　由題意知·＋·＝4，即·(＋)＝4，即·＝4，∴||＝2. 答案　2

4、7.(xx·天津十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則·的最大值為________. 解析　以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則C(1，1)，M，設(shè)E(x，0)，x∈[0，1]， 則·＝(1－x，1)·＝(1－x)2＋， x∈[0，1]時(shí)，(1－x)2＋單調(diào)遞減，當(dāng)x＝0時(shí)，·取得最大值. 答案　 8.(xx·太原模擬)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值與最小值的和為________. 解析　由題意可得a·b＝cos θ－sin θ＝2cos，則

5、|2a－b|＝＝＝∈[0，4]，所以|2a－b|的最大值與最小值的和為4. 答案　4 三、解答題 9.已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a－b|＝，求證：a⊥b； (2)設(shè)c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值. (1)證明　由題意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2. 又因?yàn)閍2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2a·b＝2，即a·b＝0， 故a⊥b. (2)解　因?yàn)閍＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)， 所以 由此得，cos α＝c

6、os(π－β). 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β. 代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝. 又α＞β，所以α＝，β＝. 10.(xx·襄陽測(cè)試)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝x，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)若x＝π，設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，求|＋|的最小值； (2)若x∈，向量m＝，n＝(1－cos x，sin x－2cos x)，求m·n的最小值及對(duì)應(yīng)的x值. 解　(1)設(shè)D(t，0)(0≤t≤1)， 由題意知C，所以＋＝， 所以|＋|2＝－t＋t2＋＝t2－t＋1

7、 ＝＋(0≤t≤1)， 所以當(dāng)t＝時(shí)，|＋|最小，為. (2)由題意得C(cos x，sin x)，m＝＝(cos x＋1，sin x)， 則m·n＝1－cos2x＋sin2x－2sin xcos x＝1－cos 2x－sin 2x ＝1－sin， 因?yàn)閤∈，所以≤2x＋≤， 所以當(dāng)2x＋＝，即x＝時(shí)， sin取得最大值1. 所以m·n的最小值為1－，此時(shí)x＝. 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 11.(xx·衡水中學(xué)一調(diào))已知|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有極值，則向量a與b的夾角的范圍是(　　) A. B.

8、 C. D. 解析　設(shè)a與b的夾角為θ.∵f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx. ∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b.∵函數(shù)f(x)在R上有極值， ∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜， 又∵|a|＝2|b|≠0，∴cos θ＝＜＝，即cos θ＜， 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈，故選C. 答案　C 12.(xx·鄭州質(zhì)檢)在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M、N是斜邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝，則·的取值范圍為(　　) A. B.[2，4] C.[3，6] D.[4，6] 解析　設(shè)MN的中點(diǎn)為E，則有

9、＋＝2， ·＝ ＝2－2＝2－， 又||的最小值等于點(diǎn)C到AB的距離， 即，故·的最小值為－＝4.當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A(或B)重合時(shí)， ||達(dá)到最大，易知||的最大值為＝，故·的最大值為6，因此·的取值范圍是[4，6]. 答案　D 13.在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，則λ＝________. 解析　∵＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－， ∴·＝－2?[(1－λ)－]·[λ－]＝－2， 化簡(jiǎn)得(1－λ)λ·－(1－λ)2－λ2＋· ＝－2，又因?yàn)椤ぃ?，2＝4，2＝1， 所以－(1－λ)×4－λ×1＝－2， 解得

10、λ＝. 答案　 14.(xx·江西五校聯(lián)考)已知向量m＝，n＝. (1)若m·n＝1，求cos的值； (2)記f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足(2a－c)cos B＝bcos C，求函數(shù)f(A)的取值范圍. 解　m·n＝sin cos ＋cos2 ＝sin ＋cos ＋＝sin＋. (1)∵m·n＝1，∴sin＝， cos＝1－2sin2＝， cos＝－cos＝－. (2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理得 (2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin(B＋C). ∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A，且sin A≠0， ∴cos B＝，B＝.∴0＜A＜. ∴＜＋＜，＜sin＜1. 又∵f(x)＝m·n＝sin＋， ∴f(A)＝sin＋， 故1＜f(A)＜. 故函數(shù)f(A)的取值范圍是.