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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)概念知識梳理1 蘇教版
知識點反思梳理:
【只要都有則函數(shù)就在區(qū)間上單調(diào)遞增】
Ⅱ.觀察下列函數(shù)圖象不難發(fā)現(xiàn):雖然函數(shù)都是遞增(遞減)函數(shù),可是增減的快慢(陡峭程度)卻各不相同。究竟怎樣刻畫、區(qū)別函數(shù)的陡峭程度呢?比如“越陡值就越大…….’
那么又是為了研究什么發(fā)明的“平均變化率”、“瞬時變化率“、”導(dǎo)數(shù)”呢??
Ⅲ.發(fā)明一個什么樣的“數(shù)學(xué)工具模型”才能“刻畫變量變化的快與慢?”
數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微。
如何量化曲線的陡峭程度?
Ⅳ.平均變化率 :一般地,函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2
2、]上的平均變化率。簡記為
Ⅴ. 平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”,曲線陡峭程度是平均變化率“視覺化”.
Ⅵ. 平均變化率量化一段曲線的“陡峭程度、快慢程度”是“粗糙不精確的”,
Ⅶ.但應(yīng)注意當(dāng)很小時,這種量化便由“粗糙”逼近“精確”。
Ⅷ.【導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景:】
1. 如圖,設(shè)曲線c是函數(shù)的圖象,點是曲線 c 上一點作割線PQ當(dāng)點Q 沿著曲線c無限地趨近于點P,割線PQ無限地趨近于某一位置PT我們就把該位置上的直線PT,叫做曲線c在點P 處的切線割線斜率切線斜率也叫是函數(shù)在點的瞬時變化率.
2..函數(shù)在該點處的這個具有預(yù)測、導(dǎo)性的數(shù),數(shù)學(xué)上也常把它叫做“導(dǎo)數(shù)’
3.分別說出
3、下列符號語言的含義:①; ②; ③; .④.
4.導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為導(dǎo)數(shù),這要加以區(qū)分:求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù),就是求導(dǎo)函數(shù);求一個函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù),就是求導(dǎo)函數(shù)值它們之間的關(guān)系是函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點的函數(shù)值
5.與的區(qū)別:
在對導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行理解時,特別要注意與是不一樣的,代表函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值,不一定為0;而是函數(shù)值的導(dǎo)數(shù),而函數(shù)值是一個常量,其導(dǎo)數(shù)一定為0,即=0。
例1.已知曲線在處的切線的傾斜角為,則 , .
變式1:已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且有則?
例2:.如圖,水以常速(單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,請分別找出
4、與各容器對應(yīng)的水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系圖像.
2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:就是函數(shù)在點處的切線斜率.請分別觀察上述圖象隨著的增大值增加的快慢與切線斜率的大小關(guān)系?
練習(xí):(xx江西)如圖,一個正五角星薄片(其對稱軸與水面垂直)勻速地升出水面,記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為,則導(dǎo)函數(shù)的圖像大致為
練習(xí):單位圓中弧AB長為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成弓形面積的2倍。則函數(shù)f(x)的圖像是( )
A B C D
解析一:
5、定量分析??闪谐鰂(x)=x-sinx,知0x,f(x)圖像在y=x上方。選D
解二:定性分析。當(dāng)x從增至2π時,f(x)變化經(jīng)歷了從慢到快,從快到慢的過程,選D
命題意圖與思路點撥:此題考查學(xué)生作圖、識圖、用圖的能力。解析二與解析三直接避開求f(x)解析式,把圖像與性質(zhì)對應(yīng),通過性質(zhì),作出判斷,本題對學(xué)生分析思考能力,要求較高。
例3.若直線為函數(shù)圖象的切線,求b的值和切點坐標(biāo).
變式1.求曲線y=x2在點(1,1)處的切線方程.
變式2:求曲線y=x2過點(0,-1)的切線方程
變式3:求曲線y=x3
6、過點(1,1)的切線方程
變式4:已知直線,點P為y=x2上任意一點,求P在什么位置時到直線距離最短.
變式5:求函數(shù) 圖象上的點到直線的距離的最小值及相應(yīng)點的坐標(biāo).
解:首先由得 知,兩曲線無交點.
,要與已知直線平行,須,
故切點:(0 , -2). .
例4:【xx海南寧夏文21/22】設(shè)函數(shù),曲線在點處的切線方程為.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)證明:曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.
解:(Ⅰ)方程可化為,當(dāng)時,;
又,于是,解得, 故
(Ⅱ)設(shè)為曲線上任一點,由知曲線在點處的切線方程為
,即
令,得,從而得切線與直
7、線的交點坐標(biāo)為;
令,得,從而得切線與直線的交點坐標(biāo)為;
所以點處的切線與直線所圍成的三角形面積為;
故曲線上任一點處的切線與直線所圍成的三角形面積為定值6.
練習(xí):曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為 。
練習(xí):(10全國2)(10)若曲線在點處的切線與兩個坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18,則 . .
【命題意圖】本試題主要考查求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法和三角形的面積公式,考查考生的計算能力..
【解析】,切線方程是,令,,令,,∴三角形的面
8、積是,解得.
練習(xí):【致遠(yuǎn)中學(xué)等xx屆高三第一次調(diào)研y
x
O
P
M
Q
N
】14.圖為函數(shù)
軸和直線分別
交于點P、Q,點N(0,1),若△PQN的面積為b
時的點M恰好有兩個,則b的取值范圍為 ▲ .
【江蘇·鹽城】8.設(shè)為曲線上一點,曲線在點處的切線的斜率的范圍是,則點縱坐標(biāo)的取值范圍是____▲____.
例5: 【啟東中學(xué)xx高三備課組】★你能正確使用切點與交點嗎?
15.(本小題滿分16分)如圖,在函數(shù)的圖像上取4個點,過點 作切線(,如果∥,且圍成的圖形是矩形記為M.
(1)證明四邊形是平行四邊形;
A1
A2
A3
9、A4
x
y
0
(2)問矩形M的短邊與長邊的比是否有最大值,若有,求與的斜率,若沒有,
請證明.
(1)設(shè)直線的斜率為(,
由,得 ------------------------------2分
由題意,,又點不重合,故,,
從而,,---------------------------------------------5分
因此,都關(guān)于原點對稱,
故四邊形是平行四邊形;------------------------------------7分
(2)有最大值; --------
10、-------------------------------------------9分
設(shè),
,即,且
設(shè)與的距離為,與的距離為
(k>1)-------11分
令(x>1)
,
當(dāng)時為增函數(shù),
當(dāng)時為減函數(shù),
故當(dāng),---------------14分
因為 ,因此矩形M的短邊與長邊的比有最大值,
與的斜率分別為和,-----------------------------16分
練習(xí):已知曲線與。直線l與、都相切,求直線l的方程。解:設(shè)l與相切于點,與相切于。對,則與相切于點P的切線方程為,即。 ①
對,則與相切于點Q的切線
11、方程為 ,即。 ②
∴直線方程為y=0或y=4x-4。
課外作業(yè):
1.已知函數(shù)()的圖象為曲線.
(1)求過曲線上任意一點的切線斜率的取值范圍;
(2)若在曲線上存在兩條相互垂直的切線,求其中一條切線與曲線的切點的橫
坐標(biāo)的取值范圍;
(3)試問:是否存在一條直線與曲線C同時切于兩個不同點?如果存在,求出符合
條件的所有直線方程;若不存在,說明理由.
解:(1),則,
即過曲線上任意一點的切線斜率的取值范圍是;------------4分
(2)由(1)可知,----------------------------------------------
12、-----------6分
解得或,由或
得:;-------------------------------9分
(3)設(shè)存在過點A的切線曲線C同時切于兩點,另一切點為B,
,
則切線方程是:,
化簡得:,--------------------------11分
而過B的切線方程是,
由于兩切線是同一直線,
則有:,得,----------------------13分
又由,
即
,即
即,
得,但當(dāng)時,由得,這與矛盾。
所以不存在一條直線與曲線C同時切于兩點。----------------------------------16分