4、
二、填空題
6.(xx·九江模擬)函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
解析 函數(shù)f(x)=(x-3)ex的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=[(x-3)ex]′=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.
f′(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.
答案 (2,+∞)
7.(xx·廣州模擬)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1時有極值0,則a-b=________.
解析 由題意得f′(x)=3x2+6ax+b,則
解得或
經(jīng)檢驗當(dāng)a=1,b=3時,函數(shù)f(x)在x=-1處無法取得極值,而a=2,b=9滿足題意,故a-b=-7.
答案?。?
8.
5、(xx·煙臺模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=x3--2x+5,若對任意的x∈[-1,2],都有f(x)>a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析 f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,得3x2-x-2=0,解得x=1或x=-,又f(1)=,f=,f(-1)=,故f(x)min=,∴a<.
答案
三、解答題
9.(xx·安徽卷)已知函數(shù)f(x)=(a>0,r>0).
(1)求f(x)的定義域,并討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若=400,求f(x)在(0,+∞)內(nèi)的極值.
解 (1)由題意知x≠-r,所求的定義域為(-∞,-r)∪(-r,+∞).
f(x)==,
f′(x
6、)==,
所以當(dāng)x<-r或x>r時,f′(x)<0;
當(dāng)-r<x<r時,f′(x)>0.
因此,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-r,r).
(2)由(1)的解答可知f′(r)=0,f(x)在(0,r)上單調(diào)遞增,在(r,+∞)上單調(diào)遞減.
因此,x=r是f(x)的極大值點(diǎn),所以f(x)在(0,+∞)內(nèi)的極大值為f(r)====100.
10.設(shè)函數(shù)f(x)=aln x-bx2(x>0),若函數(shù)f(x)在x=1處與直線y=-相切.
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值.
解 (1)f′(x)=-2bx(x>
7、0),∵函數(shù)f(x)在x=1處與直線y=-相切,
∴解得
(2)f(x)=ln x-x2,f′(x)=-x=,
∵當(dāng)≤x≤e時,令f′(x)>0得≤x<1;
令f′(x)<0,得1<x≤e, ∴f(x)在上單調(diào)遞增,在[1,e]上單調(diào)遞減,
∴f(x)max=f(1)=-.
能力提升題組
(建議用時:40分鐘)
11.(xx·安徽卷)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是( )
A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0
C.a<0,b<0,c>0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0
解析
8、 ∵函數(shù)f(x)的圖象在y軸上的截距為正值,∴d>0,∵f′(x)=3ax2+2bx+c,且函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d在(-∞,x1)上單調(diào)遞增,(x1,x2)上單調(diào)遞減,(x2,+∞)上單調(diào)遞增,∴f′(x)<0的解集為(x1,x2),∴a>0,又x1,x2均為正數(shù),∴>0,->0,可得c>0,b<0.
答案 A
12.(xx·衡水中學(xué)月考)已知f(x)是可導(dǎo)的函數(shù),且f′(x)e2 016f(0)
B.f(1)>ef(0),f(2 016)>e2 016f(0)
C.f(1)>ef(0
9、),f(2 016)
10、0,解得a>-.
所以a的取值范圍是.
答案
14. (xx·日照實(shí)驗高中模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R).
(1)當(dāng)k=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)k∈時,求函數(shù)f(x)在[0,k]上的最大值M.
解 (1)當(dāng)k=1時,f(x)=(x-1)ex-x2,
∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2).
令f′(x)=0,得x1=0,x2=ln 2.
當(dāng)x變化時,f′(x)、f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,ln 2)
ln 2
(ln 2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
11、f(x)
極大值
極小值
由表可知,函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(0,ln 2),遞增區(qū)間為(-∞,0),(ln 2,
+∞).
(2)f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k),
∵g(1)=1-ln 2>0,
∴k-ln 2k>0即k>ln 2k,
∴f
12、(x)在(0,ln 2k)上單調(diào)遞減,在(ln 2k,k)上單調(diào)遞增,
∴f(x)在[0,k]上的最大值應(yīng)在端點(diǎn)處取得.
而f(0)=-1,f(k)=(k-1)ek-k3,
下面比較f(0)與f(k)的大小.
令h(k)=f(k)-f(0)=(k-1)ek-k3+1,
則h′(k)=k(ek-3k),
再令φ(k)=ek-3k,則φ′(k)=ek-30,
當(dāng)k∈(x0,1)時,φ(k)<0,
∴h(k)在上單調(diào)遞增,在(x0,1)上單調(diào)遞減.
又h=- +>0,h(1)=0.
∴h(k)≥0在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取“=”.
綜上,函數(shù)f(x)在[0,k]上的最大值M=(k-1)ek-k3.