2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 階段回扣練(四) 三角函數(shù)、解三角形習(xí)題 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 階段回扣練(四) 三角函數(shù)、解三角形習(xí)題 理 新人教A版 一、填空題 1.(xx·揚(yáng)州期末)已知α∈(0,π),cos α=-,則tan=________. 解析 因?yàn)棣痢?0,π),cos α=-,所以sin α=,所以tan α=-,從而tan===. 答案  2.(xx·宿遷調(diào)研)已知sin αcos α=,且<α<,則cos α-sin α的值為_(kāi)_______. 解析 因?yàn)?α<, 所以cos α<0,sin α<0且|cos α|<|sin α|,所以cos α-sin α>0. 又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α

2、=1-2×=, 所以cos α-sin α=. 答案  3.(xx·湖北七市(州)聯(lián)考)將函數(shù)g(x)=3sin圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位,再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,得到函數(shù)f(x)的解析式為_(kāi)_______. 解析 依題意,將函數(shù)g(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的曲線方程是y=3sin=3cos 2x,再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,得到的曲線方程是y=3cos 4x,即f(x)=3cos 4x. 答案 f(x)=3cos 4x 4.(xx·江蘇卷)已知函數(shù)y=cos x與y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn),則φ的值是________. 解析

3、 由題意cos=sin,即sin=,所以+φ=2kπ+或2kπ+(k∈Z),因?yàn)?≤φ<π,所以φ=. 答案  5.已知sin=,α∈,則cos α=________. 解析 ∵α∈,∴α+∈, ∴cos=- =-=-, ∴cos α=cos=coscos +sinsin =×+×=. 答案  6.(xx·合肥檢測(cè))函數(shù)f(x)=sin 2x+cos 2x圖象的一條對(duì)稱軸方程是________(填序號(hào)). ①x=-;②x=;③x=;④x=. 解析 依題意得f(x)=2sin,且f=2sin=-2,因此其圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,故填④. 答案?、? 7.(xx·南通調(diào)研)將函

4、數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則φ等于________. 解析 將函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖象向右平移后得到y(tǒng)=sin=sin,因?yàn)樵摵瘮?shù)是奇函數(shù),且0<φ<π,所以φ=. 答案  8.某登山隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為45°,沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn) 1 000 m后到達(dá)D處,又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?0°,則山的高度BC為_(kāi)_______m. 解析 過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交BC于E,因?yàn)椤螪AC=30°,故∠ADE=150°.于是∠ADB=360°-150°-60°=150°.又∠BAD=45°-30°=15

5、°, 故∠ABD=15°,由正弦定理,得AB= ==500(+)(m) 所以在Rt△ABC中,BC=ABsin 45°=500(+1)(m). 答案 500(+1)m 9.(xx·南京、鹽城調(diào)研)在△ABC中,BC=2,A=,則·的最小值為_(kāi)_______. 解析 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos ≥2AB·AC+AB·AC=3AB·AC,所以AB·AC≤. 所以·=AB·ACcos=-AB·AC≥-, 故(·)min=-.當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)等號(hào)成立. 答案?。? 10.(xx·南通一模)在△ABC中,已知a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,S為

6、△ABC的面積.若向量p=(4,a2+b2-c2),q=(,S)滿足p∥q,則C=________. 解析 由p∥q,得(a2+b2-c2)=4S=2absin C,即=sin C,由余弦定理的變式,得cos C=sin C,即tan C=,因?yàn)?

7、7 12.如圖所示的是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的一部分,則其函數(shù)解析式是________. 解析 由圖象知A=1,=-=,得T=2π,則ω=1,所以y=sin(x+φ).由圖象過(guò)點(diǎn),可得φ=2kπ+(k∈Z), 又|φ|<,所以φ=,所以所求函數(shù)解析式是 y=sin. 答案 y=sin 13.(xx·揚(yáng)州一檢)銳角△ABC中,若A=2B,則的取值范圍是________. 解析 因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,且A=2B, 所以 所以

8、蘇北四市調(diào)研)已知<α<π,-π<β<0,tan α=-,tan β=-,則2α+β等于________. 解析 tan 2α===-, tan(2α+β)= ==-1. 因?yàn)?α<π,-10,ω>0)的最大值為3,其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)設(shè)α∈,f=2,求α的

9、值. 解 (1)∵函數(shù)f(x)的最大值為3, ∴A+1=3,即A=2, ∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為, ∴最小正周期T=π, ∴ω=2,故函數(shù)f(x)的解析式為y=2sin+1. (2)f =2sin+1=2, 即sin=, ∵0<α<,∴-<α-<, ∴α-=,故α=. 16.(xx·蘇、錫、常、鎮(zhèn)一模)設(shè)函數(shù)f(x)=6cos2x-2·sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期和值域; (2)在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f(B)=0且b=2,cos A=,求a和sin C. 解 (1)f(x)=6×-sin 2x=3

10、cos 2x-sin 2x+3=2cos+3. 所以f(x)的最小正周期T==π, 值域?yàn)閇3-2,3+2]. (2)由f(B)=0,得cos=-. ∵B為銳角,∴<2B+<,2B+=, ∴B=. ∵cos A=,A∈(0,), 所以sin A==. 在△ABC中,由正弦定理得a===. 所以sin C=sin(π-A-B)=sin =cos A+sin A=. 17.(xx·南京、鹽城模擬)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,m=(cos A,cos C),n=(c-2b,a),且m⊥n. (1)求角A的大小; (2)若AC=BC,且BC邊上的中線A

11、M的長(zhǎng)為,求△ABC的面積. 解 (1)由m⊥n,得(2b-c)cos A=acos C, 所以(2sin B-sin C)cos A=sin Acos C, 即2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 即2sin Bcos A=sin B, 因?yàn)閟in B≠0, 所以cos A=,于是A=. (2)由(1)知A=,又AC=BC, 所以C=.設(shè)AC=x,則MC=x. 在△AMC中,由余弦定理得 AC2+MC2-2AC·MCcos C=AM2, 即x2+-2x·cos=()2, 解得x=2, 故S△ABC=×22×sin=. 18.(xx·

12、泰州調(diào)研)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,tan C=. (1)求角C的大小; (2)若△ABC的外接圓直徑為1,求a2+b2的取值范圍. 解 (1)因?yàn)閠an C=, 即=, 所以sin Ccos A+sin Ccos B=cos Csin A+cos Csin B, 即sin Ccos A-cos Csin A=cos Csin B-sin CcosB. 得sin(C-A)=sin (B-C). 所以C-A=B-C,或C-A=π-(B-C)(不成立). 即2C=A+B,得C=. (2)由C=,設(shè)A=+α,B=-α,0

13、Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B, 故a2+b2=sin2A+sin2B =+ =1- =1+cos 2α. 由-<α<,知-<2α<,-

14、(1)如圖,作AN⊥CD于N. 因?yàn)锳B∥CD,AB=9,CD=15, 所以DN=6,NC=9. 設(shè)AN=x,∠DAN=θ, 因?yàn)椤螩AD=45°, 所以∠CAN=45°-θ. 在Rt△ANC和Rt△AND中, tan θ=,tan(45°-θ)=, 因?yàn)閠an(45°-θ)=, 所以=, 整理得x2-15x-54=0, 解得x1=18,x2=-3(舍去). 所以BC的長(zhǎng)度為是18 m. (2)設(shè)BP=t,所以PC=18-t,tan α=,tan β=, 則tan(α+β)= = =- =- ≥-, 當(dāng)且僅當(dāng)t+27=, 即t=15-27時(shí),tan(α+

15、β)最小. 20.(xx·南京二模)某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤,現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)布設(shè)一個(gè)對(duì)角線在l上的四邊形電氣線路,如圖所示,為充分利用現(xiàn)有材料,邊BC,CD有一根5米長(zhǎng)的材料彎折而成,邊BA,AD用一根9米長(zhǎng)的材料彎折而成,要求∠A和∠C互補(bǔ),且AB=BC. (1)設(shè)AB=x米,cos A=f(x),求f(x)的解析式,并指出x的取值范圍; (2)求四邊形ABCD面積的最大值. 解 (1)在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos A. 同理,在△CBD中,BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cos C. 因?yàn)椤螦和∠C互補(bǔ),所以AB2+AD2-2AB·AD·co

16、s A=CB2+CD2-2CB·CD·cos C=CB2+CD2+2CB·CD·cos A, 即x2+(9-x)2-2x(9-x)cos A=x2+(5-x)2+2x(5-x)cos A. 解得cos A=,即f(x)=,其中x∈(2,5). (2)四邊形ABCD的面積 S=(AB·AD+CB·CD)sin A =[x(9-x)+x(5-x)] =x(7-x) = = 記g(x)=(x2-4)(x2-14x+49),x∈(2,5). 由g′(x)=2x(x2-14x+49)+(x2-4)(2x-14)=2(x-7)(2x2-7x-4)=0, 解得x=4. 函數(shù)g(x)在區(qū)間 (2,4)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞減. 因此g(x)的最大值為g(4)=12×9=108. 所以S的最大值為=6.

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