2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 第5課時數(shù)學(xué)歸納法課時作業(yè) 理 新人教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 第5課時數(shù)學(xué)歸納法課時作業(yè) 理 新人教版 考綱索引 1. 數(shù)學(xué)歸納法的概率及原理. 2. 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用. 課標要求 1. 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理. 2. 能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題. (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取　　　　時命題成立.? (2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k≥k0,k∈N*)時命題成立,證明當(dāng)　　　　時命題也成立.? 2. 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時特別注意: (1)數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與　　　　有關(guān)的命題.? (2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中,兩個基本步驟缺一不可. 基礎(chǔ)自測 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n∈N,n≥

2、3),第一步應(yīng)驗證(　　). A. n=1 B. n=2 C. n=3 D. n=4 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+…+2n+1=2n+2-1(n∈N*)的過程中,在驗證n=1時,左端計算所得的項為(　　). A. 1 B. 1+2 C. 1+2+22 D. 1+2+22+23 指 點 迷 津　　 【想一想】　對于數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個基本步驟,你是如何理解的? 【答案】　第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),第二步中,歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用,在第二步的證明中一定要運用它,否則就不是數(shù)學(xué)歸納法,第二步的關(guān)鍵是“一湊假設(shè),

3、二湊結(jié)論.” 考點透析 考向一　用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式 【方法總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵是第二步由n=k到n=k+1的過渡,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,即借助于已經(jīng)學(xué)過的公式、定理或運算法則進行恒等變形,把n=k+1時的表達式拼湊出歸納假設(shè)的形式,再把運用歸納假設(shè)后的式子進行變形、證明. 變式訓(xùn)練 考向二　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 例2　設(shè)f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N*. (1)當(dāng)n=1,2,3,4時,試比較f(n)與g(n)的大小; (2)根據(jù)(1)的結(jié)果猜測一個一般性結(jié)論,并加以證明. 【方法總結(jié)】用數(shù)學(xué)

4、歸納法證明不等式時常常要用到放縮法,即在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上,通過放大或縮小技巧變換出要證明的目標不等式,事實上,在合理運用歸納假設(shè)后,可以使用證明不等式的任何方法證明目標式成立. 變式訓(xùn)練 考向三　用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 【方法總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”,即幾何元素從k個變成k+1個時,所證的幾何量將增加多少,這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析;事實上,將n=k+1和n=k分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的一大技巧. 變式訓(xùn)練 3. 平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,且每三個圓

5、都不相交于同一點,則這n個圓將平面分成不同的區(qū)域的個數(shù)為(　　). A. 2n B. 2n C. n2-n+2 D. n2+n+1 考向四　用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題 例4　已知n為正整數(shù),a∈Z,用數(shù)學(xué)歸納法證明: an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除. 【方法總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,P(k)?P(k+1)的整式變形是個難點,找出它們之間的差異,然后將P(k+1)進行分拆、配湊成P(k)的形式,也可運用結(jié)論:“P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除?P(k+1)能被p整除.” 變式訓(xùn)練 4. 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n+1+3n+

6、2能被13整除,其中n為正整數(shù). 考向五　歸納一猜想一證明 例5　設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=-nan+1,n=1,2,3,…. (1)當(dāng)a1=2時,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一個通項公式; (2)當(dāng)a1≥3時,證明:對所有的n≥1,有an≥n+2. 【方法總結(jié)】“歸納——猜想——證明的模式”,是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合運用的解題模式,這種方法在解決探索性、存在性問題時起著重要作用,它的證題模式是先由歸納推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的正確性,這種思維方式是推動數(shù)學(xué)研究與發(fā)展的重要方式. 變式訓(xùn)練 經(jīng)典考題

7、 真題體驗 1. (xx·廣東)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15. (1)求a1,a2,a3的值; (2)求數(shù)列{an}的通項公式. 2. (xx·陜西)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf'(x),x≥0,其中f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù). (1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表達式; (2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍; (3)設(shè)n∈N+,比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小,并加以證明.

8、 參考答案與解析 知識梳理 1. (1)第一個值n0(n0∈N*)　(2)n=k+1 2. (1)正整數(shù) 基礎(chǔ)自測 考點透析 【例4】　(1)當(dāng)n=1時,an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除, 那么當(dāng)n=k+1時, ak+2+(a+1)2k+1=(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]+ak+2-ak+1(a+1)2 =(a+1)2[ak+1+(a+1)2k-1]-ak+1(a2+a+1)能被a2+a+1整除. 即當(dāng)n=k+1

9、時命題也成立. 根據(jù)(1)(2)可知,對于任意n∈N*,an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除. 【例5】　(1)由a1=2,得a2=-a1+1=3, 由a2=3,得a3=-2a2+1=4, 由a3=4,得a4=-3a3+1=5, 由此猜想an的一個通項公式:an=n+1(n≥1). (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n=1時,a1≥3=1+2,不等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k時不等式成立. 即ak≥k+2, 那么,ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3, 也就是說,當(dāng)n=k+1時,ak+1≥(k+1)+2. 根據(jù)①②,對于所有n≥1,都

10、有an≥n+2. 變式訓(xùn)練 3. C　解析:n=2,分成4部分,排除D;n=3,分成8部分,排除A;n=4,分成14部分,排除B,故選C. 4. (1)當(dāng)n=1時,42×1+1+31+2=91能被13整除. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時,42k+1+3k+2能被13整除. 則當(dāng)n=k+1時, 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2), ∵　42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除, ∴　42(k+1)+1+3k+3能被13整除. 由(1)(2)知,當(dāng)n∈N*時,42n+1+3n+2能被13整除. 考點透析 真題體驗