2022年高二數(shù)學 1、2-3-2拋物線的簡單幾何性質(zhì)同步練習 新人教A版選修1-1

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1、2022年高二數(shù)學 1、2-3-2拋物線的簡單幾何性質(zhì)同步練習 新人教A版選修1-1 一、選擇題 1.設(shè)拋物線的頂點在原點,其焦點F在y軸上,又拋物線上的點(k,-2)與F點的距離為4,則k的值是(  ) A.4           B.4或-4 C.-2 D.2或-2 [答案] B [解析] 由題意,設(shè)拋物線的標準方程為:x2=-2py, 由題意得,+2=4,∴p=4,x2=-8y. 又點(k,-2)在拋物線上, ∴k2=16,k=±4. 2.拋物線y=x2(m<0)的焦點坐標是(  ) A. B. C. D. [答案] A [

2、解析] ∵x2=my(m<0),∴2p=-m,p=-, 焦點坐標為,即. 3.拋物線的頂點在原點,對稱軸是x軸,拋物線上的點(-5,2)到焦點的距離是6,則拋物線的方程為(  ) A.y2=-2x B.y2=-4x C.y2=2x D.y2=-4x或y2=-36x [答案] B [解析] 由題意,設(shè)拋物線的標準方程為:y2=-2px(p>0),由題意,得+5=6,∴p=2, ∴拋物線方程為y2=-4x. 4.直線y=kx-2交拋物線y2=8x于A、B兩點,若AB中點的橫坐標為2,則k=(  ) A.2或-2 B.-1 C.2

3、D.3 [答案] C [解析] 由得k2x2-4(k+2)x+4=0, 則=4,即k=2. 5.(xx·陜西文,9)已知拋物線y2=2px(p>0)的準線與圓(x-3)2+y2=16相切,則p的值為(  ) A. B.1 C.2 D.4 [答案] C [解析] 本題考查拋物線的準線方程,直線與圓的位置關(guān)系. 拋物線y2=2px(p>0)的準線方程是x=-,由題意知,3+=4,p=2. 6.等腰Rt△AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點,OA⊥OB,則△AOB的面積是(  ) A.8p2 B.4p2 C.2p2

4、 D.p2 [答案] B [解析] ∵拋物線的對稱軸為x軸,內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形, ∴由拋物線的對稱性,知直線AB與拋物線的對稱軸垂直,從而直線OA與x軸的夾角為45°. 由方程組,得,或. ∴A、B兩點的坐標分別為(2p,2p)和(2p,-2p). ∴|AB|=4p.∴S△AOB=×4p×2p=4p2. 7.拋物線y2=2px與直線ax+y-4=0的一個交點是(1,2),則拋物線的焦點到該直線的距離是(  ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 由已知得拋物線方程為y2=4x,直線方程為2x+y-4=0,拋物線

5、y2=4x的焦點坐標是F(1,0),到直線2x+y-4=0的距離為d==. 8.過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點,若A、B在拋物線準線上的射影是A1、B1,則∠A1FB1等于(  ) A.45° B.60° C.90° D.120° [答案] C [解析] 由拋物線的定義得,|AF|=|AA1|, |BF|=|BB1|,∴∠1=∠2,∠3=∠4, 又∠1+∠2+∠3+∠4+∠A1AF+∠B1BF=360°, 且∠A1AF+∠B1BF=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴2(∠2+∠4)=180°,即∠2+∠4=90, 故∠A

6、1FB=90°. 9.(xx·全國Ⅰ,5)設(shè)雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線y=x2+1相切,則該雙曲線的離心率等于(  ) A. B.2 C. D. [答案] C [解析] 本題主要考查圓錐曲線的有關(guān)知識. 雙曲線的漸近線方程為y=±x. ∵漸近線與y=x2+1相切, ∴x2±x+1=0有兩相等根, ∴Δ=-4=0,∴b2=4a2, ∴e====. 10.(xx·遼寧理,7)設(shè)拋物線y2=8x的焦點為F,準線為l,P為拋物線上一點,PA⊥l,A為垂足.如果直線AF的斜率為-,那么|PF|=(  ) A.4 B.8

7、 C.8 D.16 [答案] B [解析] 如圖,KAF=-, ∴∠AFO=60°, ∵|BF|=4,∴|AB|=4, 即P點的縱坐標為4, ∴(4)2=8x,∴x=6,∴|PA|=8=|PF|,故選B. 二、填空題 11.拋物線y2=16x上到頂點和焦點距離相等的點的坐標是________. [答案] (2,±4) [解析] 設(shè)拋物線y2=16x上的點P(x,y) 由題意,得(x+4)2=x2+y2=x2+16x, ∴x=2,∴y=±4. 12.拋物線y2=4x的弦AB垂直于x軸,若AB的長為4,則焦點到AB的距離為________. [答案] 2

8、[解析] 由題意,設(shè)A點坐標為(x,2),則x=3, 又焦點F(1,0),∴焦點到AB的距離為2. 13.已知F為拋物線y2=2ax(a>0)的焦點,點P是拋物線上任一點,O為坐標原點,以下四個命題: (1)△FOP為正三角形. (2)△FOP為等腰直角三角形. (3)△FOP為直角三角形. (4)△FOP為等腰三角形. 其中一定不正確的命題序號是________. [答案]?、佗? [解析] ∵拋物線上的點到焦點的距離最小時,恰好為拋物線頂點,∴①錯誤. 若△FOP為等腰直角三角形,則點P的橫縱坐標相等,這顯然不可能,故②錯誤. 14.(xx·寧夏、海南)已知拋物線C的頂

9、點坐標為原點,焦點在x軸上,直線y=x與拋物線C交于A,B兩點,若P(2,2)為AB的中點,則拋物線C的方程為________. [答案] y2=4x [解析] 設(shè)拋物線為y2=kx,與y=x聯(lián)立方程組,消去y,得:x2-kx=0,x1+x2=k=2×2,故y2=4x. 三、解答題 15.已知拋物線y2=4x的內(nèi)接三角形OAB的一個頂點O在原點,三邊上的高都過焦點,求三角形OAB的外接圓的方程. [解析] ∵△OAB的三個頂點都在拋物線上,且三條高都過焦點, ∴AB⊥x軸,故A、B關(guān)于x軸對稱, 設(shè)A,則B, 又F(1,0),由OA⊥BF得,·=-1,解得y=20, ∴A(5

10、,2),B(5,-2), 因外接圓過原點,且圓心在x軸上,故可設(shè)方程為:x2+y2+Dx=0, 把A點坐標代入得D=-9, 故所求圓的方程為x2+y2-9x=0. 16.一拋物線拱橋跨度為52m,拱頂離水面6.5m,一竹排上載有一寬4m,高6m的大木箱,問竹排能否安全通過? [解析] 如圖所示建立平面直角坐標系, 設(shè)拋物線方程為x2=-2py,則有A(26,-6.5),B(2,y), 由262=-2px×(-6.5),得p=52, ∴拋物線方程為x2=-104y. 當x=2時,4=-104y,y=-, ∵6.5->6,∴能通過. 17.若拋物線y2=2x上兩點A(x1

11、,y1)、B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+b對稱,且y1y2=-1,求實數(shù)b的值. [解析] 因為A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線上, 所以y=2x1 ① y=2x2 ② ①-②并整理可得==kAB, 又因為kAB=-1,所以y1+y2=-2, 所以=-1,而= ===, 因為在直線y=x+b上, 所以-1=+b,即b=-, 所以b的值為-. 18.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點,點C在拋物線的準線上,且BC∥x軸.證明:直線AC經(jīng)過原點O. [證明] 如圖, 設(shè)直線方程為y=k, A(x1,y1),B(x2,y2),C, 由消去x得,y2--p2=0, ∴y1y2=-p2,kOA=,kOC===, 又∵y=2px1,∴kOC==kOA,即AC經(jīng)過原點O. 當k不存在時,AB⊥x軸,同理可得kOA=kOC.

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