2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題1 集合與常用邏輯用語 第二講 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 文

2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題1 集合與常用邏輯用語 第二講 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 文 函數(shù)的圖象與性質(zhì)歷來是高考的重點(diǎn)，也是熱點(diǎn)，一般以選擇題或填空題的形式進(jìn)行考查．對于函數(shù)圖象的考查體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是識圖；二是用圖，即通過函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題．對于函數(shù)的性質(zhì)，主要考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性，也可能考查求函數(shù)的定義域和簡單函數(shù)的值域、最值問題． 1．函數(shù)． (1)函數(shù)的概念． 函數(shù)實(shí)質(zhì)上是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的一個(gè)特殊映射，記作y＝f(x)，x∈A，其中x的取值范圍A叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，f(x)的集合C叫函數(shù)的值域，B與C的關(guān)系是C?B，我們將f，A，C叫做函數(shù)的三要素，但要注意，函數(shù)定義中A，B是兩個(gè)非空數(shù)集，而映射中兩個(gè)集合A，B是任意的非空集合． (2)函數(shù)的表示方法． 函數(shù)表示方法有圖象法、列表法、解析法． 2．映射． 映射A→B中兩集合的元素的關(guān)系是一對一或多對一，但不可一對多，且集合B中元素可以沒有對應(yīng)元素，但A中元素在B中必須有唯一確定的對應(yīng)元素． 1．函數(shù)的單調(diào)性與最值． (1)單調(diào)性． 對于定義域內(nèi)某一區(qū)間D內(nèi)任意的x1，x2且x1＜x2(或Δx＝x1－x2＜0)： ①若f(x1)＜f(x2)[或Δy＝f(x1)－f(x2)＜0]恒成立，則f(x)在D上單調(diào)遞增； ②若f(x1)＞f(x2)[或Δy＝f(x1)－f(x2)＞0]恒成立，則f(x)在D上單調(diào)遞減． (2)最值． 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮： ①如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對任意的x∈I，都有f(x)≤M且存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值； ②如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對任意x∈I，都有f(x)≥M且存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值． 2．函數(shù)的奇偶性． (1)定義． 對于定義域內(nèi)的任意x有： ①f(－x)＝－f(x)?f(x)為奇函數(shù)； ②f(－x)＝f(x)?f(x)為偶函數(shù)． (2)性質(zhì)． ①函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)?y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)?y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱． ②奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同，且在x＝0處有定義時(shí)必有f(0)＝0，即f(x)的圖象過原點(diǎn)． ③偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反． 3．周期性． (1)定義． 對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期． (2)性質(zhì)． 如果T是函數(shù)y＝f(x)的周期，則： ①kT(k≠0，k∈Z)也是y＝f(x)的周期； ②若已知區(qū)間[m，n](m＜n)上的圖象，則可畫出區(qū)間[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的圖象． 1．基本初等函數(shù)的圖象． 基本初等函數(shù)包括：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)．對于這些函數(shù)的圖象應(yīng)非常清楚． 2．函數(shù)圖象的畫法． (1)描點(diǎn)法作圖． 通過列表、描點(diǎn)、連線三個(gè)步驟畫出函數(shù)的圖象． (2)圖象變換法作圖． ①平移變換． a．y＝f(x)的圖象向左平移a(a＞0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y＝f(x＋a)的圖象． b．y＝f(x－b)(b＞0)的圖象可由y＝f(x)的圖象向右平移b個(gè)單位長度得到． 對于左、右平移變換，往往容易出錯(cuò)，在實(shí)際判斷中可熟記口訣：左加右減． 而對于上、下平移變換，相比較則容易掌握，原則是：上加下減，但要注意的是加、減指的是在f(x)整體上． ②對稱變換(在f(－x)有意義的前提下)． a．y＝f(－x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱； b．y＝－f(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱； c．y＝－f(－x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱； d．y＝|f(x)|的圖象可將y＝f(x)的圖象在x軸下方的部分關(guān)于x軸旋轉(zhuǎn)180°，其余部分不變； e．y＝f(|x|)的圖象，可先作出y＝f(x)當(dāng)x≥0時(shí)的圖象，再利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，作出y＝f(x)(x＜0)的圖象． ③伸縮變換． a．y＝Af(x)(A＞0)的圖象，可將y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，橫坐標(biāo)不變而得到； b．y＝f(ax)(a＞0) 的圖象，可將y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變而得到． 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)列表如下： 判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉?#215;”)． (1)f(x)＝與g(x)＝x是同一個(gè)函數(shù)．(×) (2)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等．(×) (3)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|1≤x<3}，則函數(shù)f(2x－1)的定義域?yàn)閧x|1≤x<5}．(×) (4)函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×) (5)對于函數(shù)f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù)．(√) (6)函數(shù)y＝|x|是R上的增函數(shù)．(×) 1．下列說法中，不正確的是(B) A．函數(shù)值域中每一個(gè)數(shù)都有定義域中的至少一個(gè)數(shù)與之對應(yīng) B．函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合 C．定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了 D．若函數(shù)的定義域只有一個(gè)元素，則值域也只有一個(gè)元素 2．(xx·北京卷)如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(C) A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2} 解析：令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數(shù)g(x)圖象如圖．由得 ∴ 結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1＜x≤1}． 3．函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象如下圖所示，下列說法正確的是(C) ①函數(shù)y＝f(x)滿足f(－x)＝－f(x)； ②函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋2)＝f(－x)； ③函數(shù)y＝f(x)滿足f(－x)＝f(x)； ④函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 解析：由圖象可看出，f(x)為周期為4的奇函數(shù)，∴①②正確．故選C. 4．(xx·安徽卷)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是(A) A．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＜0，d＞0 C．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0，d＞0 D．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0，d＜0 解析：根據(jù)函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)先增再減，再增，且極值點(diǎn)都大于0，函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上． 解法一　由圖象知f(0)＝d>0.因?yàn)閒′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，所以a>0，－＝－>0，所以b<0.又f′(0)＝c>0，所以a>0，b<0，c>0，d>0. 解法二　由圖象知f(0)＝d＞0，首先排除選項(xiàng)D；f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－x1)(x－x2)＝3ax2－3a(x1＋x2)x＋3ax1x2，令x1＜x2，因?yàn)閤∈(－∞，x1)時(shí)，f′(x)＞0，所以a＞0，排除C；又c＝3ax1x2＞0，2b＝－3a(x1＋x2)＜0，所以c＞0，b＜0，故選A.