《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.7拋物線試題 理 蘇教版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.7拋物線試題 理 蘇教版(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.7拋物線試題 理 蘇教版
一、填空題
1.拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=2,則a=________.
解析 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y(tǒng),由條件得2=-,a=-.
答案?。?
2.直線y=x-3與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn),過(guò)A、B兩點(diǎn)向拋物線
的準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為P、Q,則梯形APQB的面積為_(kāi)_______.
解析 由題不妨設(shè)A在第一象限,聯(lián)立y=x-3和y2=4x可得A(9,6),B(1,-2),而拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-1,所以AP=10,QB=2,PQ=8,故S梯形APQB=(AP+QB)·PQ=48.
答案 48
3.直
2、線4kx-4y-k=0與拋物線y2=x交于A、B兩點(diǎn),若|AB|=4,則弦
AB的中點(diǎn)到直線x+=0的距離等于________.
解析 直線4kx-4y-k=0,即y=k(x-),即直線4kx-4y-k=0過(guò)拋物線y2=x的焦點(diǎn).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+=4,故x1+x2=,則弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,所以弦AB的中點(diǎn)到直線x+=0的距離是+=.
答案
4.已知拋物線y2=2px(p>0),過(guò)點(diǎn)E(m,0)(m≠0)的直線交拋物線于點(diǎn)
M、N,交y軸于點(diǎn)P,若=λ,=μ,則λ+μ=________.
解析 由題意知,λ+μ為定值,因此可以
3、取E,此時(shí)將直線MN化為特殊直線y=x-,此時(shí)點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2),則由得x2-3px+=0,所以x1+x2=3p,x1x2=.由=λ,=μ得x1=λ,x2=μ,則λ=,μ=,所以λ+μ=+
===-1.
答案 -1
5.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過(guò)拋物線C上的點(diǎn)A作
準(zhǔn)線l的垂線,垂足為M,若△AMF與△AOF(其中O
為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積之比為3∶1,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
解析 如圖所示,由題意,可得OF=1,由拋物線的定義,
得AF=AM,
∵△AMF與△AOF(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積之比為3∶1,
∴
4、
=
=3,
∴AF=AM=3,設(shè)A,
∴+1=3,解得y0=±2.
∴=2,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,±2).
答案 (2,±2)
6.設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),A,B,C為該拋物線上三點(diǎn),若+
+=0,則||+||+||=________.
解析 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),又F(1,0).
由++=0知(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,
即x1+x2+x3=3,
||+||+||=x1+x2+x3+p=6.
答案 6
7.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)A(0,2),連接FA交拋
物線于點(diǎn)B,
5、過(guò)B作l的垂線,垂足為M,若AM⊥MF,則p的值為_(kāi)_______.
解析 由拋物線定義可知BM=BF,又由平面幾何知識(shí)得BM=BA,所以點(diǎn)B為AF的中點(diǎn),又B在拋物線上,所以12=2p×,即p2=2,又p>0,故p=.
答案
8. 如圖,過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B,交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的方程為_(kāi)_______.
解析 作AM,BN垂直于準(zhǔn)線,準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為E,設(shè)|BF|=t,則|BC|=2t.
則可得=,即=,
解得t=1.又=,即=,
∴P=.∴拋物線方程為y2=3x.
答案 y2
6、=3x
9.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P,過(guò)F作x軸的垂線交拋物線于M、N兩點(diǎn),有下列四個(gè)命題:
①△PMN必為直角三角形;②△PMN不一定為直角三角形;③直線PM必與拋物線相切;④直線PM不一定與拋物線相切.其中正確的命題是________(填序號(hào)).
解析 因?yàn)镻F=MF=NF,故∠FPM=∠FMP,∠FPN=∠FNP,從而可知∠MPN=90°,故①正確,②錯(cuò)誤:令直線PM的方程為y=x+,代入拋物線方程可得y2-2py+p2=0,Δ=0,所以直線PM與拋物線相切,故③正確,④錯(cuò)誤.
答案?、佗?
10.已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,拋物線的
7、準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A在拋物線上且AK=AF,則△AFK的面積為_(kāi)_______.
解析 如圖,過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B(l為準(zhǔn)線),則由拋物線的定義,得AB=AF.因?yàn)锳K=AF,所以AK=AB,所以∠AKF=∠AKB=45°,設(shè)A(2t2,4t),由K(-2,0),得=1,得t=1,所以S△AKF=×4×4=8.
答案 8
二、解答題
11.如圖,已知中心在原點(diǎn)O、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓T過(guò)點(diǎn)M(2,1),離心率為;拋物線C頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為x軸且過(guò)點(diǎn)M.
(1)當(dāng)直線l0經(jīng)過(guò)橢圓T的左焦點(diǎn)且平行于OM時(shí),求直線l0的方程;
(2)若斜率為-的直線l不過(guò)點(diǎn)M,與拋物線C交于A、
8、B兩個(gè)不同的點(diǎn),求證:直線MA,MB與x軸總圍成等腰三角形.
解 (1)由e==,可設(shè)橢圓T方程為+=1,
將M(2,1)代入可得b2=2,∴橢圓T的方程為+=1.
因此左焦點(diǎn)為(-,0),斜率kl0=kOM=,
∴直線l0的方程為y=(x+),即y=x+.
(2)拋物線C的方程為y2=x.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,則k1=,k2=,
kAB===-,∴y1+y2=-2.
k1+k2=+=+
==0,
∴直線MA,MB與x軸總圍成等腰三角形.
12. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(1,0)
9、,過(guò)拋物線在x軸上方的不同兩點(diǎn)A、B作拋物線的切線AC、BD,與x軸分別交于C、D兩點(diǎn),且AC與BD交于點(diǎn)M,直線AD與BC交于點(diǎn)N.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證:MN⊥x軸;
(3)若直線MN與x軸的交點(diǎn)恰為F(1,0),求證:直線AB過(guò)定點(diǎn).
解 (1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),
由題意,得=1,即p=2.∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,y2>0.
由y2=4x(y>0),得y=2,∴y′=.
∴切線AC的方程為y-y1=(x-x1),
即y-y1=(x-x1).
整理,得yy1=2
10、(x+x1), ①
且C點(diǎn)坐標(biāo)為(-x1,0).
同理得切線BD的方程為yy2=2(x+x2), ②
且D點(diǎn)坐標(biāo)為(-x2,0).
由①②消去y,得xM=.
又直線AD的方程為y=(x+x2), ③
直線BC的方程為y=(x+x1). ④
由③④消去y,得xN=.
∴xM=xN,即MN⊥x軸.
(3)由題意,設(shè)M(1,y0),代入(2)中的①②,
得y0y1=2(1+x1),y0y2=2(1+x2),
∴A(x1,y1),B(x2,y2)都滿足方程y0y=2(1+x).
∴直線AB的方程為y0y=2(
11、1+x).
故直線AB過(guò)定點(diǎn)(-1,0).
13.設(shè)M、N為拋物線C:y=x2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),
過(guò)M、N分別作拋物線C的切線l1、l2,與x軸分別交于
A、B兩點(diǎn),且l1與l2相交于點(diǎn)P,若AB=1.
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)求證:△MNP的面積為一個(gè)定值,并求出這個(gè)定值.
解 (1)設(shè)M(m,m2),N(n,n2),則依題意知,切線l1,l2的方程分別為y=2mx-m2,y=2 x-n2,
則A,B,設(shè)P(x,y),由,
得,①
因?yàn)锳B=1,所以|n-m|=2,
即(m+n)2-4mn=4,將①代入上式得:y=x2-1,
∴點(diǎn)P的軌跡方程為y=x2-1.
12、
(2)證明:設(shè)直線MN的方程為y=kx+b(b>0).
聯(lián)立方程,消去y得x2-kx-b=0,所以m+n=k,mn=-b,②
點(diǎn)P到直線MN的距離
d=,
MN=|m-n|,
∴S△MNP=d·MN=·|m-n|
=·(m-n)2·|m-n|=2.
即△MNP的面積為定值2.
14.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2,y1>0,y2<0)在拋
物線上,且存在實(shí)數(shù)λ,使+λ=0,||=.
(1)求直線AB的方程;
(2)求△AOB的外接圓的方程.
解 (1)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1.
∵+λ=0,∴A,B,F(xiàn)三點(diǎn)共線.
由拋物線的定義,得||=x1+x2+2.
設(shè)直線AB:y=k(x-1),而k=,x1>x2,y1>0,y2<0,∴k>0.
由得
k2x2-2(k2+2)x+k2=0.
∴
||=x1+x2+2=+2=.
∴k2=.
從而k=,故直線AB的方程為y=(x-1),
即4x-3y-4=0.
(2)由
求得A(4,4),B.
設(shè)△AOB的外接圓方程為
x2+y2+Dx+Ey+F=0,則
解得
故△AOB的外接圓的方程為
x2+y2-x-y=0.