2022年高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)理科試題

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1、2022年高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)理科試題 高三數(shù)學(xué) （理科） 學(xué)校_____________班級(jí)_______________姓名______________考號(hào)___________ 本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至5頁(yè)，共150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第Ⅰ卷（選擇題 共40分） 一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。 （1）設(shè)集合，則滿足的集合B的個(gè)數(shù)是 （A） (

2、B) (C) (D) 【答案】C 【解析】因?yàn)?，所?所以共有4個(gè)，選C. （2）已知是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則等于 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以設(shè).所以，所以，選B. （3）已知為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，，則公差等于 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】因?yàn)椋?，所以，解得，所使用，解得，選C. （4）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的的值為 （A） （B

3、） （C） （D） 【答案】A 【解析】第一次循環(huán)得；第二次循環(huán)得；第三次循環(huán)得，第四次循環(huán)得，但此時(shí),不滿足條件，輸出，所以選A. （5）若，是兩個(gè)非零向量，則“”是“”的 （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】?jī)蛇吰椒降?，即，所以，所以“”是“”的充要條件選C. （6）已知，滿足不等式組當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)殛幱安糠?，由?/p>

4、，平移直線由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)解得，即，代入得。當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)殛幱安糠諳DE，由得，平移直線由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)解得，即，代入得。所以目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是，即，選D. ， （7）已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上且，則△的面積為 （A）4 （B）8 （C）16 （D）32 【答案】D 【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，所以，即。所以拋物線方程為，焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程，即,設(shè), 過(guò)A做垂直于準(zhǔn)線于M,由拋物線的

5、定義可知,所以,即,所以，整理得，即，所以，所以,選D. （8）給出下列命題：①在區(qū)間上，函數(shù),,,中有三個(gè)是增函數(shù)；②若，則；③若函數(shù)是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；④已知函數(shù)則方程 有個(gè)實(shí)數(shù)根，其中正確命題的個(gè)數(shù)為 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】①在區(qū)間上,只有，是增函數(shù)，所以①錯(cuò)誤。②由，可得，即，所以，所以②正確。③正確。④當(dāng)時(shí)，，由，可知此時(shí)有一個(gè)實(shí)根。當(dāng)時(shí)，由，得，即，所以④正確。所以正確命題的個(gè)數(shù)為3個(gè)。選C. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

6、 （9）若，且，則　 ． 【答案】 【解析】因?yàn)?，所以為第三象限，所以，即? （10）圖中陰影部分的面積等于　 ． 【答案】 【解析】根據(jù)積分應(yīng)用可知所求面積為。 （11）已知圓：，則圓心的坐標(biāo)為 ； 若直線與圓相切，且切點(diǎn)在第四象限，則 ． 【答案】 【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為1.要使直線與圓相切，且切點(diǎn)在第四象限，所以有。圓心到直線的距離為，即，所以。 （12）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 ． 【答案】 【解析】由三視圖可知，該幾何體是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高為4，，底面梯形的上底為4，下底為5，

7、腰,所以梯形的面積為，梯形的周長(zhǎng)為，所以四個(gè)側(cè)面積為，所以該幾何體的表面積為。 （13）某種飲料分兩次提價(jià)，提價(jià)方案有兩種，方案甲：第一次提價(jià),第二次提價(jià)；方案乙：每次都提價(jià)，若，則提價(jià)多的方案是 . 【答案】乙 【解析】設(shè)原價(jià)為1，則提價(jià)后的價(jià)格:方案甲：,乙：，因?yàn)?，因?yàn)椋?，即，所以提價(jià)多的方案是乙。 （14）定義映射，其中，，已知對(duì)所有的有序正整數(shù)對(duì)滿足下述條件: ①；②若，；③， 則 ， ． 【答案】 【解析】根據(jù)定義得。，，，所以根據(jù)歸納推理可知。 三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。 （15

8、）（本小題共13分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間； （Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值與最小值的和為，求的值． （16）（本小題共13分） 已知為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且. （Ⅰ）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和. （17）（本小題共14分） A B C D E N M 如圖，在菱形中，，是的中點(diǎn)， ⊥平面，且在矩形中，，． （Ⅰ）求證：⊥； （Ⅱ）求證： // 平面； （Ⅲ）求二面角的大小. （18）（本小題共13分） 已知，函數(shù)． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）求在區(qū)間上

9、的最小值． （19）（本小題共13分） 在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線過(guò)點(diǎn)且與曲線交于，兩點(diǎn)． （Ⅰ）求曲線的軌跡方程； （Ⅱ）是否存在△面積的最大值，若存在，求出△的面積；若不存在，說(shuō)明理由. （20）（本小題共14分） 已知實(shí)數(shù)組成的數(shù)組滿足條件： ①； ②. (Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，求，的值； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：； （Ⅲ）設(shè),且， 求證：. 東城區(qū)xx學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測(cè) 高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) （理科） 一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分

10、） （1）C （2）B （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）C 二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分） （9） （10） （11） （12） （13）乙 （14） 注：兩個(gè)空的填空題第一個(gè)空填對(duì)得3分，第二個(gè)空填對(duì)得2分． 三、解答題（本大題共6小題，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ） .………………………………

11、……………3分 所以．……………………………………………………………4分 由， 得． 故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）．…………………7分 （Ⅱ）因?yàn)椋? 所以． 所以．…………………………………………………………10分 因?yàn)楹瘮?shù)在上的最大值與最小值的和， 所以．…………………………………………………………………………13分 （16）（共13分） 解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，.………………………………………1分 當(dāng)時(shí)，.…………………………………………………3分 因?yàn)槭堑缺葦?shù)列， 所以，即..……………………………………5分 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.…………………

12、………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得. 則. ① . ② ①-②得 …………………9分 .…………………………………………………12分 所以.……………………………………………………………13分 （17）（共14分） 解：（Ⅰ）連結(jié)，則. 由已知平面， 因?yàn)镕 A B C D E N M y x z ， 所以平面.……………………2分 又因?yàn)槠矫妫? 所以.……………………4分 （Ⅱ）與交于，連結(jié). 由已知可得四邊形是平行四邊形， 所以是的中點(diǎn). 因?yàn)槭堑?/p>

13、中點(diǎn)， 所以.…………………………7分 又平面， 平面， 所以平面. ……………………………………………………………9分 （Ⅲ）由于四邊形是菱形，是的中點(diǎn)，可得. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，, ， . ，.…………………………………………10分 設(shè)平面的法向量為. 則 所以 令. 所以.……………………………………………………………12分 又平面的法向量， 所以. 所以二面角的大小是60°. ………………………………………14分 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，， 所以，.………………………………2分 因此． 即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.

14、…………………………4分 又， 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為， 即．……………………………………………6分 （Ⅱ）因?yàn)?，所以? 令，得． ……………………………………………8分 ①若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無(wú)最小值． ②若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．………………………………10分 ③若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．…………………………………12分 綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無(wú)最小值； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．……………13分

15、 （19）（共13分） 解.（Ⅰ）由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 的橢圓．……………………………………………………………………………3分 故曲線的方程為． …………………………………………………5分 （Ⅱ）存在△面積的最大值. …………………………………………………6分 因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為 或（舍）． 則 整理得 ．…………………………………7分 由． 設(shè)． 解得 ， ． 則 ． 因?yàn)? ． ………………………10分 設(shè)，，． 則在區(qū)間上為增函數(shù)． 所以． 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即． 所以的最大值為．………………………………………………………………13分 （20）（共14分） (Ⅰ)解： 由（1）得，再由（2）知，且. 當(dāng)時(shí)，.得，所以……………………………2分 當(dāng)時(shí)，同理得………………………………………………4分 （Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)， 由已知,. 所以 .………………………………………………9分 （Ⅲ）證明：因?yàn)椋? 所以, 即 .……………………………11分 ) .……………………………………………………………14分