2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 第6課時空間向量的應(yīng)用課時作業(yè) 理 新人教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 第6課時空間向量的應(yīng)用課時作業(yè) 理 新人教版 考綱 索引 1. 用向量表示空間中的點(diǎn)、直線和平面的位置. 2. 用向量證明空間中的平行或垂直關(guān)系. 3. 空間向量求空間角的關(guān)系. 課標(biāo) 要求 1. 理解直線的方向向量與平面的法向量. 2. 能用語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系. 3. 能用向量的方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理). 4. 了解空間向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用. 5. 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計(jì)算問題. (4)設(shè)平面α和β的法向量分

2、別為u1,u2,則α∥β?　　　　.? 3.用向量證明空間中的垂直關(guān)系 (1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1⊥l2?　　　　?　　　　.? (2)設(shè)直線l的方向向量為v,平面α的法向量為u,則l⊥α?　　　　.? (3)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2,則α⊥β?　　　　?　　　　.? 4.空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線l1,l2的方向向量分別為m1,m2,則l1與l2所成的角θ滿足cosθ=　　　　.? (2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m,n,則直線l與平面α所成的角θ滿足sinθ=　　　　.? (3)求二面角的大小 如圖(1

3、),AB,CD是二面角α-l-β的兩個半平面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ=　　　　.? 如圖(2)(3),n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足cosθ=　　　　.? 5.點(diǎn)面距的求法 如圖,設(shè)AB為平面α的一條斜線段,n為平面α的法向量,則B到平面α的距離d=　　　　.? 基礎(chǔ)自測 1.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),則下列結(jié)論正確的是(　　). A. a∥c,b∥c　　　　　　　　　B. a∥b,a⊥c C. a∥c,a⊥b D. 以上都不對 2.若平面α,β垂直,則下面可以作

4、為這兩個平面的法向量的是(　　). A. n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1) B. n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1) C. n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1) D. n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2) 3.已知向量m,n分別是直線l的方向向量和平面α的法向量,若cos=-,則l與α所成的角為(　　). A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 指 點(diǎn) 迷 津　　 【想一想】　利用空間向量求角有哪些誤區(qū)? 【答案】　(1)異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角都可以轉(zhuǎn)化成空間向量的夾角來求;(2)空

5、間向量的夾角與所求角的范圍不一定相同,如兩向量的夾角范圍是[0,π],兩異面直線所成的角的范圍是;(3)用平面的法向量求二面角時,二面角的大小與兩平面法向量的夾角有相等和互補(bǔ)兩種情況. 考點(diǎn)透析 考向一　利用空間向量證明平行問題 例1　如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD. 【方法總結(jié)】用向量證明線面平行的方法有: (1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直; (2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行; (3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示. 變式訓(xùn)練

6、 (第1題) 考向二　利用空間向量證明垂直問題 例2　如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點(diǎn).求證:AB1⊥平面A1BD. 【方法總結(jié)】證明線面平行和垂直問題,可以用幾何法,也可以用向量法.用向量法的關(guān)鍵在于構(gòu)造向量,再用共線向量定理或共面向量定理及兩向量垂直的判定定理.若能建立空間直角坐標(biāo)系,其證法將更為靈活方便. 變式訓(xùn)練 2.(xx·安徽淮北一中高三月考)如圖,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠BAC=90°,AB=AC=λAA',點(diǎn)M,N分別為A'B和B'C'的中點(diǎn). (1)證明:MN∥平面A'ACC'; (2)若

7、二面角A'-MN-C為直二面角,求λ的值. (第2題) 考向三　求異面直線所成的角 例3　如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E,F分別是線段AB,BC上的點(diǎn),且EB=BF=1.求直線EC1與FD1所成的角的余弦值. 【方法總結(jié)】本題可從兩個不同角度求異面直線所成的角.一是把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算,二是體現(xiàn)傳統(tǒng)方法(三步:作,證,算),應(yīng)注意體會兩種方法的特點(diǎn).“轉(zhuǎn)化”是求異面直線所成角的關(guān)鍵,可平移線段或化為向量的夾角.一般地,異面直線AC,BD的夾角β的余弦值為cosβ=. 變式訓(xùn)練 3.如圖,在正方體ABCD

8、-A1B1C1D1中,B1E1=D1F1= ,求BE1與DF1所成的角的余弦值. (第3題) 考向四　求二面角 例4　(xx·北京)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5. (1)求證:AA1⊥平面ABC; (2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值; (3)求證:在線段BC1上存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B,并求的值. 【方法總結(jié)】求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際

9、圖形判斷所求角是銳角還是鈍角. 變式訓(xùn)練 4.(xx·湖北)如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),直線PC⊥平面ABC,E,F分別是PA,PC的中點(diǎn). (1)記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明; (2)設(shè)(1)中的直線l與圓O的另一個交點(diǎn)為D,且點(diǎn)Q滿足,記直線PQ與平面ABC所成的角為θ,異面直線PQ與EF所成的角為α,二面角E-l-C的大小為β,求證:sinθ=sinαsinβ. (第4題) 考向五　利用空間向量解決探索性問題 例5　如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB與底面所成的角

10、為45°,底面ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°, . (1)求證:平面PAC⊥平面PCD; (2)在棱PD上是否存在一點(diǎn)E,使CE∥平面PAB?若存在,請確定E點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由. 【方法總結(jié)】對于探索性問題,一般先假設(shè)存在,設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題.若有解且滿足題意,則存在,若有解但不滿足題意或無解,則不存在. 變式訓(xùn)練 5.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,側(cè)棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中點(diǎn),試問在A1B上是否存在一點(diǎn)E使得點(diǎn)A1到平面AED的距離

11、為? (第5題) 經(jīng)典考題 典例　(xx·浙江)如圖,在四棱錐A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=. (1)求證:DE⊥平面ACD; (2)求二面角B-AD-E的大小. 【解題指南】　(1)根據(jù)兩垂直平面中在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面的性質(zhì)加以證明線面垂直,也可通過空間向量,利用對應(yīng)向量與平面的法向量的平行來證明;(2)通過建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合空間向量的數(shù)量積來求解對應(yīng)的二面角的大小問題. (1) (2) 真題體驗(yàn) 1. (xx·全國新課標(biāo)Ⅱ)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn). (1)證明:PB∥平面AEC; (2)設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積. (第1題) 2. (xx·廣東)如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于點(diǎn)F,FE∥CD,交PD于點(diǎn)E. (1)證明:CF⊥平面ADF; (2)求二面角D-AF-E的余弦值. (第2題) 參考答案與解析 知識梳理 基礎(chǔ)自測 (第5題) 考點(diǎn)透析 變式訓(xùn)練 經(jīng)典考題 真題體驗(yàn)