2022年高中數(shù)學 圓錐曲線中的方法與運算教案 新人教A版選修1

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1、2022年高中數(shù)學 圓錐曲線中的方法與運算教案 新人教A版選修1 1. (與名師對話第51練) 已知拋物線,點, 問是否存在過點的直線, 使拋物線上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱,如果存在, 求出直線的斜率的取值范圍; 如果不存在,請說明理由. 分析: 這是一個求變量(斜率)的取值范圍問題, 我們必須給出與變量(斜率)相關(guān)的變量(根據(jù)題設(shè)尋找)的關(guān)系式(組), 顯然,這個關(guān)系式(組)應(yīng)由按題設(shè)揭示出的幾何條件轉(zhuǎn)換得到. 我們由題設(shè)揭示出的幾何條件是: 拋物線上關(guān)于直線對稱的不同的兩點所在直線必須與拋物線有兩個不同的交點,并且交點為端點的線段的中點在直線上. 相應(yīng)得到一個不等式和一個等

2、式組成的變量關(guān)系式(組). 解這個關(guān)于式組即可得變量的取值范圍. 解: 設(shè)直線的方程為,若,則結(jié)論顯然成立,即可取.若, 則直線PQ的方程為, 由方程組 可得,. ∵ 直線PQ與拋物線有兩個不同的交點, ∴ 即 . 設(shè)線段PQ的中點為G(), 則, ∴ , ∵ 點G()在直線上, ∴ =, 由 可得, , ∴ , () , ∴ 或. 綜上所述, 直線的斜率的取值范圍為. 2. (與名師對話第51練)已知橢圓, 點A是橢圓與軸的交點, F為橢圓的右焦點, 直線與 橢圓交于B,C兩點. （1） 若點M滿足,求直線的方程; （2） 若,在上,且,

3、求動點的軌跡 方程. 分析: 題(1)是個定狀態(tài)的問題: 由可知,點M是定點,且由 是線段BC的中點, 由此可求得直線BC即直線的方程. 解(1) 由橢圓可知A(0,4), F(2,0). ∵ , ∴ (2,0)-(0,4)=2[()-(2,0)], ∴ 即 M(3,-2). ∵ , ∴ 點M是線段BC的中點, ∴ 直線BC即直線的斜率為. (可以有四中方法:①,②點差法,③設(shè)法,④設(shè)而不求法求得). ∴ 直線的方程為,即. 分析: 題(2)是一個動狀態(tài)的問題:①點D隨AB的變化而變化,從而點D的坐標是刻畫直線AB的變化的量的參數(shù)(斜率)的函數(shù), ②可設(shè)BC的方程為(k

4、存在), 從而點M是直線AM(直線AD用參數(shù)k刻畫)與直線BC的交點,在由是直角得參數(shù)k與b的關(guān)于式,消參數(shù)k與b即得點D的方程. 解法(一) 設(shè)直線AB的斜率為,則直線AC的斜率為. 直線AB的斜率為方程為,由方程組可得, ∴ , ， 同理得, . ∴ ， ∴ 直線BC的方程為, +， ，， . ∵ 直線AD的方程為, , ∴由與移項相乘消去可得, 即 . 說明: 本解法用的是參數(shù)法中的特殊方法--------交軌法. 解法(二): 設(shè)直線的方程為, 則直線AD的方程為. (顯然由方程和方程消去和即可得點D的軌跡方程, 這里 我們必須給出和的關(guān)系式,將這一幾

5、何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式即可得和的關(guān)系式) 由方程組可得,, 設(shè), 則. ∵ , ∴ , ∴ , , , +化簡得,. 解得,(舍去)或. ∴ 方程即為, 由方程和方程消去得, , 即 . 3. (與名師對話第51練)已知直線過點(1,0),且與拋物線交于兩點, 為原點,點 在軸的右側(cè)且滿足:. （1）求點的軌跡C的方程; （2） 若曲線的切線的斜率為,滿足:,點到軸的 距離為,求的取值范圍. 分析：由可知，點的軌跡C就是弦AB的中點的軌跡. 解(1) 顯然直線的斜率存在,設(shè)為,則直線的方程為: ,由方程組消去整理得,設(shè), , ∴

6、, , 消去得點的軌跡C的軌跡方程為: . ∵ , ∴ 或, ∵ 點在軸的右側(cè), ∴ ,故點的軌跡C為拋物線上的一段弧. 分析: 點到軸的距離為就是點的橫坐標的絕對值.因為曲線的切線的斜率為,所以=,由知,,由此可知,我們必須建立點的橫坐標的絕對值關(guān)于的關(guān)系. 解(2): 設(shè), 則由可知,=[], ∴, , ∴ , , ∴ ∵ , ∴ , 方法(一) , (), ∴ , ∴ . 方法(二) , (), ∴ , , ∴ 且 ∴ . 4. (與名師對話第51練) 已知拋物線的方程為 ,過點且傾斜角 為(0<<)的直線交拋物線于兩

7、點,且. （1）求的值; （2）若點分所成的比為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式. 分析: 要求的值,必須給出關(guān)于的方程. 解(1): 設(shè)過點且傾斜角為(0<<)的直線的方程為. 由方程組消去整理得, 則, ∵ , ∴ , . 分析: 由可知過點且傾斜角為(0<<)的直線為.先建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,再轉(zhuǎn)換為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式. 解(2): ∵ 關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式, ∴ , , 由(1)可知, 由方程組可消去得,. ∵ 0<< , ∴ , 故==. 5. (與名師對話第51練) 已知方向向量為的直線過點(0,-2)和橢圓C: 的焦點, 且橢圓C的中心關(guān)于直線的對

8、稱點在橢圓C的右準線上. （1）求橢圓C的方程; （2）是否存在過點E(-2,0)的直線交橢圓C于,滿足: 為原點? 若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由. 6．(與名師對話第52練20) 橢圓C的方程為，F(xiàn)是它的左焦點，M是橢圓C上的一個動點，O為坐標原點. (1) 求的重心的軌跡方程; (2) 若的重心對原點和點P(-2,0)的張角最大, 求點的坐標. 解(1): 設(shè)點 (y0) , M(x1,y1)由題設(shè)可知,F() 則, ∴ , ∴ 的重心的軌跡方程為 (). (2) 由(1)可知, 原點和點P(-2,0)是橢圓的兩個焦點.下面證明當點M與橢

9、圓的短軸的端點重合時張角最大. 方法(一) 用橢圓的定義 設(shè)橢圓C上的一個動點到橢圓的兩個焦點的距離為、，則由橢圓的定義可知+=2. 在中, == == (當且僅當時,等于號成立) =0 ∴ 當,即點M與短軸的端點重合時張角最大, 最大角為,這時點M的坐標為(-1,1)、（-1，-1）. 方法(二) 用橢圓的焦半徑公式 將橢圓平移到中心在原點的位置,這時橢圓的方程為,原張角就是在點P處的兩條焦半徑的夾角.設(shè)點P的坐標為(),則= 當時,, 當時, , 故, 的最大值為,這時相應(yīng)點P的坐標為(0,1),在橢圓的原位置相應(yīng)點P的坐標為(-1,1). 7. (與名師對話

10、第52練21) 已知動點與雙曲線的兩個焦點的距 離之和為定值,且的最小值為. (1) 求動點的軌跡方程; (2) 若已知點(0,3),點在動點的軌跡上,且,求實 數(shù)的取值范圍; (3) 若已知點(1,1), 點在動點的軌跡上,且,求直線 的方程. 分析: 由題設(shè)可知, 動點的軌跡是以雙曲線的兩個焦點為其焦點 的橢圓,因此動點的軌跡方程可以用待定系數(shù)法求得. 解(1): 由題設(shè)可知, 動點的軌跡是以雙曲線的兩個焦點為其焦點 的橢圓,設(shè)其方程為 (). 可以證明(仿例6)當動點在橢圓的短軸的端點時的值最小,這時, ∴ , . ∴ , ∴ 動點的軌跡方程為.

11、分析: 由可知, 點共線, 直線MN的變化可以用其斜率表示(直線的方程為這時要k作討論),也可以用表示(直線的方程為,這時不需要對作討論).下面用直線方程求解. 解法(一): 由可知, 點共線. 若直線MN的斜率不存在,則. 若直線MN的斜率存在,設(shè)直線MN的方程為則由方程組可得, , 設(shè),則. 又由可得, , ∴ , ∴ ∴ . ∵ , ∴ . ∴ , ∴ , 綜上所述, . 分析：用點的坐標表示直線MN的變化. 解法(二): 由可知, 點共線. 設(shè),則,. ∵ , ∴ , , ∴ , . ∴ , , ∴ 或, 解得. 8. 拋物線C的方程為,

12、過拋物線C上一點 ()作斜率 為的兩條直線分別交拋物線C于兩點(三點各不相同),且滿足. (1) 求拋物線C的焦點坐標和準線方程; (2) 設(shè)直線上一點滿足:,證明線段的中點在軸上; (3)當時,若點的坐標為(1,-1),求為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍. 分析: 將看作常量. 解(1): 拋物線C的方程為, 故拋物線C的焦點坐標為(),準線方程為. 分析: 從形式上看, 線段的中點坐標與相關(guān),而實際上肯定橫坐標可以消元為0. 解(2): 由題設(shè)可知,直線的方程為:,由方程組可得,,即, ∴ , 同理 , ∵ , ∴ , = ∵ , ∴ -,

13、∴ 線段的中點橫坐標為0, 即線段的中點在軸上. 分析: 解(3): 由題設(shè)和題(2)可知, 拋物線C的方程為, ,又,故, ∴ , ∴ ,, ∵ 為鈍角, 三點各不相同, ∴ 即有,, ∴ , ∴ , , ∴ . 9.已知橢圓C的中心在原點,焦點在X軸上,一條經(jīng)過點且方向向量為的直線交橢圓C于A,B兩點,交X軸于點,又. (1) 求直線的方程; (2) 求橢圓C的長軸長的取值范圍. 解(1): 直線的方程為. 分析: “直線與橢圓C有兩個不同的交點”可以轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于的不等式, 向量等式 可以轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于的等式. 解(2): 由方程組可得.

14、 設(shè)設(shè), 則. 由可知, , ∴ ,, ∴ , ∴ ∵ , ∴ , ∴ ∴ . ∵ ∴ , ∴ , ∴ , , ∴ ,即橢圓C的長軸長的取值范圍為. 10.自點向拋物線C:作切線AB,切點為,且點在第一象限,再過線 段AB的中點作直線與拋物線C交于不同的兩點E,F,直線AE,AF分別交拋物線C于P,Q兩點. (1) 求切線AB的方程及切點B的坐標; (2) 證明. 解(1): 設(shè)切點B的坐標為,過點B的切線的方程為, ∵ 切線過點, ∴ , , ∵ 點B在拋物線上, ∴ ,

15、 ∴ 切線AB的方程為, 切點B的坐標為(1,1). 分析: 即證明∥. (2) 證明: 由(1)可知, 線段AB的中點的坐標為,設(shè)直線的方程為, . 由方程組 可得, 故. . ∵ A,E,P三點共線, ∴ =, , 同理, ∴ = 由可知, . 11. 設(shè)雙曲線的右頂點為A, P為雙曲線上異于點A的一個動點, 從A引雙曲線的漸近線的兩條平行線與直線OP分別交于Q和R兩點. (1) 證明:無論P點在什么位置,總有(O為坐標原點); (2) 若以O(shè)P為邊長的正方形的面積等于雙曲線的實,虛軸圍成的矩形的面積,求雙曲線的離心率的取值范圍. (1) 證明: 設(shè)直線OP的方程為, 直線AR的方程為, AQ的方程為. 由方程組 得 , ∴ =, 同理=, ∴ ==. 設(shè), 由方程組得, ∴ =. ∵ 直線OP過原點, ∴ , ∴ . (2) 解: 由題設(shè)知, =, 又, ∴ , (恒成立)) 解得, ∴ .