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1、2022年高二數(shù)學(xué) 球同步教案 新人教A版
一、本講進(jìn)度
第九章 直線、平面、簡單幾何體
9.9 研究性課題;多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)
9.10 球
二、主要內(nèi)容
球的概念、性質(zhì)及體積與表面積的計(jì)算。
三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)
1、球的定義可以從兩個角度來理解,從靜止的角度看,球面可以看作與定點(diǎn)(球心)的距離等于定長(半徑)的所有點(diǎn)的集合;從運(yùn)動的角度看,半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面。
球面與球是兩個不同的概念,球面是球體的表面,其大小用面積來度量;球是球面圍成的幾何體,其大小用體積來度量。
球的相關(guān)概念:(1)球心;(2)半徑;(3)直徑。見課本P.6
2、5
2、球的性質(zhì):
(1) 定義,例如球面上任一點(diǎn)到球心的距離都相等,長度等于半徑;
(2) 截面的性質(zhì):
① 用平面去截球,截面是圓面;
② 球心和截面的圓心的連線垂直于截面;
③球心到截面的距離d與球的半徑R及截面半徑r有下面勾股定理關(guān)系:r2+d2=R2,如圖;
④當(dāng)截面過球心時,截面是大圓,當(dāng)截面不過球心時,截面是小圓。
研究球的截面性質(zhì),通常類比于平面幾何中直線與圓相交時的性質(zhì)。這種類比的降維思想是學(xué)習(xí)立體幾何的重要方法。
3、關(guān)于地球,應(yīng)用球的數(shù)字知識研究地球,得到下列概念:
(1) 經(jīng)線:球面上從北極到南極的半個大圓;
經(jīng)度:經(jīng)線與地軸(南北
3、兩極連線)構(gòu)成的半平面與00經(jīng)線(本初子午線)及地軸構(gòu)成的平面所形成的二面角的大小。如果設(shè)這兩個半平面與赤道平面的交線為OA、OB,則∠AOB=θ0,如圖;
(2) 緯線:球面上,平行于赤道平面的小圓;
緯度:緯線上任一點(diǎn)的半徑與赤道平面所成的線面角。
如果設(shè)小圓圓心為O’,則∠OPO’=α0,如圖;
(3)球面的距離:球面上某兩點(diǎn)之間的球面距離就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧的長度。
其特征是球面上這兩點(diǎn)連線的最小長度。注意,這是曲線的長度,而不是直線段的長度。
計(jì)算公式:l==Rα,其中α為球面上兩點(diǎn)對球心張角的弧度數(shù)。
4、球的體積公式:,球的表面積公式:S=4
4、πR2,其中R為球的半徑。
這兩個公式的推導(dǎo)思想是近代數(shù)字的重要思想,簡單地說就是“以曲代直”的思想,其步驟為:分割→求和→求極限。
5、在研究球與其它幾何體構(gòu)成的組合體時,應(yīng)緊抓球心的位置特征及球半徑的大小這兩個基本元素,通常作出過球心的截面,將問題轉(zhuǎn)化為平幾問題。
四、典型例題
例1、 四棱錐A—BCDE中,AD⊥平面BCDE,AC⊥BC,AE⊥BE,
(1)求證A、B、C、D、E五點(diǎn)都在以AB為直徑的同一球面上;
(2)若∠CBE=900,CE=,AD=1,求B、D兩點(diǎn)的球面距離。
解題思路分析:
(1)設(shè)AB中點(diǎn)為O,則只需證明OA=OB=OC=OD=
5、OE,其途徑通常有全等三角形或等量代換。本題用等量代換。
設(shè)AB中點(diǎn)為O,則OA=OB=AB
∵ AD⊥平面BCDE
∴ AD⊥DB
∴ DO=AB
∵ AC⊥BC,AE⊥EB
∴ EO=CO=AB
∴ OA=OB=OC=OD=OE=AB
即A、B、C、D、E五點(diǎn)都在以AB為直徑的同一球面上
(2)根據(jù)球面距離的定義,只需求出球的半徑R及∠BOD的大小即可。下從分析圖形A—BCDE的性質(zhì)著手。
∵ AD⊥平面BCDE
∴ DE、DC分別為AE、AC在平面BCDE上的射影
∵ BE⊥EA,BC⊥CA
∴ BE⊥ED,BC⊥CD
又∠CBE=900
∴ BCDE
6、為矩形
∴ BD=EC=
∴ AB==2
∴ 球半徑R=1
△ BOD中,BO=OD=1,BD=
∴ cos∠BOD=
∴ ∠BOD=
∴ B、D兩點(diǎn)球面距離
例2、有三個球,第一個球內(nèi)切于正方體的六個面,第二個球與這個正方體各條棱都相切,第三個球過這個正方體的各個頂點(diǎn),求這三個球的表面積之比及體積之比。
解題思路分析:
因球的表面積及體積與球的半徑有關(guān),故求出三個球的半徑之間關(guān)系即可。將正方體的棱長作為基本元素,以此找出三個半徑的關(guān)系式。
設(shè)正方體棱長為a,三個球的依次為R1、R2、R3,分別作出過球的球心的截面,得如圖所示三種組合體的截面圖。
7、 2R1=a,R1= a=2R2,R2=a a=2R3,R3=a
∴ R1∶R2∶R3=1∶∶
∴ S1∶S2∶S3=R12∶R22∶R32=1∶2∶3
V1∶V2∶V3=R13∶R23∶R33=1∶∶
評注:本題通過作截面圖,將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,是立體幾何的重要思想方法之一。對于這類組合體,通常作出過球心的截面,然后緊抓球心及半徑兩個要素,找位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系。
例3、A、B、C為半徑為1的球面上的三點(diǎn),B、C兩點(diǎn)的球面距離為,點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為,設(shè)球心為O,求:(1)∠BOC、∠AOB的大?。唬?)球心到截面ABC的距離。
8、
解題思路分析:
從轉(zhuǎn)化球面距離著手
(1) 由球面距離定義可知,∠BOC=,∠AOB=∠AOC=;
(2) 法一:利用截面性質(zhì),求出△ABC的外接圓半徑r即可
∵ BC=1,AC=AB=
∴ cos∠BAC=
∴ sin∠BAC=
設(shè)△ABC外接圓半徑為r,則由正弦定理
2r=
∴ r=
∴ 球心到截面ABC的距離為
法二:一般說,立體幾何的解題習(xí)慣是將點(diǎn)、線、面置于某一幾何體中,充分利用幾何體的有關(guān)性質(zhì)解決這些點(diǎn)、線、面的問題。因此本題可考慮O、A、B、C四點(diǎn)構(gòu)成的四面體
∵ OA⊥OB,OA⊥OC
∴ OA⊥平面OBC,如圖
為了確定O在平面ABC上的
9、射影,應(yīng)先找到平面ABC的垂面(輔助平面)
取BC中點(diǎn)M,則OM⊥BC
∴ BC⊥平面OAM
∴ 平面OAM⊥平面ABC
在△OAM內(nèi)作OH⊥AM,H為垂足,則OH⊥平面ABC
∴ OH長度就是點(diǎn)O到平面ABC的距離
∵ OA=1,OM=
∴ AM=
由OA·OM=AM·OH得:OH=
法三:在法二圖形的基礎(chǔ)上,也可用等積法求點(diǎn)O到平面ABC的距離
設(shè)O到平面ABC的距離為x,則
又
∴
求得:S△ABC、S△OBC、OA后代入上式,求得x=
這種方法的優(yōu)越性在于不需要作出O在平面ABC上的射影
例4、三棱錐P—ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=
10、900,求這個三棱錐外接球球心的位置。
解題思路分析:
為了確定球心(點(diǎn))的位置,可將它轉(zhuǎn)化為某兩條直線的公共點(diǎn)。那么球心在哪條直線上呢?
根據(jù)球的截面小圓的性質(zhì),球心在過截面圓的圓心且與截面圓垂直的直線上。
如圖:∵ ∠ABC=900
∴ △ABC的外接圓圓心為AC中點(diǎn)O1,在△PAC內(nèi)作O1M∥PA,則O1M⊥平面ABC
∴ 球心O在直線O1M上
∵ PA⊥平面ABC
∴ PA⊥BC
又BC⊥BA
∴ CB⊥平面PAB
∵ ∠PAB=900
∴ △PAB的外接圓圓心為PB中點(diǎn)O2,在△PBC內(nèi)作O2N⊥CB,則O2N⊥平面PAB
∴ 球心O在直線O2N上
∵ O
11、1M、O2N均與直線PC相交且交點(diǎn)O為PC中點(diǎn)
∴ O1M∩O2M=0
∴ O為三棱錐P—ABC外接球的球心
例5、已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π,且相距為1,求球的體積。
解題思路分析:
利用解方程思想與球的半徑R
這里還需要對兩截面是在球心O的同側(cè)還是異側(cè)進(jìn)行討論
當(dāng)兩截面在球心O的同側(cè)時,作出截面大圓,如圖
則
解之得R=3
當(dāng)兩截面在球心O的兩側(cè)時
則,無解
∴
同步練習(xí)
(一)選擇題
1、 棱長為a的正方體外接球的表面積是
A、πa2 B、2πa2 C、3πa2 D、4πa2
12、
2、A、B為球面上相異兩點(diǎn),則過A、B可作大圓個數(shù)
A、0個 B、只有一個 C、無窮多個 D、以上都不對
3、若球的大圓面積擴(kuò)大為原來的2倍,則球的體積比原來增加
A、2倍 B、4倍 C、倍 D、倍
4、兩個球的體積之比為8∶27,那么這兩個球的表面積之比為
A、2∶3 B、4∶9 C、∶ D、∶
5、表面積為Q的多面體的每一個面都外切于半徑為3的一個球,則這個多面體體積為
A、Q B、3Q
13、C、Q D、無法求解
(二)填空題
6、如果球的半徑擴(kuò)大為原來的n倍,則球的大圓周長擴(kuò)大為原來的______倍,球的表面積擴(kuò)大為原來的______倍,球的體積擴(kuò)大為原來的______倍。
7、過球面上不經(jīng)過球心的兩點(diǎn)所作截面圓中,面積最大的圓是________,面積最小的圓是__________。
8、長方體共頂點(diǎn)的三個側(cè)面面積分別為,則它的外接球的表面積為__________。
9、設(shè)地球半徑為R,在北緯600的圈上有甲、乙兩地,它們緯度圈上的弧長等于,那么甲、乙兩地球面距離為__________。
10、由半徑為R的球面上一點(diǎn)P作球的兩兩互相垂直的三條
14、弦PA、PB、PC,則PA2+PB2+PC2=__________。
(三)解答題
11、設(shè)地球半徑為R,A地在東經(jīng)300的赤道上,B地在北緯450,東經(jīng)1200處,求A、B兩地球面的距離。
12、正三棱錐高為1,底面邊長為,內(nèi)有一個球與四個面都相切,如圖
(1) 求棱錐的全面積;
(2) 求球的半徑。
13、正三棱錐內(nèi)接于半徑為R的球,如果它的高與側(cè)棱所成的角等于α,求棱錐體積。
14、已知AB為球O的直徑,C、D是球面上兩點(diǎn),D又在以BC為直徑的小圓上,設(shè)此小圓所在平面為α
(1) 求證:平面ABC⊥α;
(2)設(shè)AB與α所成角為θ
15、,過球半徑OD且垂直于α的截面截BC弦于E,求△OED與經(jīng)過O、D的截面面積之比,并求θ為何值時,這面積之比最大。
參考答案
(一) 選擇題
1、 C。
2、D。 當(dāng)AB不過球O時,過A、B、O的大圓有且只有一個;當(dāng)AB過球心O時,過直徑AB可作無數(shù)個大圓。
3、D。設(shè)前后兩球半徑分別為R、R’,則,∴,∴擴(kuò)大后球體積,∴,∴
4、B。 兩個半徑之比為2∶3
5、A。 以球心為頂點(diǎn),多面體的每一個面為底面將原多面體分割為若干個棱錐,則棱錐的體積之和為原多面體的體積:
(二)填空題
6、n,n2,n3。
7、大圓,以兩點(diǎn)所連直線段為直徑的圓。因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線
16、段最短,當(dāng)直徑最小時,面積最小。
8、 9π 。設(shè)長方體長、寬、高分別為a、b、c,則不妨取,∴,∴外接圓直徑,∴
9、?!呔暥葓A的半徑為Rcos600=,∴甲、乙兩地在緯度圓上的圓心角為π,即甲、乙兩地為直徑,∴甲、乙兩地直線距離為R,∴甲、乙對球心張角為,球面距離為
10、 4R2 。以PA、P、PC為棱構(gòu)造長方體,該長方體內(nèi)接于球,其對角線長為直徑,∴PA2+PB2+PC2=(2R)2=4R2
(三)解答題
11、如圖,設(shè)球心為O,北緯450的圓的圓心為O’,O’B=Rcos450=R,OO’=R
∵ 二面角B—OO’—A大小為1200-300=900
∴ AB=
17、∵ OA=OB=R
∴ ∠AOB=
∴ A、B兩點(diǎn)球面距離為
12、過PA、PO作球O及正三棱錐P—ABC的截面,如圖,PO’為棱錐的高,PO’=1,PD為正三棱錐的斜高,E為球O與正三棱錐PBC的切點(diǎn)
∵ O’D=
∴
∴ S側(cè)=
∴ S全=S底+S側(cè)=
∵
(S全為P-ABC表面積)
∴
或由△PEO∽△PO’D求R
13、設(shè)棱錐高為SO’,O∈SO’,過SA與SO’確定的平面作球及正三棱錐的截面,如圖
延長SO交大圓于E,連AE
則∠ASE=α,SE=R
Rt△SAE中,SA=SEcosα=2Rcosα
∴ SO’=SAsin∠SAD=SAsi
18、n(900-α)=2Rcos2α
AO’=SAcos∠SAD=SAcos(900-α)=2Rcosαsinα=Rsin2α
∵ O’為△ABC外接圓圓心
∴ AB=AO’
∴ AB=AO’=Rsin2α
∴
∴
14、(1)設(shè)BC中點(diǎn)為O’,則OO’⊥平面α
又OO’平面ABC
∴ 平面ABC⊥α
(2)∵ OE∥AC
∴ AC⊥平面α
∴ ∠ABC為AB與平面α所成的角,∠ABC=θ
易證點(diǎn)E即為O’
∴ OE=OBsinθ=Rsinθ,ED=cosθ
∴ sinθ·Rcosθ=sinθcosθ=sin2θ
過O、D的截面為大圓,S=πR2
∴ S△OED∶S過OD大圓=
∴ 當(dāng)時,面積比最大為