2022年高二數(shù)學 7.5曲線和方程(備課資料)大綱人教版必修

上傳人:xt****7 文檔編號:105330325 上傳時間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):7 大?。?24.52KB
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1、2022年高二數(shù)學 7.5曲線和方程(備課資料)大綱人教版必修 參考練習題 1.如果曲線C上的點滿足方程F(x,y)=0,則以下說法正確的是( ) A.曲線C的方程是F(x,y)=0 B.方程F(x,y)=0的曲線是C C.坐標滿足方程F(x,y)=0的點在曲線C上 D.坐標不滿足方程F(x,y)=0的點不在曲線C上 分析:判定曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系,必須注意兩點:(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解,即直觀地說“點不比解多”稱為純粹性;(2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上,即直觀地說“解不比點多”,稱為完備性,只有點和解一一對應(yīng),才能說曲線的方程,方程和曲線. 解:

2、由已知條件,只能說具備純粹性,但不一定具備完備性.故選D. 2.判斷下列結(jié)論的正誤,并說明理由. (1)過點A(3,0)且垂直于x軸的直線的方程為x=0; (2)到x軸距離為2的點的直線方程為y=-2; (3)到兩坐標軸的距離面積等于1的點的軌跡方程為xy=1; (4)△ABC的頂點A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D為BC中點,則中線AD的方程為x=0. 分析:判斷所給問題的正誤,主要依據(jù)是曲線的方程及方程的曲線的定義,即考查曲線上的點的純粹性和完備性. 解:(1)滿足曲線方程的定義. ∴結(jié)論正確. (2)因到x軸距離為2的點的直線方程還有一個;y=2,即不具

3、備完備性. ∴結(jié)論錯誤. (3)到兩坐標軸的距離的乘積等于1的點的軌跡方程應(yīng)為|x|·|y|=1,即xy=±1. ∴所給問題不具備完備性. ∴結(jié)論錯誤. (4)中線AD是一條線段,而不是直線, ∴x=0(-3≤y≤0), ∴所給問題不具備純粹性. ∴結(jié)論錯誤. 3.方程(3x-4y-12)·[log2(x+2y)-3]=0的曲線經(jīng)過點A(0,-3)、B(0,4)、C()、D(4,0)中的( ) A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 分析:方程表示的兩條直線3x-4y-12=0和x+2y-9=0,但應(yīng)注意對數(shù)的真數(shù)大于0, ∴x

4、+2y>0. 解:由對數(shù)的真數(shù)大于0,得x+2y>0. ∴A(0,-3)、C()不合要求. 將B(0,4)代入方程檢驗,不合要求. 將D(4,0)代入方程檢驗,合乎要求. 故選B. 4.已知點A(-3,0),B(0,),C(4,-),D(3secθ, tanθ),其中在曲線5x2-9y2=45上的點的個數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析:由曲線上的點與方程的解的關(guān)系,只要把點的坐標代入方程,若滿足這個方程,說明這是這個方程的解,這個點就在該方程表示的曲線上. 解:將點A(-3,0)、B(0,)、C(4,-)、D

5、(3secθ, tanθ)代入方程5x2-9y2=45檢驗,只有點A和點B滿足方程. 故選B. 5.如果兩條曲線的方程F1(x,y)=0和F2(x,y)=0,它們的交點M(x0,y0),求證:方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0表示的曲線也經(jīng)過M點.(λ為任意常數(shù)) 分析:只要將M點的坐標代入方程. F1(x,y)+λF2(x,y)=0,看點M的坐標是否滿足方程即可. 證明:∵M(x0,y0)是曲線F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點, ∴F1(x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0. ∴F1(x0,y0)+λF2(x0,y0)=0(λ∈R) ∴M(x0,y0)

6、在方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0所表示的曲線上. 評述:方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0也稱為過曲線F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點的曲線系方程. ●備課資料 參考練習題 1.動點M到定點A(0,3)的距離等于它到定直線y=-1的距離,求動點M的軌跡方程. 分析:依據(jù)求曲線方程的步驟求解. 解:設(shè)軌跡上的任一點為M(x,y),作MN垂直于直線y=-1于點N, 則由|MN|=|AM| 得|y+1|= 整理:y=x2+1 ∴所求軌跡方程為:y=x2+1. 如圖所示: 2.已知點A(-a,0),B(a,0),(a∈R+),若動點M

7、與兩定點A、B構(gòu)成直角三角形,求直角頂點M的軌跡方程. 分析:先依題意畫出草圖,幫助分析,然后按求曲線方程的步驟求解. 解:如圖,設(shè)點M的坐標為M(x,y) 由AM⊥BM 得kAM·kBM=-1. 即x2+y2=a2 ∵M、A、B三點構(gòu)成三角形 ∴M、A、B三點不共線,點M的縱坐標y≠0,從而得x≠±a. ∴所求軌跡的方程為: x2+y2=a2(x≠±a) 3.已知平面上兩個定點A、B之間的距離為2a,點M到A、B兩點的距離之比為2∶1,求動點M的軌跡方程. 分析:因已知條件中未給定坐標系,所以需“恰當”建立坐標系,考慮到對稱性,由|AB|=2a,選A、B兩點所在的直線為

8、x軸,AB中點為坐標原點.A(-a,0),B(a,0),再求解. 解:如圖,以兩定點A、B所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立坐標系. ∵|AB|=2a. ∴設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y) ∵|MA|∶|MB|=2∶1 ∶ =2∶1 =2 化簡,得(x-a)2+y2=a2 ∴所求動點M的軌跡方程為 (x-a)2+y2=a2. 4.一個動點P與兩定點A、B的距離的平方和為122,|AB|=10,求動點P的軌跡方程. 分析一:因兩定點A、B的距離|AB|=10,選A、B所在直線為x軸,原點為AB的中點,建立坐標系. 解法一:建立坐標系,使AB在x軸上,原

9、點為AB的中點, ∵|AB|=10,∴A(-5,0)、B(5,0) 設(shè)動點為P(x,y) 依題意|PA|2+|PB|2=122,得 (x+5)2+y2+(x-5)2+y2=122. 化簡,x2+y2=36. 分析二:取A、B所在直線為x軸,A為坐標原點,因|AB|=10,則B(10,0),然后依題設(shè)條件,列出方程. 解法二:建立直角坐標系,使AB在x軸上,原點為A點, ∵|AB|=10,則B(10,0), 設(shè)動點P(x,y). 依題意,得x2+y2+(x-10)2+y2=122 化簡:x2+y2-10x-11=0. 評述:不難發(fā)現(xiàn),在上面兩種解法中,由于選取直角坐標系的

10、不同而導致曲線的繁簡程度不一.解法一中利用對稱性,取AB中點為坐標系的原點,解法二中直接將線段AB的左端點取為坐標系的原點,解法一的方程比解法二的方程簡潔,但不能由此斷定任何情況下,取線段中點為坐標系的原點就是最恰當?shù)?,上面?中,如取A(-,0),B(-,0),則曲線方程為x2+y2=a2. ●備課資料 參考練習題 1.求點P到點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1的點的軌跡方程. 分析:利用直接法列出方程. 解:設(shè)P(x,y)為所求軌跡上任意一點, ∵點P到F的距離比它到直線x+5=0的距離小1. 故點P到F(4,0)的距離與點P到直線x+4=0的距離|PD|相等

11、. ∴|PF|=|PD| ∴=|x-(-4)| ∴y2=16x. 2.過點P(2,4)作互相垂直的直線l1,l2,若l1交x軸于A,l2交y軸于B,求線段AB中點M的軌跡方程. 分析一:設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任意一點,利用l1⊥l2,由k1·k2=-1求解. 解法一:設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任一點, ∵M為AB中點, ∴A(2x,0),B(0,2y), ∵l1⊥l2且l1,l2過點P(2,4), ∴PA⊥PB ∴kPA·kPB=-1 ∵kPA=(x≠1) kPB= ∴· =-1 即:x+2y-5=0(x≠1) 當x=1時,A(2,0)、B(0,4),此時A

12、B中點M的坐標為(1,2),它也滿足方程x+2y-5=0. ∴所求點M的軌跡方程為x+2y-5=0. 分析二:連結(jié)PM,由l1⊥l2, ∴△APB為直角三角形, |PM|=|AB| 解法二:連結(jié)PM. 設(shè)M(x,y), 則A(2x,0),B(0,2y) ∵l1⊥l2,∴△PAB為直角三角形 ∴|PM|=|AB| 即 化簡:x+2y-5=0 ∴所求點M的軌跡方程為x+2y-5=0. 3.已知定點A(4,0)和圓x2+y2=4上的動點B,點P分AB之比為2∶1,求點P的軌跡方程. 分析:設(shè)點P(x,y),B(x0,y0) 由=2,找出x、y與x0、y0的關(guān)系. 利用

13、已知曲線方程消去x0、y0,得到x、y的關(guān)系. 解:設(shè)動點P(x,y)及圓上點B(x0,y0) ∵λ==2, 代入圓的方程x2+y2=4 得 即:(x-)2+y2= ∴所求軌跡方程為:(x-)2+y2=. 4.過不在坐標軸上的定點M(a,b)任作一直線,分別交x軸、y軸于A、B,求線段AB中點P的軌跡方程. 分析:利用平面幾何性質(zhì)求解. 解法一:設(shè)線段AB的中點為P(x,y) 作MC⊥y軸,PD⊥y軸,垂足分別為C、D, 則:CM=a,OC=b,DP=x,OD=DB=y ∵MC∥PD ∴△MBC∽△PBD ∴ 即(x≠0,y≠0) 故所求軌跡方程為:2xy-

14、bx-ay=0. 分析二:利用B、M、A三點共線得kMA=kMB求解. 解法二:設(shè)點A(m,0),B(0,n) 則線段AB的中點P(x,y)的坐標滿足 m=2x,n=2y. ∵B、M、A共線 ∴kMA=kMB ∴ 得an-mn+mb=0. 由m=2x,n=2y 得ay-2xy+bx=0. 分析三:因AB直線過點M(a,b),設(shè)其方程為:y-b=k(x-a).將斜率k作參數(shù)求解. 解法三:設(shè)線段AB的中點為P(x,y), 過點M(a,b)的直線方程為: y-b=k(x-a),(k≠0) 則A(a-,0),B(0,b-ak) ∴中點P的坐標為: 消去k得所求方

15、程為: 2xy-bx-ay=0. ●備課資料 參考練習題 1.若直線l:y=x+b與曲線C:y=有兩個不同的交點,求b的取值范圍. 分析:將曲線的交點問題轉(zhuǎn)化為方程組的解的問題來求解. 解:由 消去x得,得 2y2-2by+b2-1=0(y≥0) ① 由題設(shè)條件直線l與拋物線有兩個不同的交點,所以將問題轉(zhuǎn)化為求方程①有兩個不同的非負實數(shù)根. ∴ 解得1≤b<. ∴所求b的取值范圍為1≤b<. 2.已知拋物線y=-x2+mx-1與以A(3,0),B(0,3)為端點的線段AB恰有一個公共點,求實數(shù)m的取值范圍. 分析:由直線AB的方程為y=-x+

16、3,得線段AB的方程為:y=-x+3(0≤x≤3),由題設(shè)拋物線y=-x2+mx-1與線段AB:y=-x+3恰有一個公共點,問題歸結(jié)為方程組 在0≤x≤3內(nèi)只有一個實數(shù)解. 解:線段AB方程為y=-x+3.(0≤x≤3). 代入拋物線方程得 x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3) ① 問題歸結(jié)為方程x2-(m+1)x+4=0在[0,3]內(nèi)僅有一個實數(shù)解. 令f(x)=x2-(m+1)x+4, 結(jié)合f(x)=x2-(m+1)x+4在區(qū)間[0,3]上的圖象可知. (ⅰ)當m=3時,方程有兩相等實根,且對稱軸在區(qū)間[0,3]內(nèi). (ⅱ)當f(0)·f(3)≤0,即

17、4[9-3(m+1)+4]≤0 即m≥時,方程恰有一實根在[0,3]內(nèi). 但當m=時,由方程①得x1=或x2=3,即方程①當m=時,有兩實根在區(qū)間[0,3]內(nèi),不合題意,舍去. 綜上所述,所求實數(shù)m的取值范圍為 m=3或m>. 3.曲線2y2+3x+3=0與曲線x2+y2-4x-5=0的公共點的個數(shù)是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解:由 ① ② 得:2x2-11x-13=0. 即(2x-13)(x+1)=0. 將 x1=-1,x2=分別代入①, 得 即兩曲線有一個公共點(-1,0). ∴應(yīng)選D

18、. 評述:由曲線上點的坐標和它的方程的解之間的對應(yīng)關(guān)系可知,兩條曲線的交點的坐標,應(yīng)是由這兩條曲線的方程所組成的方程組的實數(shù)解.方程組有幾個實數(shù)解,這兩條曲線就有幾個交點. 4.給出下列曲線,其中與直線y=-2x-3有交點的所有曲線是( ) ①4x+2y-1=0 ②x2+y2=3 ③ ④ A. ①③       B.②④ C.①②③ D.②③④ 分析:如果不加深入思考,采用直線方程y=-2x-3分別與四個曲線方程分別聯(lián)立求交點,那是何等的復雜、冗長,且易出現(xiàn)差錯.作為一個選擇題,這樣來處理,有些不恰當,如何解呢? 解:∵y=-2x-3可變形為4x+2y+6=0.顯然此直線與直線4x+2y-1=0平行.故排除A、C,將y=-2x-3代入 .并整理得9x2+24x+16=0,即(3x+4)2=0. 解之得 ∴應(yīng)選D 評述:本題考查曲線交點,立足基礎(chǔ),設(shè)計巧妙 .一個一個求交點較繁且易出錯.只有分析判斷能力強、思維靈活、正反面結(jié)合,才能快速準確地求得解答,本題對分析、判斷能力要求較高.

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