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1、2022年高考數(shù)學(xué) 高頻考點(diǎn)、提分密碼 第九部分 排列組合與二項(xiàng)式定理 新人教版
[知識(shí)點(diǎn)]
一.排列與組合
1.基本原理：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理 N=m1+m2+…+mn
分步計(jì)數(shù)原理 N=m1m2…mn
2.定義與公式
排列
組合
定義
從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)數(shù)列.
所有排列的個(gè)數(shù)叫排列數(shù)，記為Anm。m、n∈N*且
m≤n.
從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素并成一組，叫從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。所有組合的個(gè)數(shù)叫組合數(shù)，記為Cnm.
m、n∈N*且m≤n.
公式
Anm
2、=n(n－1)(n－2)…
(n－m+1)
Ann=n!, 0!=1
Anm=
Cnm=
Cnm=, Cn0=1
性質(zhì)
Cnm=Cnn－m
Cn+1m=Cnm+Cnm－1
區(qū)別
排列與元素順序有關(guān)
排列先取后排
組合與元素順序無(wú)關(guān)
組合只取不排
二.二項(xiàng)式定理
1.定理：(a+b)n=Cn0an+Cn1an－1b+…+Cnran－rbr+…+Cnnbn，n∈N*
2.二項(xiàng)式系數(shù)：Cnr，r=0,1,2,,…n.
3.通項(xiàng)Tr+1=Cnran－rbr (r=0,1,2…n)
4.二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)
⑴對(duì)稱(chēng)性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等。
3、即Cn0=Cnn，Cn1=Cnn－1,Cn2=Cnn－2,…
⑵增減性：f(r)=Cnr，當(dāng)r<時(shí)，Cnr遞增，當(dāng)r≥時(shí)，Cnr遞減
⑶最大值：
冪指數(shù)n
展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)n+1
二項(xiàng)式系數(shù)最大
項(xiàng)(中間項(xiàng))
值
偶數(shù)
奇數(shù)
T
奇數(shù)
偶數(shù)
T、T
=
⑷Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n Cn0+Cn2+Cn4+…=2n－1 Cn1+Cn3+Cn5+…=2n－1
另：⑴二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）略。
⑵
⑶(a－b)n=Cn0an－Cn1an－1b+Cn2an－2b2－…+(－1)nCnnbn
⑷(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn
4、2x2+…+Cnnxn
[易錯(cuò)點(diǎn)提示]
1.應(yīng)用兩個(gè)基本原理解題時(shí)，應(yīng)正確區(qū)分是分類(lèi)還是分步.
2.解排列組合應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)注意方法及分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的選擇，并做到層次清晰，不重不漏。
3.在二項(xiàng)式定理中，注意系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)、奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)、奇次項(xiàng)與偶次項(xiàng)的區(qū)別. Cnran－rbr是第r+1項(xiàng).
4.多項(xiàng)式展開(kāi)通常化為二項(xiàng)式展開(kāi)處理，求展開(kāi)式中某些項(xiàng)的系數(shù)(值)關(guān)系時(shí)，常用賦值法.
5.用二項(xiàng)式定理計(jì)算余數(shù)問(wèn)題時(shí)，余數(shù)不能為負(fù)數(shù).
如：∵233=811=(9－1)11=9k－1
∴233被9除余數(shù)為8.
6.證明形如：2n>2n (n≥3且n∈N)，
比較2n與n2 (n∈N*)大小，此類(lèi)問(wèn)題常用二項(xiàng)式定理.
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