2022年高考數(shù)學總復習 基礎知識 第六章 第一節(jié)不等關系與不等式 文

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1、2022年高考數(shù)學總復習 基礎知識 第六章 第一節(jié)不等關系與不等式 文 近三年廣東高考中對本章考點考查的情況 年份 題號 賦分 所考查的知識點 xx 4 5 求函數(shù)定義域 5 5 求一元二次不等式的解集 18 14 證明四點共面，證明線面垂直 6 5 線性規(guī)劃的最大值問題 20(2) 8 以數(shù)列為背景的不等式證明 (續(xù)上表) xx 5 5 線性規(guī)劃的最小值問題 11 5 求函數(shù)定義域 18(1) 6 線面垂直的證明 21(1) 6 一元二次不等式的解集 xx 2 5 求函數(shù)的定義域

2、13 5 線性規(guī)劃、目標函數(shù)的最大值 19(3) 6 以數(shù)列為背景的不等式證明 20(3) 6 求二次函數(shù)的最值 21(3) 6 三次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值 本章內(nèi)容主要包括兩個內(nèi)容：不等式、推理與證明． 不等式主要包括：不等式的基本性質(zhì)、一元二次不等式的解法、基本不等式的應用、簡單的線性規(guī)劃問題、不等式簡單應用． 推理與證明主要包括：合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明，其中合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢，選擇題、填空題、解答題都可能涉及，該部分命題的方向主要會在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面

3、，在新的高考中都會涉及和滲透，但單獨出題的可能性較?。? 廣東高考在這一章的命題上呈現(xiàn)以下特點： 1．考查題型以選擇題、填空題為主，偶以解答題形式出現(xiàn)，但多數(shù)是解答題中的一部分，如與數(shù)列、函數(shù)、解析幾何等結(jié)合考查，分值約占10%左右，既有中、低檔題，也會有高檔題出現(xiàn)． 2．重點考查不等式解法、不等式應用、線性規(guī)劃以及不等式與其他知識的結(jié)合，另在推理與證明中將會重點考查． 3．對合情推理與演繹推理及證明方法的考查，主要放在解答題中，注重知識交匯處的命題． 預計高考中對本章內(nèi)容的考查仍將以不等式的解法、基本不等式應用、線性規(guī)劃為重點，將推理與證明和其他知識相融合，更加注重應用與能力的考查．

4、 本章內(nèi)容理論性強，知識覆蓋面廣，因此在復習過程中應注意： 1．復習不等式的性質(zhì)時，要克服“想當然”和“顯然成立”的思維定勢，要以比較準則和實數(shù)的運算法則為依據(jù)． 2．不等式的證明方法除比較法、分析法、綜合法外，還有反證法、換元法、判別式法、構(gòu)造法、幾何法，這些方法可作適當了解，但要控制量和度． 3．解(證)某些不等式時，要把函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)性結(jié)合起來． 4.注意重要不等式和常用思想方法在解題、證題中的作用． 在復習不等式的解法時，加強等價轉(zhuǎn)化思想的訓練與復習．解不等式的過程是一個等價轉(zhuǎn)化的過程，通過等價轉(zhuǎn)化可簡化不等式(組)，以快速、準確求解． 加強分類討論思

5、想的復習．在解不等式或證不等式的過程中，如含參數(shù)等問題，一般要對參數(shù)進行分類討論．復習時，學生要學會分析引起分類討論的原因，合理地分類，做到不重不漏． 加強函數(shù)與方程思想在不等式中的應用訓練．不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化．如求參數(shù)的取值范圍問題，函數(shù)與方程思想是解決這類問題的重要方法． 在不等式的證明中，加強化歸思想的復習，證不等式的過程是一個已知條件向要證結(jié)論轉(zhuǎn)化的過程，既可考查學生的基礎知識，又可考查學生分析問題和解決問題的能力，正因為證不等式是高考考查學生代數(shù)推理能力的重要素材，復習時應引起我們的足夠重視． 5．強化不等式的應用． 高考中除單獨考查不等式的試

6、題外，常在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和實際應用問題的試題中涉及不等式的知識，加強不等式應用能力，是提高解綜合題能力的關鍵．因此，在復習時應加強這方面的訓練，提高應用意識，總結(jié)不等式的應用規(guī)律，才能提高解決問題的能力． 如在實際問題應用中，主要有構(gòu)造不等式求解或構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值等方法，求最值時要注意等號成立的條件，避免不必要的錯誤． 6．利用平均值定理解決問題時，要注意滿足定理成立的三個條件：“一正、二定、三相等”． 7．要強化不等式的應用意識，同時要注意到不等式與函數(shù)、方程的區(qū)別與聯(lián)系． 對于類比型問題可以說是創(chuàng)新要求的體現(xiàn)，最常見的是二維問題與三維問題的類比，同結(jié)構(gòu)問題的

7、類比(比如圓錐曲線內(nèi)的類比問題、數(shù)列內(nèi)的類比問題等)，較少對照不同結(jié)構(gòu)的類比問題．關于歸納、猜想、證明是考得比較多、比較成熟的題型了，在復習備考中要把握考試的特點，注重落實． 歸納、演繹和類比推理在數(shù)學思維中所占的分量非常重，事實上，在高考中歸納、猜想、證明以及類比、證明這一類題目是?？汲Ｐ碌模? 推理與證明問題綜合了函數(shù)、方程、不等式、解析幾何與立體幾何等多個知識點，需要采用多種數(shù)學方法才能解決問題，如：函數(shù)與方程思想、化歸思想、分類討論思想等，對學生的知識與能力要求較高，是對學生思維品質(zhì)和邏輯推理能力、表述能力的全面考查，可以彌補選擇題與填空題等客觀題的不足，是提高區(qū)分度、增強選拔功能的

8、重要題型，因此在最近幾年的高考試題中，推理與證明問題正在成為一個熱點題型，并且經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn)． 第一節(jié)　不等關系與不等式 了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式(組)的實際背景. 知識梳理 一、不等式的概念 在客觀世界中，量與量之間的不等關系是普遍存在的，我們用數(shù)學符號“<”，“>”，“≤”，“≥”，“≠”連接兩個數(shù)式或代數(shù)式以表示它們之間的不等的關系的式子，叫做不等式． 二、實數(shù)運算性質(zhì)與大小順序關系 1．a(chǎn)>b?a－b>0.2.a＝b?a－b＝0.3.a

9、的基本性質(zhì) 　雙向性： 1．定理1(對稱性)：a>b?bb，b>c?a>c. 3．定理3(同加性)：a>b，c為整式或?qū)崝?shù)?a＋c>b＋c. 4．定理3推論(疊加性)：?a＋c>b＋d. 5．定理4(可乘性)：?ac>bc；?acbd. 7．定理4推論2(可乘方性)：a>b>0?an>bn(n∈N*且n>1)． 8．定理5(可開方性)：a>b>0?＞(n∈N*且n>1)． 四、不等式性質(zhì)成立的條件 例如，重要結(jié)論：a＞b，ab＞0?＜，不能弱化條件得a＞b?＜. 五、正確處理帶等

10、號的情況 如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a≥c，當且僅當a＝b且b＝c時，才會有a＝c. 注意：不等式的性質(zhì)從形式上可分兩類：一類是“?”型；另一類是“?”型．要注意二者的區(qū)別． 基礎自測 1．已知a＜0，b＜－1，則下列不等式成立的是(　　) A．a(chǎn)＞＞　 B.＞＞a C.＞＞a D.＞a＞ 解析：特殊值法，取a＝－1，b＝－2，驗證知＞＞a成立．也可用作差比較法． 答案：C 2．(xx·廣東兩校聯(lián)考)若0

11、log2a＋log2b＋1 D．log2(a3＋a2b＋ab2＋b3) 解析：特殊值法．取a＝，b＝，則log2b＝log2＝1－log23>1－log24＝－1； log2b－(log2a＋log2b＋1)＝－1－log2＝－1＋log23>0； 計算可知，b>a3＋a2b＋ab2＋b3， ∴l(xiāng)og2b>log2(a3＋a2b＋ab2＋b3)．故選B. 答案：B 3．已知a，b∈R且a＞b，則下列不等式中一定成立的是________． ①＞1?、赼2＞b2　③lg(a－b)＞0?、躠＜b 解析：令a＝2，b＝－1，則a＞b，＝－2，故＞1不成立；令a＝1，b＝－

12、2，則a2＝1，b2＝4，故a2＞b2不成立；當a－b在區(qū)間(0,1)內(nèi)時，lg(a－b)＜0；f(x)＝x在R上是減函數(shù)，∵a＞b，∴f(a)＜f(b)，即a＜b.故④正確． 答案：④ 4．a(chǎn)>b>0，m>0，n>0，則，，，由大到小的順序是____________． 解析：取特殊值．如a＝2，b＝1，m＝n＝1，則＝，＝2，＝，＝.∴>>>. 答案：>>> 1．(xx·北京卷)設a，b，c∈R，且a>b，則(　　) A．a(chǎn)c>bc B.< C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3 解析：當a>b時，a3>b3成立．A項中對c＝0不成立

13、．B項取a＝1，b＝－1，則<不成立；C項取a＝1，b＝－2，則a2>b2不成立． 答案：D 2．(xx·大綱全國卷)已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，則(　　) A．xln e＝1，y=log52＝，＜1.綜上可得，y＜z＜x.故選D. 答案：D 1．(xx·江門一模)若x＞0，y＞0，則x＋y＞1是x2＋y2＞1的(　　) A．充分不必要條件　　　　　B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條

14、件 解析：先看充分性， 可取x＝y(tǒng)＝，使x＋y＞1成立，而x2＋y2＞1不能成立，故充分性不能成立； 若x2＋y2＞1，因為x＞0，y＞0， 所以(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＞x2＋y2＞1， ∴x＋y＞1成立，故必要性成立． 綜上所述，x＋y＞1是x2＋y2＞1的必要不充分條件． 答案：B 2．(xx·北京西城區(qū)期末)已知a>b>0，給出下列四個不等式： ①a2>b2?、?a>2b－1?、?－ ④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式為________． 解析：由a>b>0可得a2>b2，①成立； 由a>b>0可得a>b－1，而函數(shù)f(x)＝2x在R上是增函數(shù)；∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立； ∵a>b>0，∴>， ∴()2－(－)2＝2－2b＝2(－)>0， ∴>－，③成立； 若a＝3，b＝2，則a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立． 答案：①②③