2022年高中數(shù)學《第二章 平面向量》單元復習題新人教B版必修4

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1、2022年高中數(shù)學《第二章 平面向量》單元復習題新人教B版必修4 一、選擇題（ 12 小題，每小題 5分） 1．化簡＋－－等于(　　) A.　　　　　 B．0 C. D. 2.在四邊形ABCD中，，且||＝||，那么四邊形ABCD為 A．平行四邊形 B．菱形 C．長方形 D．正方形 3.已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（－2，1）、（3，4）、（－1，3），則第四個頂點D的坐標為 A．（2，2） B．（－6，0） C．（4，6） D．（－4，2） 4.有下列命題：①＝0；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c；③若a＝（m

2、，4），則|a|＝的充要條件是m＝；④若的起點為A（2，1），終點為B（－2，4），則與x軸正向所夾角的余弦值是.其中正確命題的序號是 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 5.已知a＝（－2，5），|b|＝2|a|，若b與a反向，則b等于 A．（－1，） B．（1，－） C．（－4，10） D．（4，－10） 6.已知|a|＝8，e是單位向量，當它們之間的夾角為時，a在e方向上的投影為 A．4 B．4 C．4 D．8＋2 7.若|a|＝|b|＝1，a⊥b且2a＋3b與ka－4b也互相垂直，則k的值為 A．－6

3、 B．6 C．3 D．－3 8.已知a＝（3，4），b⊥a，且b的起點為（1，2），終點為（x，3x），則b等于 A．（－） B．（－） C．（－） D．（） 9.等邊△ABC的邊長為1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于 A．0 B．1 C．－ D．－ 10.把函數(shù)y＝的圖象按a＝（－1，2）平移到F′，則F′的函數(shù)解析式為 A．y＝ B．y＝ C．y＝ D． y＝ 11.已知向量e1、e2不共線，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a與b共線，則k等于（ ） A．±

4、1 B．1 C．－1 D．0 12. 設向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，則|c|的最大值等于(　　) A．2 B. C. D．1 二、填空題（ 4小題，每小題 4分） 13.如圖，M、N是△ABC的一邊BC上的兩個三等分點，＝a，＝b，則＝ . 14.a、b、a－b的數(shù)值分別為2，3，，則a與b的夾角為 . 15.在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC，已知點A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則D點的坐標為________．

5、 16.已知向量a、b的夾角為，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋b||a－b|的值是 . 三、解答題：（共74分） 17.（本小題滿分10分） 已知A（4，1），B（1，－），C（x，－），若A、B、C共線，求x. 18.（本小題滿分12分） 已知|a|＝3，|b|＝2，a與b的夾角為60°，c＝3a＋5b，d＝ma－b，c⊥d，求m的值. 19.（本小題滿分12分） 已知a、b都是非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角. 20. (2011年

6、高考天津卷改編)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，求|＋3|的最小值． 21.（本小題滿分14分） 設i、j分別是直角坐標系x軸、y軸上的單位向量，若在同一直線上有三點A、B、C，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，⊥，求實數(shù)m、n的值. 22.（本小題滿分14分）已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)． (1)若·＝－1，求sin的值； (2)若|＋|＝，且α∈(0，π)，求與的夾角． 必修4第二章《

7、平面向量》復習題一答案 (本卷共150分，考試時間120分鐘) 一、選擇題（ 12 小題，每小題 5分） 1．解析：選B.＋－－＝－(＋)＝－＝0. 2.解析：由＝可得四邊形ABCD是平行四邊形，由||＝||得四邊形ABCD的一組鄰邊相等，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形. 答案：B 3.解析：設D（x，y），則＝（5，3），＝（－1－x，3－y）， ＝（x＋2，y－1），＝（－4，－1）. 又∵∥，∥， ∴5（3－y）＋3（1＋x）＝0，－（x＋2）＋4（y－1）＝0， 解得x＝－6，y＝0. 答案：B 4.解析：∵，∴①錯. ②是數(shù)量積的分配律，正確. 當m＝－

8、時，|a|也等于，∴③錯. 在④中，＝（4，－3）與x軸正向夾角的余弦值是，故④正確. 答案：C 5.解析：b＝－2a＝（4，－10），選D. 答案：D 6.解析：由兩個向量數(shù)量積的幾何意義可知：a在e方向上的投影即： a·e＝|a||e|cos＝8×1×＝4. 答案：B 7.解析：∵a⊥b ∴a·b＝0 又∵（2a＋3b）⊥（ka－4 b） ∴（2a＋3b）·（ka－4 b）＝0 得2ka2－12b2＝0又a2=|a|2=1，b2=|b|2=1 解得k＝6. 答案：B 8.解析：b＝（x－1，3x－2） ∵a⊥b，∴a·b＝0 即3（x－1）＋4（3x－2）

9、＝0， 解得x＝. 答案：C 9.解析：由已知|a|＝|b|＝|c|＝1， ∴a·b＋b·c＋c·a ＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝－. 答案：D 10.解析：把函數(shù)y＝的圖象按a＝（－1，2）平移到F′，則F′的函數(shù)解析式為A，即按圖象向左平移1個單位，用（x＋1）換掉x，再把圖象向上平移2個單位，用（y－2）換掉y，可得y－2＝. 整理得y＝ 答案：A 11.解析：∵a與b共線 ∴a＝λb（λ∈R）， 即ke1＋e2＝λ（e1＋ke2）， ∴（k－λ）e1＋（1－λk）e2＝0 ∵e1、e2不共線. ∴ 解得k＝±1，故選A. 答案：A

10、 12. 解析：選A.如圖，設＝a，＝b，＝c，則＝a－c，＝b－c. ∵|a|＝|b|＝1，∴OA＝OB＝1. 又∵a·b＝－， ∴|a|·|b|·cos∠AOB＝－， ∴cos∠AOB＝－.∴∠AOB＝120°. 又∵〈a－c，b－c〉＝60°，而120°＋60°＝180°， ∴O、A、C、B四點共圓．∴當OC為圓的直徑時，|c|最大，此時∠OAC＝∠OBC＝90°，∴Rt△AOC≌Rt△BOC，∴∠ACO＝∠BCO＝30°， ∴|OA|＝|OC|，∴|OC|＝2|OA|＝2. 13.解析：＝b－a， ∴＝（b－a）. 答案：（b－a） 14.解析：∵（a－b）2＝

11、7 ∴a2－2a·b＋b 2＝7 ∴a·b＝3 ∴cosθ＝ ∴θ＝. 答案： 15.解析：因為四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC，所以四邊形ABCD為平行四邊形，∴＝， 設D(x，y)，又∵＝(8,8)，＝(8－x,6－y)， ∴，∴，所以D點的坐標為(0，－2)． 答案：(0，－2) 16.解析：∵a·b＝|a||b|cos＝2×1×＝1 ∴|a+b|2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×1＋12＝7， |a－b|2＝a2－2 a·b＋b2＝22－2×1＋1＝3 ∴|a＋b|2|a－b |2＝3×7＝21 ∴|a＋b||a－b |＝. 答案： 17.（本

12、小題滿分10分） 解：∵＝（－3，－），＝（x－1，－1） 又∵∥ ∴根據(jù)兩向量共線的充要條件得－（x－1）＝3 解得x＝－1. 18.（本小題滿分12分） 解：a·b＝|a||b|cos60°＝3 ∵c⊥d，∴c·d＝0 即（3a＋5b）（ma－b）＝0 ∴3ma2＋（5m－3）a·b－5b2＝0 ∴27m＋3（5m－3）－20＝0 解得m＝. 19.（本小題滿分12分） 解：由已知，（a＋3b）·（7 a－5b）＝0， （a－4b）·（7a－2 b）＝0， 即7a2＋16a·b－15 b 2＝0 ① 7a－30a·b＋8 b 2＝0 ② ①－②得2a

13、·b＝b2 代入①式得a2＝b2 ∴cosθ＝， 故a與b的夾角為60°. 20. 解：法一：以D為原點，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設DC＝a，DP＝x. ∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)， ＝(2，－x)，＝(1，a－x)， ∴＋3＝(5,3a－4x)， |＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25， ∴|＋3|的最小值為5. 法二：設＝x(0

14、＝25＋(3－4x)22≥25， ∴|＋3|的最小值為5. 21.解：∵⊥， ∴－2n＋m＝0 ① ∵A、B、C在同一直線上， ∴存在實數(shù)λ使＝λ， ＝－＝7i＋［－（m＋1）j］ ＝－＝（n＋2）i＋（1－m）j， ∴7＝λ（n＋2） m＋1＝λ（m－1） 消去λ得mn－5m＋n＋9＝0 ② 由①得m＝2n代入②解得 m＝6，n＝3；或m＝3，n＝. 22.解：(1)∵＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)， ∴·＝(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1， 得cos2＋sin2α－3(cosα＋sinα)＝－1， ∴cosα＋sinα＝， ∴sin＝. (2)∵|＋|＝， ∴(3＋cosα)2＋sin2α＝13，∴cosα＝， ∵α∈(0，π)，∴α＝，sinα＝，∴C， ∴·＝，設與的夾角為θ， 則cosθ＝＝＝. ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝即為所求的角.