2022年高中數學《兩角和與差的正弦、余弦、正切公式》教案5 新人教A版必修4

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1、2022年高中數學《兩角和與差的正弦、余弦、正切公式》教案5 新人教A版必修4 教材分析：教材通過實際問題情景的設置，使學生看到和角的正切求值問題，通過探究問題的設置，使學生明白兩角差的余弦值與兩角余弦值的差不相等這個事實，引發(fā)學生探索求解兩角差的余弦值。然后，用幾何方法部分的推導了兩角差的余弦公式，使學生體會到幾何方法推導公式的復雜性，轉而用向量推證余弦的差角公式。 余弦的和差角公式是推導其它4個公式及后面的二倍角公式的基礎，推證的過程難度不大，教材采用了“留空”的方式處理這部分內容。 課標解讀：1、經歷用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法

2、的作用。 2、能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系。 3、能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括引導導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。 課 題：§3.1.1兩角和與差的正弦，余弦和正切公式 課 時：第1課時 課 型：新知課 教學目標：1、知識目標：在利用向量的數量積的知識，推導出兩角差的余弦公式的基礎上，進一步導出兩角和的余弦公式，兩角和與差的正弦，正切公式。 2、能力目標：會根據問題的特點，正確的選擇公式解決問題 3、德育目標：培養(yǎng)學生的主體意

3、識，激發(fā)學生主動學習的積極性 教學重點：引導學生通過獨立探索和討論交流，導出兩角和與差的六個三角函數公式，并了解它們的內在聯系，為運用這些公式進行簡單的恒等變換打好基礎。 教學難點：1、利用向量的數量積推導差角的余弦公式 2、利用誘導公式，由余弦的和差角公式推導正弦的和差角公式 難點突破：1、利用“導學案”問題的步步設置，使差角的余弦公式推導問題分散處理，在學生解決“導學案”所設置的問題的過程中，不知不覺的得出差角的余弦公式。 2、利用“導學案”對“利用誘導公式，由余弦的和差角公式推導正弦的和差角公式”的過程進行提示和引導，使學生有方向，有目

4、的的進行公式的推導，并得出結論。 課前準備：課前將導學案發(fā)給學生，讓學生在導學案的引導下復習已有舊知識，預習本節(jié)課的新知識，并完成導學案上所設置的問題。要求學生完成導學案后，找出自己未能解決的問題并記錄下來， 老師予以記錄，解答。 復習準備 學生在導學案的引導下，自主復習三角函數定義，誘導公式，向量的數量積及同角三角函數的關系。（學生課前完成） 教學流程： 問題設置 在導學案中設置問題情景，提高學生學習本節(jié)知識的興趣。（學生課前完成） 1、 通過導學案，層層設置問題，使公式的推導過程逐層遞進，使學生在解決問題的過程中體驗公式的推導和論

5、證過程。 2、 老師引導學生歸納總結出公式的特征，作用及記憶口訣。 知識探究 知識鞏固 通過例題的練和講，使學生進一步熟悉公式及其簡單應用。 課時小結 總結本節(jié)課所學的六個公式，及一般的解題思路。 課堂教學設計 環(huán)節(jié) 內容設計 師生互動 設計意圖 復 習 準 備 1.三角函數的定義：設α是任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y)， 那么：， ， 2．同角三角函數的關系： 3.誘導公式：奇變偶不變，符號看象限 如：， ， ， 4.向量的數量積： ; (

6、模長形式) （坐標形式） 學生根據導學案的引導，自主復習相關知識。 培養(yǎng)學生自主學習的習慣 問 題 設 置 我們在初中的時候，就已經知道，由此，我們能否得出大家可以猜想，是不是等于呢？ 在導學案中提出該問題，學生自主回答。 提出問題，使學生對問題的結果產生猜想，提高學生學習本節(jié)課內容的興趣 知 識 探 究 1、差角的余弦公式推導： 如圖所示，任意角α的終邊OP與單位圓相交于點P，根據三角函數的定義可知，點P的坐標是（用α表示），同樣的，任意角β的終邊OQ與單位圓相交于點Q，根據三角函數的定義，點Q的坐標是（用β表示），故

7、向量，（填坐標），的夾角為，，由向量的數量積可知： 1、在導學案中，層層設置問題。學生獨立自主的解決導學案中所設置的問題。 1、通過層層設置的問題，使差角的余弦公式的推導過程中的難點分散得到解決，使學生在解決問題的過程中不知不覺的體驗用向量解決問題的過程。 進一步檢測學習的結果，使學生進一步熟悉，理解和記憶本節(jié)課所學知識。 作業(yè)布置 過程設計： 課堂教學設計 環(huán)節(jié) 內容設計 師生互動 設計意圖 知 識 探 究 ①（模長形式）

8、 ②（坐標形式） 由①②可得： ③ 又∵ （思考：為什么有這個等式） ∴ ④ 由③④可得： （） 此公式給出了任意角α，β的正弦，余弦值與其差角的余弦值之間的關系。稱之為差角的余弦公式。簡記為 顯然，有了公式以后，我們只要知道的值，就可以求得的值。 若令，則有： 即一個任意角的余弦可以表示為兩個角的差的余弦，然后利用差角公式，可求此任意角的余弦值。 2、和角的余弦公式推導： 例如：求，的值， 解： 化簡得：（ 和角的余弦 公式，簡記為） 思考1：是否可以看做其它角的差？等是否也可用類似方法求余弦值？ 思考2：觀察余弦的和角

9、公式與差角公式的特點，你能編一句口訣加以記憶嗎？（提示：從公式中角的特點，函數的名稱，以及符號的變化等方面進行思考歸納） 記憶口訣： 可可塞塞，符號要改 1、在導學案 中，層層設置問題。學生獨立自主的解決導學案中所設置的問題。 2、 學生按照 導學案上的提示，推導出問題的結論，同時得出和角的余弦公式 思考1：學生課前思考，自己給出問題的結果并驗證。 思考2：學生課前歸納總結出自己的記憶口訣，老師上課時引導學生得出更合理的記憶口訣 1、通過層層設置的問題，使差角的余弦

10、公式的推導過程中的難點分散得到解決，使學生在解決問題的過程中不知不覺的體驗用向量解決問題的過程。 2、培養(yǎng)學生獨立應用新知識的能力，推導和角的余弦公式。 思考1：拓展學生的視野和思維 思考2：培養(yǎng)學生歸納概括能力，幫助學生分析公式特點，并結合記憶口訣記住公式 課堂教學設計 環(huán)節(jié) 內容設計 師生互動 設計意圖 知 識 探 究 3、兩角和與差的正弦公式推導： 由誘導公式可知，余弦與正弦之間可以相互轉化，那么，可

11、以轉化為， 即： 思考3：對此轉化結果，若用余弦的差角公式展開化簡，可以得到怎樣的結果？ 答： （ 和角的正弦公式，簡記為） 同樣的，我們也可以對做類似的轉化， 最終得出：（ 差角的正弦 公式，簡記為） 記憶口訣： 塞可可塞，符號要改 4、兩角和與差的正切公式推導： 思考4：由正切函數與正弦，余弦函數的關系可知： 所以： 化簡的： （ 和角的正切 公式，簡記為） 同法可得：（ 差角的正切 公式，簡記為） 記憶口訣： 上同下不同 5、兩角和與差的正弦，余弦，正切公式的作用： 拆角，并角 6、六個和角與差角公式的邏輯聯系： 思考

12、5：通過上面的一系列推導，我們不難發(fā)現，這六個兩角和與差的三角函數公式之間具有非常緊密的邏輯聯系，這種聯系可以用框圖的形式表示出來，請根據 3、學生課前在導學案的引導下，完成公式的推導過程，老師引導學生歸納概括出對應的記憶口訣。 4、 學生課前 在導學案的引導下，完成公式的推導過程，并仿照正弦，余弦和差角公式的命名方式，為正切的和差角公式命名。 5、老師引導學生歸納，概括出正切和差角公式的記憶口訣以及三角函數和差角公式的作用 3、培養(yǎng)學生自主學習的能力，體會三角恒等變換通過類比余弦記憶口訣的歸

13、納過程歸納正弦和差角公式的記憶口訣，培養(yǎng)學生知識遷移的能力。 4.培養(yǎng)學生的自主學習的能力，體會三角恒等變換，為后續(xù)學習做鋪墊。 5，6：培養(yǎng)學生抽象概括，歸納總結的能力 課堂教學設計 環(huán)節(jié) 內容設計 師生互動 設計意圖 知 識 鞏 固 2、練習： 練習1、利用和差角公式求值： （1） （2） （3） （3） （4） （5） （6） （7） 練習2、已知 練習3、已知 ，求的值 老

14、師出示練習題，學生根據所學知識解決問題。 對于個別題目，老師可作引導。 通過練習，使學生進一步熟悉和使用公式解決問題 課 時 小 結 1、 兩角和與差的正弦，余弦，正切公式 2、 兩角和與差的正弦，余弦，正切公式之間有著密切的邏輯關系。 3、 解題的一般思路 師生共同完成小結 加深學生對新學知識的印象，使學生體會到有所獲 作 業(yè) 布 置 1、 復習本節(jié)課所學知識，完成教材P137頁，習題3.1（A組）第2，7，10題 2、 完成導學案后面的“學習評價”及“思考提高” 學生自主完成，并上交，老師批改，給出評價。 通過課后作業(yè)，

15、檢驗學生對本節(jié)課知識的掌握層度，為下節(jié)課收集學情。 課堂教學設計 環(huán)節(jié) 內容設計 師生互動 設計意圖 知 識 鞏 固 下面框圖中的提示，完善此框圖。 1、例題 例題1、利用和差角公式，計算下列各式的值： （1） （3） （2） （4） 解：（1）原式== （2）原式= （3）原式 （4）原式= 例題2、證明： 證明： 例題3、已知求，的值。 解： 6、學生課前通過以上的自主學習，歸納

16、概括出六個兩角和與差的三角函數公式之間的邏輯關系 老師引導學生完成例題1 老師引導學生完成例題2，并歸納出誘導公式是三角函數和差角公式的特例。 老師引導學生思考問題，尋求解題方法 使學生進一步熟悉新學知識，培養(yǎng)學生良好的“根據問題正確選擇相關知識解決問題”的思維習慣 拓展學生的思維，使學生發(fā)現誘導公式與新知識之間的聯系，以此使學生明白新學知識實際上是對舊知識的一個擴充。 培養(yǎng)學生正確的“解題思維和習慣” §3.1 兩角和與差的正弦，余弦和正切公式 一、 余弦的差角公式： 例題3： 二、 余弦的和角公式 解： 三、 正弦的和角公式 四、 正弦的差角公式 五、 正切的和角公式 六、 正切的差角公式 歸納小結： 作業(yè)： 板書設計： 課后反饋：