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1、2022年高考數(shù)學復習 專題02 函數(shù)與導數(shù) 函數(shù)的奇偶性與周期性易錯點
主標題:函數(shù)的奇偶性與周期性易錯點
副標題:從考點分析函數(shù)的奇偶性與周期性易錯點,為學生備考提供簡潔有效的備考策略。
關鍵詞:函數(shù),奇偶性,周期性,易錯點
難度:3
重要程度:5
內容:
【易錯點】
1.對奇偶函數(shù)的認識及應用
(1)函數(shù)y=x2,x∈(0,+∞)是偶函數(shù).(×)
(2)偶函數(shù)圖象不一定過原點,奇函數(shù)的圖象一定過原點.(×)
(3)(教材習題改編)如果函數(shù)f(x),g(x)為定義域相同的偶函數(shù),則F(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù).(√)
(4)若函數(shù)y=f(x+a)是偶
2、函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關于直線x=a對稱.(√)
(5)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=x2+,則f(-1)=-2.(√)
(6)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(-∞,0)上是減函數(shù),若f(a)≥f(2),則實數(shù)a的取值范圍是[-2,2].(×)
2.對函數(shù)周期性的理解
(7)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x+a)=-f(x),則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數(shù).(√)
(8)若y=f(x)既是周期函數(shù),又是奇函數(shù),則其導函數(shù)y=f′(x)既是周期函數(shù)又是奇函數(shù).(×)
[剖析]
1.兩個防范 一是判斷函數(shù)的奇偶性之前務必先考查函數(shù)的定
3、義域是否關于原點對稱,若不對稱,則該函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù),如(1);
二是若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則f(0)不一定存在;若函數(shù)f(x)的定義域包含0,則必有f(0)=0,如(2).
2.三個結論 一是若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關于直線x=a對稱;若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關于點(b,0)中心對稱,如(4);
二是若對任意x∈D都有f(x+a)=-f(x),則f(x)是以2a為周期的函數(shù);若對任意x∈D都有f(x+a)=±(f(x)≠0),則f(x)也是以2a為周期的函數(shù),如(7);
三是若函數(shù)f(x)既是周期函數(shù),又是奇函數(shù),則其導函數(shù)y=f′(x)既是周期函數(shù)又是偶函數(shù),如(8)中因為y=f(x)是周期函數(shù),設其周期為T,則有f(x+T)=f(x),兩邊求導,得f′(x+T)(x+T)′=f′(x),即f′(x+T)=f′(x),所以導函數(shù)是周期函數(shù),又因為f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),兩邊求導,得f′(-x)(-x)′=-f′(-x)=-f′(x),即-f′(-x)=-f′(x),所以f′(-x)=f′(x),所以導函數(shù)是偶函數(shù).