2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 第48課 基本不等式及其應(yīng)用（二）檢測(cè)評(píng)估

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 第48課 基本不等式及其應(yīng)用（二）檢測(cè)評(píng)估 一、 填空題 1. 已知函數(shù)y=x-3+(x>-1).若當(dāng)x=a時(shí),該函數(shù)取得最小值b,則a+b=　　　　. 2. (xx·四川卷)設(shè)m∈R,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P(x,y),則PA·PB的最大值是　　　　. 3. (xx·武漢模擬)在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長(zhǎng)x為　　　　. (第3題) 4. 若正數(shù)x,y滿足2x+y-3=0,則的最小值為　　　　. 5. 設(shè)a

2、>0,b>0,若是3a與3b的等比中項(xiàng),則+的最小值為　　　　. 6. 若對(duì)任意的x>0, ≤a恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　　. 7. 設(shè)奇函數(shù)f(x)在[-1,1]上是單調(diào)增函數(shù),且f(-1)=-1,若函數(shù)f(x)≤t2-2at+1對(duì)所有的x∈[-1,1]都成立,則當(dāng)a∈[-1,1]時(shí),實(shí)數(shù)t的取值范圍是　　　　. 8. (xx·寧德模擬)已知關(guān)于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),那么x1+x2+的最小值為　　　　. 二、 解答題 9. (xx·安豐高級(jí)中學(xué))已知在銳角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c

3、,且(b2+c2-a2)tanA=bc. (1) 求角A的大小; (2) 若a=2,求△ABC面積S的最大值. 10. (xx·湖北模擬)已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)(x,y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)A(-2,0),求的取值范圍. 11. 如圖,兩個(gè)工廠A,B相距2 km,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),現(xiàn)要在以O(shè)為圓心、2 km 為半徑的圓弧MN上的某一點(diǎn)P處建一幢辦公樓,其中MA⊥AB,NB⊥AB.據(jù)測(cè)算,此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比,比例系數(shù)是1;辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比,比例系數(shù)是4;辦公樓受A,B兩廠的“總噪音影響度”y

4、是受A,B兩廠“噪音影響度”的和,設(shè)AP為x km. (1) 求“總噪音影響度”y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并求出該函數(shù)的定義域. (2) 當(dāng)AP為多少時(shí),“總噪音影響度”最小? (第11題) 第48課　基本不等式及其應(yīng)用(二) 1. 4　解析:y=x-3+=x+1+-4,因?yàn)閤>-1,所以x+1>0,>0,由均值不等式得y=x+1+-4≥2-4=2,當(dāng)且僅當(dāng)x+1=,即x=2時(shí)取等號(hào),所以a=2,b=2,a+b=4. 2. 5　解析:由題意可知,定點(diǎn)A(0,0),B(1,3),且兩條直線互相垂直,則其交點(diǎn)P(x,y)落在以AB為直徑的圓上,所以PA2+PB2=AB2=

5、10,所以PA·PB≤=5,當(dāng)且僅當(dāng)PA=PB時(shí),等號(hào)成立. 3. 20m　解析:設(shè)矩形花園另一邊長(zhǎng)為y m,則=,所以x+y=40,所以面積S=xy≤=400,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=20時(shí)等號(hào)成立,即當(dāng)x=20時(shí)面積最大. 4. 3　解析:由2x+y-3=0,得+=1,則=+==+≥×2+=3. 5. 4　解析:由題意知3a×3b=,即3a+b=3,所以a+b=1.所以+=+=2++≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào),所以最小值為4. 6. 　解析:因?yàn)閤>0,所以x+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)),所以=≤=,即的最大值為,故a≥. 7. {t|t≤-2或t

6、=0或t≥2}　解析:因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在[-1,1]上是單調(diào)增函數(shù),且f(-1)=-1,所以最大值為f(1)=1,要使f(x)≤t2-2at+1對(duì)所有的x∈[-1,1]都成立,則1≤t2-2at+1,即t2-2at≥0,即t(t-2a)≥0,當(dāng)t=0時(shí),不等式成立,當(dāng)0≤a≤1時(shí),不等式的解為t≥2;當(dāng)-1≤a≤0時(shí),不等式的解為t≤-2. 8. 　解析:由題意知x1+x2=4a,x1x2=3a2,所以x1+x2+=4a+≥2 =,當(dāng)且僅當(dāng)a=時(shí),等號(hào)成立. 9. (1) 由已知得·=,所以sinA=. 又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以A=60°. (2) 因?yàn)閍=2,A=

7、60°,所以b2+c2=bc+4, S=bcsinA=bc. 又b2+c2≥2bc,所以bc+4≥2bcTbc≤4, 所以S=bc≤×4=, 所以△ABC面積S的最大值為. 10. 由拋物線的定義可得PF=x+2, 又PA==, 所以==, 當(dāng)x=0時(shí),=1; 當(dāng)x≠0時(shí),=, 因?yàn)閤+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=2時(shí)取等號(hào),所以x++4≥8,所以≤1, 所以∈(1,]. 綜上,的取值范圍是[1,]. 11. (1) 連接OP,設(shè)∠AOP=α,則≤α≤. 在△AOP中,由余弦定理得x2=12+22-2×1×2×cosα=5-4cosα, 在△BOP中,由

8、余弦定理得BP2=12+22-2×1×2×cos(π-α)=5+4cosα, 所以BP2=10-x2,則y=+=+. 因?yàn)椤堞痢?所以-≤cosα≤, 所以3≤5-4cosα≤7,即≤x≤. 所以y=+,定義域?yàn)閇,]. (2) 方法一:由(1)得y=+=（+）·[x2+(10-x2)]=≥=, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即x2=時(shí)取等號(hào),此時(shí)x=∈[,]. 故當(dāng)AP為km時(shí),“總噪音影響度”最小. 方法二:令t=x2,則y=+(3≤t≤7), 所以y'=+==. 令y'=0,得t=或t=-10(舍去). 當(dāng)t∈時(shí),y'<0,函數(shù)單調(diào)遞減; 當(dāng)t∈時(shí),y'>0,函數(shù)單調(diào)遞增. 所以當(dāng)t=,即x=∈[,]時(shí),y有最小值. 故當(dāng)AP為km時(shí),“總噪音影響度”最小.