2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第48課 多面體的結(jié)構(gòu)特征 文（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第48課 多面體的結(jié)構(gòu)特征 文（含解析） 1. （1）棱柱的結(jié)構(gòu)特征 名稱 棱柱 直棱柱 正棱柱 圖形 特征 ①兩底面互相平行， ②其余各面（側(cè)面）都是四邊形， ③相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，即側(cè)面都是平行四邊形 側(cè)棱與底面垂直的棱柱 底面是正多邊形 的直棱柱 面積 棱柱側(cè)面積每個(gè)側(cè)面面積之和 棱柱表面積 體積 柱體的體積 （2）長(zhǎng)方體與正方體 ①長(zhǎng)方體有 6個(gè)面，有 12 條棱。 ②若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是 、 、 ，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng) ，長(zhǎng)方體的表面積為，長(zhǎng)方體的體積為

2、③若正方體的棱長(zhǎng)是，則它的對(duì)角線長(zhǎng) ，每個(gè)面的對(duì)角線長(zhǎng)為，表面積為，體積為 例1.正三棱柱的高為，底面邊長(zhǎng)為，則它的體積為 ，它的側(cè)面積為 ，它的表面積為 解：底面面積為，體積為 側(cè)面積為 它的表面積為 例2.若一個(gè)長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是、 、 ，求這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)與體積 【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、，則 ∵ ，解得， ∴ ． ∴對(duì)角線長(zhǎng)．體積為 2. 棱錐的結(jié)構(gòu)特征 名稱 棱錐 正棱錐 圖形 特征 ①有一個(gè)面是多邊形， ②其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形． 底面是多邊形，并且各側(cè)面都

3、是全等的等腰三角形的棱錐． 面積 棱錐側(cè)面積每個(gè)側(cè)面面積之和 棱錐表面積 體積 錐體的體積 例3. 正棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為， 求（1）棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高（2）棱錐的表面積與體積 【解析】（1）設(shè)為正四棱錐的高，則， 作，則為中點(diǎn)． 連結(jié)、，則，. ，，則，， 在中，； 在中，. ∴側(cè)棱長(zhǎng)為，斜高為. （2）棱錐的表面積為 3. 棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 名稱 棱臺(tái) 正棱臺(tái) 圖形 特征 ①兩底面互相平行， ②用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分． 用平行于正棱錐的底面平面截得的棱臺(tái) 棱臺(tái)的上下底多邊形一定相似，即上底面

4、與下底面的邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例 面積 棱臺(tái)側(cè)面積每個(gè)側(cè)面面積之和 棱臺(tái)表面積 體積 臺(tái)體的體積，這個(gè)公式不要求記憶 例4. 正棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)為分別為2與，高為， 求：（1）棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高．（2）求這個(gè)棱臺(tái)的全面積與體積 4.側(cè)面展開(kāi)圖 例5. 如圖，在正三棱柱中，，，為 的中點(diǎn)，是 上一點(diǎn)，且由沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)為，設(shè)這條最短路線與的交點(diǎn)為，求： (1)該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)； (2)和的長(zhǎng)． 【解析】(1)正三棱柱側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形， 其對(duì)角線長(zhǎng)為. (2)如圖，將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)

5、面在同一平面上，點(diǎn)即點(diǎn)的位置，連接，則就是由點(diǎn)沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到點(diǎn)的最短路線． 設(shè)，即. 在中， , ∴， 解得， ∴. ∵，∴. 第48課 多面體的結(jié)構(gòu)特征作業(yè) 1. 在下圖的幾何體中， ①③⑤⑦ 是柱體（填序號(hào)） 2.下列命題正確的是（D） A．棱柱的底面一定是平行四邊形 B．棱錐的底面一定是三角形 C．棱臺(tái)的底面是兩個(gè)相似的正方形 D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn) 3.如圖，能推斷這個(gè)幾何體可能是三棱臺(tái)的是(　　) A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B．AB＝A1B1

6、，BC＝B1C1，CA＝C1A1 C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 D．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 解析：由長(zhǎng)度關(guān)系知＝＝＝，所以選項(xiàng)C的數(shù)據(jù)表明這個(gè)幾何體可能是三棱臺(tái)．故選D. 4. 一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子展開(kāi)后的平面圖如圖所示，A、B、C是 展開(kāi)圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中，∠ABC的大小為(　　) A．30° B．45°C．60° D．90° 解析：將展開(kāi)圖恢復(fù)為無(wú)蓋正方體，連接AB，BC，AC，可得△ABC為正三角形．所以∠ABC＝60°.故選C. 5.已知一個(gè)正三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，求：（1）這個(gè)三棱錐的表面積 （2）這這個(gè)三棱錐的體積 5. 正三棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為3，下底面邊長(zhǎng)為6，高為1，求：這個(gè)正三棱臺(tái)的斜高與側(cè)棱長(zhǎng)． 8. 如圖，在高為4直三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)、分別在側(cè)棱和上，，求四棱錐的體積． 【解析】如圖，作，垂足為，則平面， ． 7. 如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2厘米，高為5厘米，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長(zhǎng)為多少厘米？ 答案：13