2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-5 橢圓《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-5 橢圓《教案》 【教學(xué)目標(biāo)】 1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)．　 2.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用．　 3.理解數(shù)形結(jié)合思想. 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn)：掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì); 2.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力； 【教學(xué)策略與方法】 自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動(dòng)法 【教學(xué)過程】 教學(xué)流程 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖

2、 環(huán)節(jié)二： 考綱傳真: 1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)．　 2.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用．　 3.理解數(shù)形結(jié)合思想. 真題再現(xiàn); 1.(xx·全國(guó)Ⅲ，11)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x

3、軸.過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析　設(shè)M(－c，m)，則E，OE的中點(diǎn)為D，則D，又B，D，M三點(diǎn)共線，所以＝，a＝3c，e＝.答案　A 2.(xx·大綱全國(guó)，6)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn).若△AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　由橢圓的性質(zhì)知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△AF1B的周長(zhǎng)＝

4、|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.又e＝，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴橢圓的方程為＋＝1，故選A.答案　A 3.(xx·全國(guó)Ⅰ，10)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在橢圓上， ∴ ①－②，得 ＋＝0， 即＝－，∵AB的中點(diǎn)為(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，而＝kAB＝＝，∴＝.又∵a2－b2＝9，∴a2＝18

5、，b2＝9.∴橢圓E的方程為＋＝1，故選D. 答案　D 知識(shí)梳理： 知識(shí)點(diǎn)1　橢圓的定義 1．平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距． 2．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)： (1)若a>c，則M點(diǎn)的軌跡為橢圓； (2)若a＝c，則M點(diǎn)的軌跡為線段F1F2； (3)若ab>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 性質(zhì)

6、 范圍 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 離心率 e＝，且e∈(0,1) 軸 長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a 短軸B1B2的長(zhǎng)為2b 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的關(guān)系 a2＝b2＋c2 1．必會(huì)結(jié)論;(1)點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓＋＝1的關(guān)系 ①點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓內(nèi)?＋<1. ②點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上?＋＝1.③點(diǎn)P(x0，y0)在

7、橢圓外?＋>1.(2)若P為橢圓＋＝1上任一點(diǎn)，F(xiàn)為其一個(gè)焦點(diǎn)，O是橢圓的中心(坐標(biāo)原點(diǎn))，則有a－c≤|PF|≤a＋c，b≤|PO|≤a. 2．必清誤區(qū);在設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)上點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)時(shí)，則有|x|≤a，這往往在求與點(diǎn)P有關(guān)的最值問題中用到，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因 考點(diǎn)分項(xiàng)突破 考點(diǎn)一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 1.(xx·大綱全國(guó)卷)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝

8、1 【解析】　由e＝得＝①. 又△AF1B的周長(zhǎng)為4，由橢圓定義，得4a＝4，得a＝，代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程為＋＝1.【答案】　A 2．已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為(　　) A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 【解析】　設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，∴M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a＝16,2c＝8，故所求的軌跡方程為＋＝1，故選D.【答案】　D

9、3．已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3倍，并且過點(diǎn)P(3,0)，則橢圓的方程為________． 【解析】　當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a＝3，則b＝1.從而橢圓方程為＋y2＝1，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b＝3，則a＝9，從而橢圓方程為＋＝1. 【答案】?。珁2＝1或＋＝1 歸納；1．求橢圓方程的方法 (1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義時(shí)，一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件． (2)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為

10、了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． 2．焦點(diǎn)三角形中的常用結(jié)論 橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)；利用定義和余弦定理可求|PF1||PF2|；通過整體代入可求其面積等，常用到的結(jié)論有：(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos θ；(3)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大． 考點(diǎn)二: 橢圓的幾何性質(zhì) 1.(xx·江西高考)設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)

11、D，若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率等于________． 【解析】　由題意，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2＝a2－b2. 不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限，由AB⊥x軸，∴B，A.由于AB∥y軸，|F1O|＝|OF2|，∴點(diǎn)D為線段BF1的中點(diǎn)，則D，由于AD⊥F1B，知·＝0，則·＝2c2－＝0，即2ac＝b2，∴2ac＝(a2－c2)，又e＝，且e∈(0,1)， ∴e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去)． 【答案】　 跟蹤訓(xùn)練：1．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為

12、(　　) A. B. C. D. 【解析】　如圖，設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，連接PF2. 因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)M為△PF1F2的中位線． 所以O(shè)M∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因?yàn)椤螾F1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|＝＝|PF2|，由橢圓定義得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|?a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|?c＝，則e＝＝·＝.故選A. 【答案】　A 2．(xx·福建高考)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|A

13、F|＋|BF|＝4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】　根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及橢圓的定義可得A，B兩點(diǎn)到橢圓左、右焦點(diǎn)的距離為4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b<2，所以e＝＝＝.因?yàn)?≤b<2，所以0

14、高考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋＝1(0b>0)的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c,0)，(0，b)的直線的距離為c. ①求橢圓E的離心率； ②如圖8-5-1，AB是圓M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程． (文)(2) (xx·陜西高考)如圖，橢圓E：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(0，－1)，且離心率為. ①求橢圓E的方程； ②

15、經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2. 【解析】　(1)不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，設(shè)半焦距為c，則F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)． ∵AF2⊥x軸，則A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0

16、程為bx＋cy－bc＝0， 則原點(diǎn)O到該直線的距離d＝＝，由d＝c，得a＝2b＝2，解得離心率＝.②法一　由①知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2.① 依題意，圓心M(－2,1)是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|＝.易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝.由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.從而x1x2＝8－2b2. 于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.故橢圓E的方程為＋＝1. 法二　由①知，

17、橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2.② 依題意，點(diǎn)A，B關(guān)于圓心M(－2,1)對(duì)稱，且|AB|＝. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，兩式相減并結(jié)合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得 －4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0.易知AB與x軸不垂直，則x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝＝.因此直線AB的方程為y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0. 所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.故橢圓E的方程為＋＝1. 跟蹤訓(xùn)練：1.(xx·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)F1，F(xiàn)

18、2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N. (1)若直線MN的斜率為，求C的離心率； (2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. 【解】　(1)根據(jù)c＝及題設(shè)知M，由kMN＝，得＝，則2b2＝3ac.將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的離心率為. (2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸， 所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn)， 故＝4.于是b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 設(shè)N(x1

19、，y1)，由題意知y1<0，則 即代入C的方程，得＋＝1.②將①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28， 故a＝7，b＝2. 歸納：1．解決直線與橢圓有關(guān)問題的求解策略 解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單． 2．弦長(zhǎng)公式 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝＝(k為直線斜率)． 提醒：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式． 。

20、 學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對(duì)知識(shí)的掌握情況。 學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

21、 引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的逐點(diǎn)掃描，來(lái)澄清概念，加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ). 在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題，教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過對(duì)考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢

22、 由常見問題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識(shí)別能力和解題效率。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行小結(jié)，由利于學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理，加強(qiáng)理解記憶，提高解題技能。 環(huán)節(jié)三： 課堂小結(jié)： 1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)．　 2.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用．　 3.理解數(shù)形結(jié)合思想. 學(xué)生回顧，總結(jié). 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。 環(huán)節(jié)四： 課后作業(yè)：學(xué)生版練與測(cè) 學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識(shí)。