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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 2-4-1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 教案
（一）教學(xué)目標(biāo)
1.知識與技能：
(1) 理解拋物線的定義明確焦點(diǎn)、焦距的概念。
(2) 熟練掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)根據(jù)所給的條件畫出拋物線的草圖并確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
2.過程與方法：事例引入，動(dòng)手操作理解拋物線的定義明確焦點(diǎn)、焦距的概念。通過學(xué)生動(dòng)手推導(dǎo)、例題教學(xué)讓學(xué)生熟練掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)根據(jù)所給的條件畫出拋物線的草圖并確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：
(1) 學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)分析問題和創(chuàng)造地解決問題；
(2) 培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思
2、維能力。
（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程
難點(diǎn)：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)
（三）教學(xué)過程
活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情景、引入課題 （5分鐘）
回憶前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容，說一說橢圓與雙曲線的相關(guān)知識？
問題1：橢圓的定義是什么？雙曲線的定義是什么？
問題2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？
問題3：同學(xué)們對拋物線已有了哪些認(rèn)識？
在物理中，拋物線被認(rèn)為是拋射物體的運(yùn)行軌道；在數(shù)學(xué)中，拋物線是二次函數(shù)的圖象。
問題4：在二次函數(shù)中研究的拋物線有什么特征？
在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形．引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：如果
3、拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研究了．今天，我們突破函數(shù)研究中這個(gè)限制，從更一般意義上來研究拋物線.
問題5：把一根直尺固定在圖板上直線L位置，把一塊三角板的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣,再把一條細(xì)繩的一端固定在三角板的另一條直角邊的一點(diǎn)A，取繩長等于點(diǎn)A到直角標(biāo)頂點(diǎn)C的長（即點(diǎn)A到直線L的距離），并且把繩子的另一端固定在圖板上的一點(diǎn)F 用鉛筆尖扣著繩子，使點(diǎn)A到筆尖的一段繩子緊靠著三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動(dòng)，筆尖就在圖板上描出了一條曲線
點(diǎn)題：今天我們學(xué)習(xí)“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”
活動(dòng)二：師生交流、進(jìn)入新知，（20分鐘）
問題6：實(shí)驗(yàn)操作書本P6
4、4頁，幾何畫板上的畫圖，從實(shí)驗(yàn)中，點(diǎn)M隨著H運(yùn)動(dòng)的過程中，與有什么關(guān)系？
1、拋物線定義：
把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過點(diǎn)）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線，這個(gè)定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。
即=；焦點(diǎn)：；準(zhǔn)線：直線
問題7：類似求橢圓或雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法來求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，你能利用上一節(jié)學(xué)過的坐標(biāo)法求出拋物線的方程嗎？
如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)（）,
那么焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，
設(shè)拋物線上的點(diǎn)，則有
化簡方程得
方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程它表示的拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，它的準(zhǔn)線方程是
問題8：探究: 若拋物線
5、的焦點(diǎn)分別為、、，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么?
2：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1), 焦點(diǎn):，準(zhǔn)線：
(2), 焦點(diǎn):，準(zhǔn)線：
(3), 焦點(diǎn):，準(zhǔn)線：
(4) , 焦點(diǎn):，準(zhǔn)線：
活動(dòng)三：合作學(xué)習(xí)、探究新知（18分鐘）
例 1:（1）已知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程
（2）已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，－2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程
分析：（1）在標(biāo)準(zhǔn)方程下焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程都是用的代數(shù)式表示的，所以只要求出即可；
（2）求的是標(biāo)準(zhǔn)方程，因此所指拋物線應(yīng)過原點(diǎn)，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，問題易解。
解析：（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（，0）準(zhǔn)線方程是．
（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸
6、上，＝2，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)議程是．
練習(xí)：書本P67：1
例2 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（1），（2），求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．
分析：這是關(guān)于拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本例題，關(guān)鍵是（1）根據(jù)示意圖確定屬于哪類標(biāo)準(zhǔn)形式，（2）求出參數(shù)的值．
解：（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0）準(zhǔn)線方程
（2）先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，，焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，），準(zhǔn)線方程是.
練習(xí)：書本P67頁練習(xí)2
問題8：思考:你能說明二次函數(shù)的圖象為什么是拋物線嗎？指出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程。
例3：點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它到直線：的距離小1，求點(diǎn)的軌跡方程
解析：可知原條件點(diǎn)到和到距離相等，由拋物線的定義，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為
7、準(zhǔn)線的拋物線．∴ ，∴所求方程是。
對定義的一種等價(jià)變形，看到定點(diǎn)和定直線就要想到拋物線的定義
練習(xí)：已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是軸，焦點(diǎn)為，
（1）拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于，求此拋物線的方程與的值；
（2）拋物線上的一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，求此拋物線的方程。
解析:（1）設(shè)拋物線的方程為，則 ∵，∴，
所以拋物線的方程為 ∴，；
（2）由已知條件知拋物線為，所以，不妨設(shè)，則
∵，，且 ∴，
又，解之有拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
例4: (書本例2)一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示。衛(wèi)星撥束近似平行狀態(tài)社如軸截面為拋物線的接受天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處。已知接收天線的口徑
8、為4.8m深度為0.5m，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)。
解；設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=2px (p>0)。有已知條件可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0.5，2.4）代入方程，得2.4=2p*0.5即=5.76
所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=11.52x，焦點(diǎn)坐標(biāo)是（2.88，0）
練習(xí)：書本P67頁練習(xí)3
例 5：求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（－5，0）
（2）經(jīng)過點(diǎn)A（2，－3）
分析：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中只有一個(gè)參數(shù)p，因此，只要確定了拋物線屬于哪類標(biāo)準(zhǔn)形式，再求出p值就可以寫出其方程，但要注意兩解的情況
解：（1）焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，＝5，
所以所求拋物
9、線的標(biāo)準(zhǔn)議程是．
（2）經(jīng)過點(diǎn)A（2，－3）的拋物線可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：y2＝2px或x2＝－2py．
點(diǎn)A（2，－3）坐標(biāo)代入，即9＝4p，得2p＝
點(diǎn)A（2，－3）坐標(biāo)代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是或x2＝－y
例6：已知拋物線，是拋物線上一點(diǎn)。
（1）設(shè)是焦點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)為，求的最小值，并指出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)（），求||的最小值，并指出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
分析：（1）一般我們用原理：三角形兩邊之和不小于第三邊，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)求的最小值；但定點(diǎn)在拋物線含焦點(diǎn)部分，點(diǎn)在拋物線上，所以點(diǎn)不會(huì)再在線段上，所以需要利用拋物線的定義：
10、拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和到準(zhǔn)線的距離相等作一個(gè)轉(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)上面的想法。
（2）已知拋物線，是拋物線上一點(diǎn)，所以其坐標(biāo)滿足拋物線的方程：，而（），求||的最小值不妨直接用兩點(diǎn)間距離直接表示||，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。
解析：（1）做垂直于準(zhǔn)線，其中為垂足，則| |=| |，
所以||+||=||+||，可知，當(dāng)垂直準(zhǔn)線時(shí)三點(diǎn)，，共線，||+||=||+||取小值為，此時(shí)
（2）設(shè)，因?yàn)椋ǎ?
所以，又，
所以
①當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)， 所以當(dāng)時(shí)最小值為，此時(shí)；
②時(shí)，在上是減函數(shù)， 在上是增函數(shù)， 所以當(dāng)時(shí)最小值為，此時(shí)。
小結(jié)：點(diǎn)在拋物線上首先點(diǎn)滿足拋物線的定義（到焦點(diǎn)和到準(zhǔn)線的距離相等）；其次是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線的方程。
活動(dòng)四：歸納整理、提高認(rèn)識（2分鐘）
1． 說說拋物線的定義？
2． 說說拋物線的各種形式？
活動(dòng)五：作業(yè)布置、提高鞏固
1．書面作業(yè)：書本P73 A組1、2
2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 2-4-1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 教案
