（通用版）2018年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題六 函數(shù)、不等式、導數(shù)教學案 理

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1、 專題六 函數(shù)、不等式、導數(shù) [研高考·明考點] 年份 卷別 小題考查 大題考查 2017 卷Ⅰ T5·函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性 T21·利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點問題 T11·指數(shù)與對數(shù)互化、對數(shù)運算、比較大小 T14·線性規(guī)劃求最值 卷Ⅱ T5·線性規(guī)劃求最值 T21·利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，函數(shù)的零點，證明不等式 T11·導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求極值 卷Ⅲ T11·函數(shù)的零點問題 T21·導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應用，不等式的放縮 T13·線性規(guī)劃求最值 T15·分段函數(shù)與不等式的解法 2016 卷Ⅰ T7·函

2、數(shù)圖象的識別 T21·利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，證明不等式 T8·基本初等函數(shù)的單調(diào)性、比較大小 T16·線性規(guī)劃求最值問題的實際應用 卷Ⅱ T12·函數(shù)圖象對稱性的應用 T21·利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式，求函數(shù)的最值 T16·導數(shù)的幾何意義、求兩函數(shù)的公共切線 卷Ⅲ T6·指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)值的大小比較 T21·導數(shù)在研究函數(shù)極值、最值中的應用，放縮法證明不等式 T13·線性規(guī)劃求最值 T15·偶函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)的幾何意義 2015 卷Ⅰ T12·函數(shù)的概念與不等式的解法 T21·導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的最值、零點問題 T13·偶函數(shù)的定義 T15·

3、線性規(guī)劃求最值 卷Ⅱ T5·對數(shù)運算、分段函數(shù)求值 T21·利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，已知不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍 T10·函數(shù)圖象的判斷 T12·導數(shù)與抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性 T14·線性規(guī)劃求最值 [析考情·明重點] 小題考情分析 大題考情分析 ?？键c 1.函數(shù)圖象與性質(zhì)及其應用(3年7考) 2.線性規(guī)劃問題(3年7考) 3.函數(shù)與不等式問題(3年4考) ?？键c 高考對此部分在解答題中的考查以導數(shù)的應用為主，主要考查導數(shù)、含參不等式、方程、探索性問題等方面的綜合應用，難度較大，題型主要有： 1.導數(shù)的簡單應用問題 2.導數(shù)與函數(shù)零點或方程根的問題

4、 3.導數(shù)與不等式恒成立、存在性問題 4.導數(shù)與不等式的證明問題 偶考點 1.函數(shù)與方程 2.不等式的性質(zhì) 3.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值問題 4.導數(shù)的幾何意義 偶考點 導數(shù)與函數(shù)、不等式的其他綜合問題 第一講 小題考法——函數(shù)的圖象與性質(zhì) 考點(一) 主要考查函數(shù)的定義域、分段函數(shù)求值或已知函數(shù)值(取值范圍)求字母的值(取值范圍)等. 函數(shù)的概念及表示 [典例感悟] [典例]　(1)(2015·全國卷Ⅱ)設函數(shù)f(x)＝則f(－2)＋f(log212)＝(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 (2)(2017·全國卷Ⅲ)

5、設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f>1的x的取值范圍是________． [解析]　(1)∵－2<1， ∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. ∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6. ∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故選C. (2)由題意知，當x≤0時，原不等式可化為x＋1＋x＋>1，解得x>－， ∴－1，顯然成立； 當x>時，原不等式可化為2x＋2x－>1，顯然成立． 綜上可知，x的取值范圍是. [答案]　(1)C　(2) [方法技巧] 1．函數(shù)

6、定義域的求法 求函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含運算有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出解集即可． 2．分段函數(shù)問題的5種常見類型及解題策略 常見類型 解題策略 求函數(shù)值 弄清自變量所在區(qū)間，然后代入對應的解析式，求“層層套”的函數(shù)值，要從最內(nèi)層逐層往外計算 求函數(shù)最值 分別求出每個區(qū)間上的最值，然后比較大小 解不等式 根據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定，代入相應的解析式求解，但要注意取值范圍的大前提 求參數(shù) “分段處理”，采用代入法列出各區(qū)間上的方程 利用函數(shù) 性質(zhì)求值 必須依據(jù)條件找到函數(shù)滿足的性質(zhì)，利用該性質(zhì)求解 [演練沖關] 1．(

7、2018屆高三·浙江名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝則f(－2 017)＝(　　) A．1 B．e C. D．e2 解析：選B　由已知可得，當x>2時，f(x)＝f(x－4)，故f(x)在x>－2時的周期為4，則f(－2 017)＝f(2 017)＝f(2 016＋1)＝f(1)＝e. 2．(2017·山東高考)設f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，則f＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：選C　當0＜a＜1時，a＋1≥1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a， 解得a＝或a＝0(舍去)． ∴f＝

8、f(4)＝2×(4－1)＝6. 當a≥1時，a＋1≥2， ∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， ∴2(a－1)＝2a，無解． 綜上，f＝6. 3．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(x))<2的解集為(　　) A．(1－ln 2，＋∞) B．(－∞，1－ln 2) C．(1－ln 2,1) D．(1,1＋ln 2) 解析：選B　因為當x≥1時，f(x)＝x3＋x≥2，當x<1時，f(x)＝2ex－1<2，所以f(f(x))<2等價于f(x)<1，即2ex－1<1，解得x<1－ln 2，所以f(f(x))<2的解集為(－∞，1－ln 2)，故選B.

9、 考點(二) 主要考查根據(jù)函數(shù)的解析式選擇圖象或利用函數(shù)的圖象選擇解析式、利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)、方程的解以及解不等式、比較大小等問題. 函數(shù)的圖象及應用 [典例感悟] [典例]　(1)(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)y＝的部分圖象大致為(　　) (2)(2015·全國卷Ⅱ)如圖，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP＝x.將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)的圖象大致為(　　) [解析]　(1)令函數(shù)f(x)＝，其定義域為{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝＝＝－f(x)，

10、所以f(x)＝為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，故排除B；因為f(1)＝＞0，f(π)＝＝0，故排除A、D，選C. (2)當x∈時，f(x)＝tan x＋，圖象不會是直線段，從而排除A、C. 當x∈時，f＝f＝1＋，f＝2. ∵2<1＋， ∴f

11、奇函數(shù)，排除B、C.若函數(shù)為f(x)＝x－，則當x→＋∞時，f(x)→＋∞，排除D，故選A. 2．(2017·全國卷Ⅲ)函數(shù)y＝1＋x＋的部分圖象大致為(　　) 解析：選D　法一：易知函數(shù)g(x)＝x＋是奇函數(shù)，其函數(shù)圖象關于原點對稱，所以函數(shù)y＝1＋x＋的圖象只需把g(x)的圖象向上平移一個單位長度，結合選項知選D. 法二：當x→＋∞時，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除選項B.當0＜x＜時，y＝1＋x＋＞0，故排除選項A、C.故選D. 3.如圖，已知l1⊥l2，圓心在l1上、半徑為1 m 的圓O在t＝0時與l2相切于點A，圓O沿l1以1 m/s的速度勻速向上移動，圓

12、被直線l2所截上方圓弧長記為x，令y＝cos x，則y與時間t(0≤t≤1，單位：s)的函數(shù)y＝f(t)的圖象大致為(　　) 解析：選B　如圖，設∠MON＝α，由弧長公式知x＝α. 在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，cos＝＝1－t， ∴y＝cos x＝2cos2－1＝2(1－t)2－1.又0≤t≤1，故選B. 考點(三) 主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性以及函數(shù)值的取值范圍、比較大小等. 函數(shù)的性質(zhì)及應用 [典例感悟] [典例]　(1)(2016·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝2－f(x)，若函數(shù)y＝與y＝f(x)圖象的交點為(x1

13、，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則(xi＋yi)＝(　　) A．0 B．m C．2m D．4m (2)(2017·成都模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)，且當x∈時，f(x)＝－x3，則f＝(　　) A．－ B. C．－ D. (3)(2017·四川模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足下列三個條件： ①對任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)； ②對任意的0≤x1

14、<”連接) [解析]　(1)因為f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2.因為＝0，＝1，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(0,1)對稱．函數(shù)y＝＝1＋，故其圖象也關于點(0,1)對稱．所以函數(shù)y＝與y＝f(x)圖象的交點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成對出現(xiàn)，且每一對均關于點(0,1)對稱，所以i＝0，i＝2×＝m，所以(xi＋yi)＝m. (2)由f(x＋3)＝f(x)知函數(shù)f(x)的周期為3，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f＝f＝－f＝3＝. (3)由①可知，f(x)是一個周期為4的函數(shù)；由②可知，f(x)在[0,2]上是增函數(shù)；由③可知，f(x)的

15、圖象關于直線x＝2對稱．故f(4.5)＝f(0.5)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)，f(0.5)

16、性：利用周期性可以轉化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問題，轉化到已知區(qū)間上求解． [演練沖關] 1．(2018屆高三·湖北七市(州)聯(lián)考)函數(shù)y＝f(x)為R上的偶函數(shù)，函數(shù)y＝g(x)為 R上的奇函數(shù)，f(x)＝g(x＋2)，f(0)＝－4，則g(x)可以是(　　) A．4tan B．－4sin C．4sin D．－4sin 解析：選D　∵f(x)＝g(x＋2)，f(0)＝－4，∴g(2)＝－4.而4tan＝4tan＝4，－4sin＝－4sin π＝0,4sin＝4sin＝4，－4sin＝－4，∴y＝g(x)可以是g(x)＝－4sin，經(jīng)檢驗，選項D符合題干條

17、件．故選D. 2．(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是(　　) A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3] 解析：選D　∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)． ∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1. 故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． 又f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減，∴－1≤x－2≤1， ∴1≤x≤3. 3．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(－x)，當x∈(0,1)時，f(x)＝則

18、f(x)在區(qū)間內(nèi)是(　　) A．增函數(shù)且f(x)>0 B．增函數(shù)且f(x)<0 C．減函數(shù)且f(x)>0 D．減函數(shù)且f(x)<0 解析：選D　由f(x)為奇函數(shù)，f(x＋1)＝f(－x)得，f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期為2的周期函數(shù)．根據(jù)條件，當x∈，1時，f(x)＝log，x－2∈，－(x－2)∈，∴f(x)＝f(x－2)＝－f(2－x)＝log.設2－x＝t，則t∈，x＝2－t，∴－f(t)＝log－t，∴f(t)＝－log，∴f(x)＝－log，x∈，可以看出當x增大時，－x減小，log增大，f(x)減小，∴在區(qū)間內(nèi)，f(x)是減函數(shù)．而由1<

19、x<得0<－x<.∴l(xiāng)og>1，∴f(x)<0.故選D. [必備知能·自主補缺] (一) 主干知識要記牢 函數(shù)的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對于定義域內(nèi)的任意x(定義域關于原點對稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù))． (2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對于函數(shù)f(x)，如果對于定義域內(nèi)的任意一個x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是

20、它的一個周期． (二) 二級結論要用好 1．函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結論 (1)當f(x)，g(x)同為增(減)函數(shù)時，f(x)＋g(x)為增(減)函數(shù)． (2)奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性． (3)f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關于原點對稱； f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關于y軸對稱． (4)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù)． (5)定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)的圖象必過原點，即有f(0)＝0.存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)：f(x

21、)＝0. (6)f(x)＋f(－x)＝0?f(x)為奇函數(shù)； f(x)－f(－x)＝0?f(x)為偶函數(shù)． 2．抽象函數(shù)的周期性與對稱性的結論 (1)函數(shù)的周期性 ①若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a. ②若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a. ③若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a. (2)函數(shù)圖象的對稱性 ①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝a對稱． ②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f

22、(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關于點(a,0)對稱． ③若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝對稱． 3．函數(shù)圖象平移變換的相關結論 (1)把y＝f(x)的圖象沿x軸左右平移|c|個單位(c＞0時向左移，c＜0時向右移)得到函數(shù)y＝f(x＋c)的圖象(c為常數(shù))． (2)把y＝f(x)的圖象沿y軸上下平移|b|個單位(b＞0時向上移，b＜0時向下移)得到函數(shù)y＝f(x)＋b的圖象(b為常數(shù))． (三) 易錯易混要明了 1．求函數(shù)的定義域時，關鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應的不等式(組)求解，如開偶次

23、方根，被開方數(shù)一定是非負數(shù)；對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)．列不等式時，應列出所有的不等式，不能遺漏． 2．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“和”連接或用“，”隔開．單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替． 3．判斷函數(shù)的奇偶性時，要注意定義域必須關于原點對稱，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響． 4．用換元法求解析式時，要注意新元的取值范圍，即函數(shù)的定義域問題． [針對練1]　已知f(cos x)＝sin2x，則f(x)＝________. 解析：令t＝cos x，且t∈[－1,1]，則f(t)＝1－t2，t∈[－1，1]，即f

24、(x)＝1－x2，x∈[－1,1]． 答案：1－x2，x∈[－1,1] 5．分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來表示對應法則的函數(shù)，它是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)． [針對練2]　已知函數(shù)f(x)＝則f＝________. 解析：f＝ln＝－1，f＝f(－1)＝e－1＝. 答案： [課時跟蹤檢測] A組——12＋4提速練 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝ 的定義域為(　　) A．(0,2) B．(0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞

25、) 解析：選C　由題意可知x滿足log2x－1＞0，即log2x＞log22，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得x＞2，即函數(shù)f(x)的定義域是(2，＋∞)． 2．已知函數(shù)f(x)＝則下列結論正確的是(　　) A．函數(shù)f(x)是偶函數(shù) B．函數(shù)f(x)是減函數(shù) C．函數(shù)f(x)是周期函數(shù) D．函數(shù)f(x)的值域為[－1，＋∞) 解析：選D　由函數(shù)f(x)的解析式，知f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，則f(x)不是偶函數(shù)．當x>0時，f(x)＝x2＋1，則f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，且函數(shù)值f(x)>1；當x≤0時，f(x)＝cos x，

26、則f(x)在區(qū)間(－∞，0]上不是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)值f(x) ∈[－1,1]．所以函數(shù)f(x)不是單調(diào)函數(shù)，也不是周期函數(shù)，其值域為[－1，＋∞)．故選D. 3．(2017·合肥模擬) 函數(shù)y＝的圖象大致是(　　) 解析：選D　易知函數(shù)y＝是偶函數(shù)，可排除B，當x>0時，y＝xln x，y′＝ln x＋1，令y′>0，得x>e－1，所以當x>0時，函數(shù)在(e－1，＋∞)上單調(diào)遞增，結合圖象可知D正確，故選D. 4．已知函數(shù)f(x－1)是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象可能是(　　) 解析：選B　函數(shù)f(x－1)的圖象向左平移1個單位，即可得到

27、函數(shù)f(x)的圖象．因為函數(shù)f(x－1)是定義在R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x－1)的圖象關于原點對稱，所以函數(shù)f(x)的圖象關于點(－1,0)對稱，排除A，C，D，故選B. 5．(2017·長春質(zhì)檢)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　) A．y＝ex＋e－x B．y＝ln(|x|＋1) C．y＝ D．y＝x－ 解析：選D　選項A，B是偶函數(shù)，排除；選項C是奇函數(shù)，但在(0，＋∞)上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意；選項D中，y＝x－是奇函數(shù)，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均為增函數(shù)，故y＝x－在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以選項D正確．故選D. 6．(2017

28、·陜西質(zhì)檢)奇函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋2)為偶函數(shù)，則f(8)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 解析：選B　由奇函數(shù)f(x)的定義域為R，可得f(0)＝0，由f(x＋2)為偶函數(shù)，可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，故f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f[－(x＋2)＋2]＝f(－x)＝－f(x)，則f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為8，所以f(8)＝f(0)＝0，故選B. 7．函數(shù)y＝＋在[－2,2]上的圖象大致為(　　) 解析：選B　當x∈(0,2]時，函數(shù)y＝＝，x2>0恒

29、成立，令g(x)＝ln x＋1，則g(x)在(0,2]上單調(diào)遞增，當x＝時，y＝0，則當x∈時，y＝<0，x∈時，y＝>0，∴函數(shù)y＝在(0,2]上只有一個零點，排除A，C，D，只有選項B符合題意． 8．(2017·天津高考)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a(chǎn)0時，f(x)>

30、0， 所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且g(x)>0. 又a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)， 20．8<2＝log24

31、0時，f(x)＝x3－1， ∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故選D. 10．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有兩個不同實根，則a的取值范圍為(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(0,1) D．(－∞，＋∞) 解析：選A　x≤0時，f(x)＝2－x－1， 00時，f(x)是周期函數(shù)， f(x)的圖象如圖所示． 若方程f(x)＝x＋a有兩個不同的實數(shù)根，則函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝x＋a有兩個不同交點， 故a<1，即a的取值范圍

32、是(－∞，1)． 11．(2018屆高三·廣西三市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝e|x|，函數(shù)g(x)＝對任意的x∈[1，m](m>1)，都有f(x－2)≤g(x)，則m的取值范圍是(　　) A．(1,2＋ln 2) B. C．(ln 2,2] D. 解析：選D　作出函數(shù)y1＝e|x－2|和y＝g(x)的圖象，如圖所示，由圖可知當x＝1時，y1＝g(1)，又當x＝4時，y1＝e24時，由ex－2≤4e5－x，得e2x－7≤4，即2x－7≤ln 4，解得x≤＋ln 2，又m>1，∴1

33、為R，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(1,2] B．(－∞，2] C．(0,2] D．[2，＋∞) 解析：選A　依題意，當x≥1時，f(x)＝1＋log2x單調(diào)遞增，f(x)＝1＋log2x在區(qū)間[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函數(shù)f(x)的值域是R，則需函數(shù)f(x)在(－∞，1)上的值域M?(－∞，1)．①當a－1<0，即a<1時，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上的值域M＝(－a＋3，＋∞)，顯然此時不能滿足M?(－∞，1)，因此a<1不滿足題意；②當a－1＝0，即a＝1時，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上的值域M＝{2}，此時不

34、能滿足M?(－∞，1)，因此a＝1不滿足題意；③當a－1>0，即a>1時，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上的值域M＝(－∞，－a＋3)，由M?(－∞，1)得解得1

35、 又f(x)為偶函數(shù)，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6. 答案：6 14．(2017·陜西質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝，下列關于函數(shù)f(x)的結論： ①y＝f(x)的值域為R； ②y＝f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； ③y＝f(x)的圖象關于y軸對稱； ④y＝f(x)的圖象與直線y＝ax(a≠0)至少有一個交點． 其中正確結論的序號是________． 解析：函數(shù)f(x)＝＝其圖象如圖所示，由圖象可知f(x)的值域為(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①錯；f(x)在(0,1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，而在(0，＋∞)上不是單調(diào)的，故②錯；f(x)的圖象關于y軸對稱，故③正確

36、；由于f(x)在每個象限都有圖象，所以與過原點的直線y＝ax(a≠0)至少有一個交點，故④正確． 答案：③④ 15．(2017·惠州調(diào)研)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足條件fx＋＝－f(x)，且函數(shù)y＝fx－為奇函數(shù)，給出以下四個結論： ①函數(shù)f(x)是周期函數(shù)； ②函數(shù)f(x)的圖象關于點對稱； ③函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)； ④函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)． 其中正確結論的序號為________． 解析：f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)，所以f(x)是周期為3的周期函數(shù)，①正確；函數(shù)fx－是奇函數(shù)，其圖象關于點(0,0)對稱，則f(x)的圖象關于點對稱，②正確；因為f

37、(x)的圖象關于點對稱，－＝，所以f(－x)＝－f－＋x，又f＝－f＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，③正確；f(x)是周期函數(shù)，在R上不可能是單調(diào)函數(shù)，④錯誤．故正確結論的序號為①②③. 答案：①②③ 16．(2017·合肥質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2－ax－2a，若存在唯一的正整數(shù)x0，使得f(x0)>0，則a的取值范圍是________． 解析：由f(x)>0可得，a(x＋2)<－x3＋3x2，原問題等價于不等式a(x＋2)<－x3＋3x2的解集中只包含唯一的正整數(shù)，結合函數(shù)g(x)＝a(x＋2)，h(x)＝－x3＋3x2的圖象(圖略)可知唯一的正整數(shù)只可能是1或2

38、.若x0＝1，則即解得a∈?； 若x0＝2，則即 答案： B組——能力小題保分練 1．(2017·鄭州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝cos x的圖象大致為(　　) 解析：選C　依題意，f(－x)＝cos(－x)＝cos x＝cos x＝－f(x)，因此函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，結合各選項知，選項A，B均不正確；當00，f(x)<0，結合選項知，C正確，故選C. 2．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則(　　) A．f(－25)

39、－25) C．f(11)

40、11)． 3．(2017·成都模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點.若函數(shù)g(x)的定義域為R，當x∈[－2,2]時，有g(x)＝f(x)，且函數(shù)g(x＋2)為偶函數(shù)，則下列結論正確的是(　　) A．g(π)

41、x)且g(x)單調(diào)遞減，所以x∈[2,6]時，g(x)單調(diào)遞增，根據(jù)對稱性，可知在[－2,6]上距離對稱軸x＝2越遠的自變量，對應的函數(shù)值越大，所以g()

42、a(x>0)關于直線y＝－x對稱，且f(－2)＝2f(－1)，則a＝________. 解析：依題意得，曲線y＝f(x)即為－x＝(－y)2＋a(y<0)，化簡后得y＝－，即f(x)＝－，于是有－＝－2，解得a＝. 答案： 6.如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動，點B恰好經(jīng)過原點．設頂點P(x，y)的軌跡方程是y＝f(x)，則對函數(shù)y＝f(x)有下列判斷： ①函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)；②對任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2)；③函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞減；④f(x)dx＝. 其中判斷正確的序號是________．(寫出所有正確的序號) 解析：如圖，

43、從函數(shù)y＝f(x)的圖象可以判斷出，圖象關于y軸對稱，每過4個單位長度圖象重復出現(xiàn)一次，且在區(qū)間[2,3]上其函數(shù)值隨x增大而增大，所以①②正確，③錯誤；又函數(shù)圖象與直線x＝0，x＝2，x軸圍成的圖形由一個半徑為、圓心角為的扇形，一個半徑為1、圓心角為的扇形和一個直角邊長為1的等腰直角三角形組成，其面積S＝×π×2＋×π＋＝，所以④正確． 答案：①②④ 第二講 小題考法——基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程 考點(一) 主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象辨析以及比較大小問題. 基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) [典例感悟] [典例]　(1)若當x∈R時，函數(shù)f(x)＝a|x|(

44、a>0且a≠1)滿足f(x)≤1，則函數(shù)y＝loga(x＋1)的圖象大致為(　　) (2)(2017·全國卷Ⅰ)設x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則(　　) A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z [解析]　(1)由a|x|≤1(x∈R)，知01， ∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k. ∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝－ ＝ ＝ ＝>0， ∴2x>3y；

45、 ∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝－ ＝＝ ＝<0， ∴3y<5z；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝－ ＝＝ ＝<0， ∴5z>2x.∴5z>2x>3y. [答案]　(1)C　(2)D [方法技巧] 3招破解指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)值的大小比較問題 (1)底數(shù)相同，指數(shù)不同的冪用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較． (2)底數(shù)相同，真數(shù)不同的對數(shù)值用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較． (3)底數(shù)不同、指數(shù)也不同，或底數(shù)不同、真數(shù)也不同的兩個數(shù)，常引入中間量或結合圖象比較大小． [演練沖關] 1．(2017·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝3x－x，則f(x)(　　) A．是奇

46、函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 解析：選A　因為f(x)＝3x－x，且定義域為R，所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－3x－x＝－f(x)，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)． 又y＝3x在R上是增函數(shù)，y＝x在R上是減函數(shù)，所以f(x)＝3x－x在R上是增函數(shù)． 2．(2017·洛陽統(tǒng)考)已知f(x)是偶函數(shù)，當x>0時，f(x)單調(diào)遞減，設a＝－21.2，b＝－0.8，c＝2log52，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關系為(　　) A．f(c)

47、)f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(b) 解析：選C　依題意，注意到21.2>20.8＝－0.8>1＝log55>log54＝2log52>0，又函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，于是有f(21.2)

48、題意，當AC∥y軸，△ABC為正三角形時，|AC|＝log24x－log2x＝2，點B到直線AC的距離為，設點B(x0,2＋log2x0)，則點A(x0＋，3＋log2x0)．由點A在函數(shù)y＝log24x的圖象上，得log24(x0＋)＝3＋log2x0＝log28x0，則4(x0＋)＝8x0，x0＝，即點B的橫坐標是. 答案： 考點(二) 主要考查利用函數(shù)零點存在性定理或數(shù)形結合法確定函數(shù)零點的個數(shù)或其存在范圍，以及應用零點求參數(shù)的值(或范圍). 函 數(shù) 的 零 點 [典例感悟] [典例]　(1)(2017·南昌模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x>0時，f(x)＝l

49、n x－x＋1，則函數(shù)g(x)＝f(x)－ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))的零點個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)(2017·成都模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(－x－1)＝f(x－1)，當x∈[－1,0]時，f(x)＝－x3，則關于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有實數(shù)解之和為(　　) A．－7 B．－6 C．－3 D．－1 (3)(2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點，則a＝(　　) A．－ B. C. D．1 [解析]　(1)當x>0時，f(x)＝ln x－

50、x＋1，f′(x)＝－1＝，所以x∈(0,1)時，f′(x)>0，此時f(x)單調(diào)遞增；x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，此時f(x)單調(diào)遞減．因此，當x>0時，f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0.根據(jù)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)作出函數(shù)y＝f(x)與y＝ex的大致圖象，如圖，觀察到函數(shù)y＝f(x)與y＝ex的圖象有兩個交點，所以函數(shù)g(x)＝f(x)－ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))有2個零點．故選C. (2)因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋2)，所以函數(shù)f(x)的周期為2，又當x∈[－1,0]時，f(x)＝－x3，

51、由此在同一平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)與y＝|cos πx|的圖象，如圖所示． 由圖知關于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的實數(shù)解有7個．不妨設x10，則a(ex－1＋e－x

52、＋1)≥2a， 要使f(x)有唯一零點，則必有2a＝1，即a＝. 若a≤0，則f(x)的零點不唯一． 綜上所述，a＝. [答案]　(1)C　(2)A　(3)C [方法技巧] 1．判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法 直接法 直接求零點，令f(x)＝0，則方程解的個數(shù)即為函數(shù)零點的個數(shù) 定理法 利用零點存在性定理，利用該定理只能確定函數(shù)的某些零點是否存在，必須結合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點 數(shù)形 結合法 對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖象的，常分解轉化為兩個能畫出圖象的函數(shù)的交點問題 2．利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法 (1)利用零點存

53、在的判定定理構建不等式求解． (2)分離參數(shù)后轉化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解． (3)轉化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關系問題，從而構建不等式求解． [演練沖關] 1．已知函數(shù)f(x)＝函數(shù)g(x)＝3－f(2－x)，則函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：選A　由已知條件得g(x)＝3－f(2－x)＝函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)圖象交點的個數(shù)，分別畫出函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的草圖，觀察發(fā)現(xiàn)有2個交點．故選A. 2．(2017·洛陽統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝ln x－a

54、x2＋x有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(0,1) C. D. 解析：選B　依題意，關于x的方程ax－1＝有兩個不等的正實數(shù)根．記g(x)＝，則g′(x)＝，當00，g(x)在區(qū)間(0，e)上單調(diào)遞增；當x>e時，g′(x)<0，g(x)在區(qū)間(e，＋∞)上單調(diào)遞減，且g(e)＝，當0

55、不同的交點，則a的取值范圍是(0,1)，故選B. 3．(2017·山東高考)已知當x∈[0,1]時，函數(shù)y＝(mx－1)2的圖象與y＝＋m的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(0,1]∪[2，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞) C．(0， ]∪[2，＋∞) D．(0， ]∪[3，＋∞) 解析：選B　在同一直角坐標系中，分別作出函數(shù)f(x)＝(mx－1)2＝m22與g(x)＝＋m的大致圖象． 分兩種情形： (1)當01時，0<<1，如圖

56、②，要使f(x)與g(x)的圖象在[0,1]上只有一個交點，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)． 綜上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)． [必備知能·自主補缺] (一) 主干知識要記牢 1．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的對比表 解析式 y＝ax(a＞0與a≠1) y＝logax(a＞0與a≠1) 圖象 定義域 R (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) R 單調(diào)性 0＜a＜1時，在R上是減函數(shù)；a＞1時，在R上是增函數(shù) 0＜a

57、＜1時，在(0，＋∞)上是減函數(shù)；a＞1時，在(0，＋∞)上是增函數(shù) 兩圖象的對稱性 關于直線y＝x對稱 2.方程的根與函數(shù)的零點 (1)方程的根與函數(shù)零點的關系 由函數(shù)零點的定義，可知函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標．所以方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點． (2)函數(shù)零點的存在性定理 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(

58、c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的實數(shù)根． [針對練1]　在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　因為f＝e＋4×－3＝e－2<0，f＝e＋4×－3＝e－1>0，f·f<0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為. (二) 易錯易混要明了 1．不能準確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)．如討論函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的單調(diào)性時忽視字母a的取值范圍，忽視ax>0；研究對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)時忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件． 2．易混淆函數(shù)的零點和函數(shù)圖象與x軸的交點，不能把函數(shù)零點、

59、方程的解、不等式解集的端點值進行準確互化． 3．函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c有且只有一個零點，要注意討論a是否為零． [針對練2]　函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋1有且僅有一個正實數(shù)零點，則實數(shù)m的取值范圍為________． 解析：當m＝0時，f(x)＝－2x＋1，則x＝為函數(shù)的零點． 當m≠0時，若Δ＝4－4m＝0，即當m＝1時，x＝1是函數(shù)唯一的零點． 若Δ＝4－4m≠0，即m≠1時，顯然x＝0不是函數(shù)的零點． 這樣函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)零點等價于方程f(x)＝mx2－2x＋1有一個正根一個負根． 因此<0.則m<0.綜上知實數(shù)m的取值范圍是(－∞，0]∪{1}． 答案：

60、(－∞，0]∪{1} [課時跟蹤檢測] A組——12＋4提速練 一、選擇題 1．(2017·沈陽質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的圖象大致是(　　) 解析：選A　函數(shù)f(x)的定義域為R，由f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則其圖象關于y軸對稱，排除C；又由f(0)＝ln 1＝0，可排除B，D.故選A. 2．(2016·全國卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，則(　　) A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c

61、C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解析：選A　a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5. ∵y＝x在第一象限內(nèi)為增函數(shù)， 又5＞4＞3，∴c＞a＞b. 3．(2017·陜西質(zhì)檢)已知a＝2－，b＝(2log23)－，c＝sin xdx，則實數(shù)a，b，c的大小關系是(　　) A．a(chǎn)>c>b B．b>a>c C．a(chǎn)>b>c D．c>b>a 解析：選C　依題意得，a＝2－，b＝3－，c＝－cos x＝，所以a6＝2－2＝，b6＝3－3＝，c6＝6＝，則a6>b6>c6，即a>b>c，故選C. 4．函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是(　　) A．(－2，－1) B

62、．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：選C　∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，故函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是(0,1)，故選C. 5．某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(　　) (參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A．2020年 B．2021年 C．2022年 D．20

63、23年 解析：選B　設2017年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元．由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，兩邊取常用對數(shù)，得n＞≈＝，∴n≥4，∴從2021年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元． 6．函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：選C　當x≤0時，f(x)＝x2－2，令x2－2＝0，得x＝(舍去)或x＝－，即在區(qū)間(－∞，0]上，函數(shù)只有一個零點．當x>0時，f(x)＝2x－6＋ln x，f′(x)＝2＋，由x>0知f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，而f(1)＝－4<0，f(e)

64、＝2e－5>0，f(1)·f(e)<0，從而f(x)在(0，＋∞)上只有一個零點．故函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是2. 7．(2017·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ln(2－x)，則(　　) A．f(x)在(0,2)單調(diào)遞增 B．f(x)在(0,2)單調(diào)遞減 C．y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱 D．y＝f(x)的圖象關于點(1,0)對稱 解析：選C　由題易知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定義域為(0,2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由復合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f(x)＝ln x＋ln(2－x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,2)單調(diào)遞

65、減，所以排除A、B； 又f＝ln＋ln＝ln， f＝ln＋ln＝ln， 所以f＝f＝ln，所以排除D.故選C. 8．(2017·貴陽檢測)已知函數(shù)f(x)＝ln(x2－4x－a)，若對任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞) C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞) 解析：選D　依題意得，函數(shù)f(x)的值域為R，令函數(shù)g(x)＝x2－4x－a，其值域包含(0，＋∞)，因此對于方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4，即實數(shù)a的取值范圍是[－4，＋∞)，故選D. 9．(2018屆高三·

66、河北五校聯(lián)考)函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，則＋的最小值為(　　) A．2 B．4 C. D. 解析：選D　由函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)知，當x＝－2時，y＝－1，所以A點的坐標為(－2，－1)，又因為點A在直線mx＋ny＋2＝0上，所以－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2，所以＋＝＋＝2＋＋＋≥＋2 ＝，當且僅當m＝n＝時等號成立．所以＋的最小值為，故選D. 10．(2017·長春質(zhì)檢)已知定義域為R的函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(1,1)，且對任意實數(shù)x1－2，則不等式f(log2|3x－1|)<3－log|3x－1|的解集為(　　) A．(－∞，0)∪(0,1) B．(0，＋∞) C．(－1,0)∪(0,3) D．(－∞，1) 解析：選A　令F(x)＝f(x)＋2x，由對任意實數(shù)x1－2，可得f(x1)＋2x1