2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 第46課 簡單的線性規(guī)劃要點導(dǎo)學(xué)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 第46課 簡單的線性規(guī)劃要點導(dǎo)學(xué) 簡單的線性規(guī)劃問題 　(xx·全國卷) 設(shè)x,y滿足約束條件 那么z=2x-y的最大值為　　　　. [思維引導(dǎo)]線性規(guī)劃問題處理的基本步驟:先畫可行域,再將目標(biāo)函數(shù)中令x=0得z與在y軸上的截距的關(guān)系,最后得到相應(yīng)的最值或范圍. [答案]8 [解析]作出可行域如圖中陰影部分所示,y=2x-z,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知,z在點A(5,2)處取得最大值,故zmax=2×5-2=8. (例1) 　已知x,y滿足約束條件那么z=x+y的最大值為　　　　. [答案] [解析]作出可行域如圖中陰影部分所

2、示,由z=x+y,得y=-x+z,平移直線y=-x+z,由圖象可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點B時,直線y=-x+z的截距最大,即z最大.由解得即B,代入z=x+y得z=+=. (變式) 非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題 　已知a,b是正數(shù),且滿足2

3、時,a2+b2最大,此時a2+b2=42=16,原點到直線a+2b-2=0的距離最小,此時d==,a2+b2=d2=,即a2+b2的取值范圍是. (例2) [精要點評]本題與常規(guī)線性規(guī)劃問題不同,主要是目標(biāo)函數(shù)不是直線形式,此類問題?？紤]目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,常見代數(shù)式的幾何意義主要有以下幾點: (1)表示點(x,y)與原點(0,0)的距離, 表示點(x,y)與點(a,b)的距離; (2) 表示點(x,y)與原點(0,0)連線的斜率,表示點(x,y)與點(a,b)連線的斜率. 這些代數(shù)式的幾何意義能使所求問題得以轉(zhuǎn)化,往往是解決問題的關(guān)鍵. 　已知x,y滿足那么的取值范圍是

4、　　　　. [答案] [解析]由題意作出可行域如圖中陰影部分所示. (變式) 即為可行域內(nèi)任一點與點(4,2)連線的斜率k的取值范圍,由圖象可得k∈. 整點最優(yōu)解問題 　小明準(zhǔn)備用積攢的300元零用錢買一些科普書和文具,作為禮品送給山區(qū)的學(xué)生.已知科普書每本6元,文具每套10元,并且買文具的錢不少于買科普書的錢,那么最多可以買的科普書與文具的總數(shù)是　　　　. [答案]40 [解析]設(shè)買科普書x本與文具y套,總數(shù)為z=x+y. 由題意得 作出可行域如圖中陰影部分所示,將z=x+y化為y=-x+z,作直線y=-x并平移,易知y=-x+z經(jīng)過點A(15,25)時,縱截距最

5、大.此時z最大,為40.經(jīng)檢驗符合題意. (例3) 　設(shè)z=x+2y,求滿足時z的最大值. [解答]作出表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示.解方程組得C.作出一組平行直線x+2y=z,當(dāng)經(jīng)過C時,有最大值,但此時點C不是整點.由圖象知,當(dāng)直線過點(2,3)時,有最大值,從而z有最大值,最大值為2+2×3=8. (變式) 線性規(guī)劃的實際應(yīng)用 　(xx·執(zhí)信中學(xué))某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A、B兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費為200元,設(shè)備乙每天的租賃費為300元,現(xiàn)該公司至少

6、要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件,B類產(chǎn)品140件,所需租賃費最少為　　　　元. [答案]2 300 [解析]設(shè)該公司需租賃甲設(shè)備x臺,乙設(shè)備y臺,則有,目標(biāo)函數(shù)為z=200x+300y=100(2x+3y),作出可行域如圖中陰影部分所示,作直線l0:3x+2y=0,平移直線l0,易知y=100(2x+3y)在點A處取得最小值,聯(lián)立解得即點A(4,5),即zmin=100×(2×4+3×5)=2 300. (例4) [精要點評]解線性規(guī)劃實際問題時,首先設(shè)出變量,找出變量間的關(guān)系即約束條件,然后確定目標(biāo)函數(shù)并畫出可行域最終求得最優(yōu)解并作答.線性規(guī)劃實際問題的常見類型有:(1) 任務(wù)安排問題;(

7、2) 配料問題;(3) 落料問題;(4) 布局問題;(5) 庫存問題. 　霧霾嚴(yán)重影響人們生活,某科技公司擬投資開發(fā)新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品,策劃部制定投資計劃時,不僅要考慮可能獲得的盈利,而且還要考慮可能出現(xiàn)的虧損,經(jīng)過市場調(diào)查,公司打算投資甲、乙兩個項目,根據(jù)預(yù)測,甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和60%,可能的最大虧損率分別為20%和10%,投資人計劃投資金額不超過10萬元,并確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.6萬元. (1) 若投資人用x萬元投資甲項目,y萬元投資乙項目,試寫出x,y所滿足的條件,并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出表示x,y范圍的圖形; (2) 根據(jù)(1)的規(guī)劃,投資公司對甲

8、、乙兩個項目投資多少萬元,才能使可能的盈利最大? [解答](1) 由題意得不等式組表示的平面區(qū)域如圖(1)中陰影部分(含邊界)所示. 　　 圖(1) 圖(2) (變式) 　　(2) 目標(biāo)函數(shù)為z=x+0.6y,如圖(2),作直線l0:x+0.6y=0,并平移,當(dāng)經(jīng)過直線x+y=10與0.2x+0.1y=1.6的交點A時其截距最大,解方程組得即A(6,4).此時z=6+0.6×4=8.4(萬元), 所以當(dāng)x=6,y=4時,z取得最大值,即投資人用6萬元投資甲項目,4萬元投資乙項目,才能確保虧損不超過1.6萬元,使可能的利潤最大. 某小型工廠

9、安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),已知工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品每噸所需要的原材料A,B,C的數(shù)量和一周內(nèi)可用資源數(shù)量如下表所示: 原材料 甲(t) 乙(t) 資源數(shù)量(t) A 1 1 50 B 4 0 160 C 2 5 200 如果甲產(chǎn)品每噸的利潤為300元,乙產(chǎn)品每噸的利潤為200元,那么應(yīng)如何安排生產(chǎn),工廠每周才可獲得最大利潤? [規(guī)范答題]設(shè)工廠一周內(nèi)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x t、乙產(chǎn)品y t,所獲周利潤為z元.(2分) 依據(jù)題意,得目標(biāo)函數(shù)為z=300x+200y,(4分) 約束條件為 (8分) (范題賞析) 畫出可行域,如圖中陰影部分所示. 可

10、求得A(40,0),B(40,10),C,D(0,40). 將直線300x+200y=0向上平移,可以發(fā)現(xiàn),經(jīng)過可行域中的點B時,函數(shù)z=300x+200y的值最大,最大值為14 000元.(12分) 所以工廠每周生產(chǎn)甲產(chǎn)品40 t、乙產(chǎn)品10 t時,工廠可獲得的周利潤最大.(14分) 1. (xx·安徽卷)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為　　　　. [答案]4 [解析]作出可行域如圖中陰影部分所示,則其表示的面積S△ABC=S△ABD+S△ACD=×2×2+×2×2=4. (第1題)　 2. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點,則直線OM斜

11、率的最小值為　　　　. 　 (第2題) [答案]- [解析]作出可行域如圖中陰影部分所示.聯(lián)立解得P(3,-1),當(dāng)點M與點P重合時,直線OM的斜率最小,此時kOM==-. 3. (xx·福建卷)若變量x,y滿足約束條件則z=3x+y的最小值為　　　　. [答案]1 [解析]作出可行域如圖中陰影部分所示,把z=3x+y變形為y=-3x+z,則當(dāng)直線y=-3x+z經(jīng)過點A(0,1)時,z取得最小值,即zmin=1. (第3題) 4. 設(shè)z=kx+y,其中實數(shù)x,y滿足若z的最大值為12,則實數(shù)k=　　　　. [答案]2 [解析]作出可行域如圖中陰影部分所示,易得A(2,0),B(4,4),C(0,2),要使z的最大值為12,只能z=kx+y經(jīng)過點B,此時12=4k+4,解得k=2. (第4題) [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)(第91-92頁).